¿Tiene 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z una solución entera positiva para cada entero n ≥ 2 ?
En teoría de números , la conjetura de Erdős-Straus establece que para todos los enteros n ≥ 2 , el número racional 4 / n se puede expresar como la suma de tres fracciones unitarias positivas . Lleva el nombre de Paul Erdős y Ernst G. Straus , quienes formularon la conjetura en 1948; [1] es una de las muchas conjeturas de Erdős .
Si n es un número compuesto , n = pq , entonces se podría encontrar una expansión para 4 / n a partir de una expansión para 4 / p o 4 / q . Por lo tanto, si existe un contraejemplo de la conjetura de Erdős-Straus, el n más pequeño que forma un contraejemplo tendría que ser un número primo , y puede restringirse aún más a una de las seis progresiones aritméticas infinitas módulo 840 . [2] Las búsquedas informáticas han verificado la veracidad de la conjetura hasta n ≤ 10 17 , [3] pero demostrarlo para todo n sigue siendo un problema abierto .
La restricción de que las tres fracciones unitarias sean positivas es esencial para la dificultad del problema, ya que si se permitieran valores negativos, el problema siempre podría resolverse.
Formulación
Más formalmente, la conjetura establece que, para cada entero n ≥ 2 , existen enteros positivos x , y , z tales que
La conjetura fue formulada en 1948 por Paul Erdős y Ernst G. Straus , y publicada por Erdős (1950) ; otro artículo sobre el problema, de Obláth (1950) , también fue presentado originalmente en 1948. [4]
Algunos investigadores también requieren que estos números enteros sean distintos entre sí, mientras que otros permiten que sean iguales. Para n ≥ 3 , no importa si se requiere que sean distintos: si existe una solución con tres enteros cualesquiera x , y , z entonces existe una solución con enteros distintos. [5] Para n = 2 , sin embargo, la única solución es 4/2 = 1/2 + 1/2 + 1/1 , hasta la permutación de los sumandos. Cuando x , y y z son distintos, estas fracciones unitarias forman una representación de fracción egipcia del número 4 / n .
Fondo
La búsqueda de expansiones de números racionales como sumas de fracciones unitarias se remonta a las matemáticas del antiguo Egipto , en las que se usaban expansiones de fracciones egipcias de este tipo como notación para registrar cantidades fraccionarias. Los egipcios produjeron tablas como la tabla Rhind Mathematical Papyrus 2 / n de expansiones de fracciones de la forma 2 / n , la mayoría de las cuales usan dos o tres términos. Las fracciones egipcias suelen tener una restricción adicional, que todas las fracciones unitarias sean distintas entre sí, pero a los efectos de la conjetura de Erdős-Straus, esto no supone ninguna diferencia: si 4 / n se puede expresar como una suma de tres fracciones unitarias, También se puede expresar como una suma de tres fracciones unitarias distintas reemplazando repetidamente cualquier fracción duplicada por una de las siguientes dos expansiones,
El algoritmo codicioso para las fracciones egipcias , descrito por primera vez en 1202 por Fibonacci en su libro Liber Abaci , encuentra una expansión en la que cada término sucesivo es la fracción unitaria más grande que no es mayor que el número restante que se va a representar. Para fracciones de la forma 2 / n o 3 / n , el algoritmo codicioso utiliza como máximo dos o tres términos respectivamente. Un número de la forma 3 / n tiene una expansión de dos términos si y solo si n tiene un factor congruente con 2 módulo 3 , y requiere tres términos en cualquier expansión de otro modo. Por lo tanto, para los numeradores 2 y 3 , la cuestión de cuántos términos se necesitan en una fracción egipcia está completamente resuelta, y las fracciones de la forma 4 / n son el primer caso en el que se desconoce la longitud del peor caso de una expansión. El algoritmo codicioso produce expansiones de longitud dos, tres o cuatro dependiendo del valor de n módulo 4 ; cuando n es congruente con 1 módulo 4 , el algoritmo codicioso produce expansiones de cuatro términos. Por lo tanto, la longitud del caso más desfavorable de una fracción egipcia de 4 / n debe ser tres o cuatro. La conjetura de Erdős-Straus establece que, en este caso, como en el caso del numerador 3 , el número máximo de términos en una expansión es tres. [7]
Identidades modulares
Multiplicar ambos lados de la ecuación 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z por nxyz conduce a una forma equivalente 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) para el problema. [8] Como una ecuación polinomial con variables enteras, este es un ejemplo de una ecuación diofántica . El principio de Hasse para las ecuaciones diofánticas afirma que se debe formar una solución entera de una ecuación diofántica combinando las soluciones obtenidas en el módulo de cada número primo posible . A primera vista, este principio tiene poco sentido para la conjetura de Erdős-Straus, ya que la ecuación 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) se puede resolver fácilmente módulo cualquier primo. Sin embargo, las identidades modulares han demostrado ser una herramienta muy importante en el estudio de la conjetura. [4]
Para valores de n que satisfacen ciertas relaciones de congruencia , se puede encontrar una expansión para 4 / n automáticamente como una instancia de una identidad polinomial. Por ejemplo, siempre que n es 2 módulo 3, 4 / n tiene la expansión
Si fuera posible encontrar soluciones como las anteriores para suficientes módulos diferentes, formando un sistema de cobertura completo de congruencias, el problema estaría resuelto. Sin embargo, como mostró Mordell (1967) , una identidad polinomial que proporciona una solución para los valores de n congruentes con r mod p sólo puede existir cuando r no es un residuo cuadrático módulo p . Por ejemplo, 2 no es un residuo cuadrático módulo 3 , por lo que la existencia de una identidad para los valores de n que son congruentes con 2 módulo 3 no contradice el resultado de Mordell, pero 1 es un residuo cuadrático módulo 3, por lo que el resultado prueba que hay no puede haber una identidad similar para todos los valores de n que son congruentes con 1 módulo 3 . Como 1 es un módulo de residuo cuadrático n para todo n > 1 , no puede haber un sistema de cobertura completo de identidades modulares para todo n .
