En teoría de números , el teorema de Erdős-Kac , llamado así por Paul Erdős y Mark Kac , y también conocido como el teorema fundamental de la teoría probabilística de números , establece que si ω ( n ) es el número de factores primos distintos de n (secuencia A001221 en la OEIS ), entonces, hablando libremente, la distribución de probabilidad de
es la distribución normal estándar . Esta es una extensión del teorema de Hardy-Ramanujan , que establece que el orden normal de ω ( n ) es log log n con un error típico de tamaño.
Declaración precisa
Para cualquier fijo a < b ,
dónde es la distribución normal (o "gaussiana"), definida como
De manera más general, si f ( n ) es una función fuertemente aditiva () con para todo primo p , entonces
con
Heurística original de Kac
Intuitivamente, la heurística de Kac para el resultado dice que si n es un entero grande elegido al azar, entonces el número de factores primos distintos de n se distribuye aproximadamente normalmente con media y varianza log log n . Esto proviene del hecho de que dado un número natural aleatorio n , los eventos "el número n es divisible por algún primo p " para cada p son mutuamente independientes.
Ahora, denotando el evento "el número n es divisible por p " por, considere la siguiente suma de variables aleatorias del indicador:
Esta suma cuenta cuántos factores primos distintos tiene nuestro número natural aleatorio n . Se puede demostrar que esta suma satisface la condición de Lindeberg y, por lo tanto, el teorema del límite central de Lindeberg garantiza que después de un reajuste apropiado, la expresión anterior será gaussiana.
La prueba real del teorema, debido a Erdős, usa la teoría del tamiz para hacer rigurosa la intuición anterior.
Ejemplos numéricos
El teorema de Erdős-Kac significa que la construcción de un número alrededor de mil millones requiere en promedio tres números primos.
Por ejemplo, 1,000,000,003 = 23 × 307 × 141623. La siguiente tabla proporciona un resumen numérico del crecimiento del número promedio de factores primos distintos de un número natural. con incremento .
norte | Número de dígitos en n | Numero promedio de primos distintos | Estándar desviación |
---|---|---|---|
1.000 | 4 | 2 | 1.4 |
1.000.000.000 | 10 | 3 | 1,7 |
1.000.000.000.000.000.000.000.000 | 25 | 4 | 2 |
10 65 | 66 | 5 | 2.2 |
10 9.566 | 9.567 | 10 | 3.2 |
10 210,704,568 | 210,704,569 | 20 | 4.5 |
10 10 22 | 10 22 +1 | 50 | 7.1 |
10 10 44 | 10 44 +1 | 100 | 10 |
10 10 434 | 10 434 +1 | 1000 | 31,6 |
Alrededor del 12,6% de los números de 10.000 dígitos se construyen a partir de 10 números primos distintos y alrededor del 68% se construyen a partir de entre 7 y 13 números primos.
Una esfera hueca del tamaño del planeta Tierra llena de arena fina tendría alrededor de 10 33 granos. Un volumen del tamaño del universo observable tendría alrededor de 10 93 granos de arena. Podría haber espacio para 10 185 cadenas cuánticas en tal universo.
Números de esta magnitud, con 186 dígitos, requerirían en promedio solo 6 números primos para la construcción.
Es muy difícil, si no imposible, descubrir empíricamente el teorema de Erdös-Kac, ya que el gaussiano solo aparece cuando comienza a estar cerca . Más precisamente, Rényi y Turán demostraron que la mejor cota asintótica uniforme posible del error en la aproximación a un gaussiano es. [1]
Referencias
- ^ Rényi, A .; Turán, P. (1958). "Sobre un teorema de Erdös-Kac" (PDF) . Acta Arithmetica . 4 (1): 71–84.
- Erdős, Paul ; Kac, Mark (1940). "La ley de errores de Gauss en la teoría de funciones teóricas de números aditivos". Revista Estadounidense de Matemáticas . 62 (1/4): 738–742. doi : 10.2307 / 2371483 . ISSN 0002-9327 . Zbl 0024.10203 .
- Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008). "El teorema de Erdős-Kac y sus generalizaciones". En De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.). Anatomía de los enteros. Basado en el taller de CRM, Montreal, Canadá, 13 al 17 de marzo de 2006 . Actas de CRM y notas de conferencias. 46 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 209–216. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11024 .
- Kac, Mark (1959). Independencia estadística en probabilidad, análisis y teoría de números . John Wiley and Sons, Inc.