Las identidades polinomiales enumeradas por Mordell proporcionan fracciones egipcias de tres términos para 4 / n siempre que n es 2 mod 3 (arriba), 3 mod 4 , 2 o 3 mod 5 , 3 , 5 o 6 mod 7 , o 5 mod 8. El otros casos módulo 8 de 2 , 3 , 6 y 7 mod 8 ya están cubiertos por identidades anteriores. Estas identidades cubren todos los números que no son residuos cuadráticos para esas bases. Sin embargo, para bases más grandes, no se sabe que todos los no residuos estén cubiertos por relaciones de este tipo. De las identidades de Mordell se puede concluir que existe una solución para todos n excepto posiblemente aquellos que son 1 , 121 , 169 , 289 , 361 o 529 módulo 840 . 1009 es el número primo más pequeño que no está cubierto por este sistema de congruencias. Al combinar clases más grandes de identidades modulares, Webb y otros demostraron que la fracción de n en el intervalo [1, N ] que pueden ser contraejemplos de la conjetura tiende a cero en el límite cuando N va al infinito. [9]
A pesar de que el resultado de Mordell limita la forma que pueden tomar estas identidades de congruencia, todavía hay alguna esperanza de usar identidades modulares para probar la conjetura de Erdős-Straus. Ningún número primo puede ser un cuadrado, por lo que según el teorema de Hasse-Minkowski , siempre que p es primo, existe un primo q más grande tal que p no es un residuo cuadrático módulo q . Un posible enfoque para probar la conjetura sería encontrar para cada primo p un primo mayor q y una congruencia que resuelva el problema 4 / n para n congruente ap módulo q ; si se pudiera hacer esto, ningún primo p podría ser un contraejemplo de la conjetura y la conjetura sería verdadera.
Verificación computacional
Varios autores han realizado búsquedas por fuerza bruta de contraejemplos de la conjetura; estas búsquedas pueden acelerarse considerablemente si se consideran solo los números primos que no están cubiertos por relaciones de congruencia conocidas. [10] Búsquedas de este tipo han confirmado que la conjetura es cierta para todo n hasta 10 17 . [3]
El número de soluciones
El número de soluciones distintas al problema 4 / n , en función de n , también se ha encontrado mediante búsquedas informáticas para n pequeño y parece crecer de forma algo irregular con n . Comenzando con n = 3 , el número de soluciones distintas con denominadores distintos son
Incluso para n más grandes, puede haber relativamente pocas soluciones; por ejemplo, solo hay siete soluciones distintas para n = 73 .
Elsholtz y Tao (2013) han demostrado que el número promedio de soluciones al problema 4 / n (promediado sobre los números primos hasta n ) tiene un límite superior polilogarítmico en n . Para algunos otros problemas diofánticos, es posible probar que siempre existe una solución demostrando límites inferiores asintóticos en el número de soluciones, pero las pruebas de este tipo existen principalmente para problemas en los que el número de soluciones crece polinomialmente, por lo que el resultado de Elsholtz y Tao hace que una prueba de este tipo sea menos probable. La prueba de Elsholtz y Tao de ligado en el número de soluciones implica el teorema Bombieri-Vinogradov , el teorema de Brun-Titchmarsh , y un sistema de identidades modulares, válida cuando n es congruente a - c o -1 / c modulo 4 ab , donde un y b son dos coprimos números enteros positivos y c es cualquier factor de impar de un + b . Por ejemplo, establecer a = b = 1 da una de las identidades de Mordell, válida cuando n es 3 (mod 4 ). [11]
Soluciones de números negativos
La restricción de que x , y , z sean positivos es esencial para la dificultad del problema, ya que si se permitieran valores negativos, el problema podría resolverse trivialmente a través de una de las dos identidades.
Alternativamente, para cualquier n impar , es posible una solución de tres términos con un término negativo: [12]
Generalizaciones
Una versión generalizada de la conjetura establece que, para cualquier k positivo, existe un número N tal que, para todo n ≥ N , existe una solución en enteros positivos para k / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z . La versión de esta conjetura para k = 5 fue hecha por Wacław Sierpiński , y la conjetura completa se debe a Andrzej Schinzel . [13]
Incluso si la conjetura generalizada es falsa para cualquier valor fijo de k , entonces el número de fracciones k / n con n en el rango de 1 a N que no tienen expansiones de tres términos debe crecer solamente sublinearly como una función de N . [9] En particular, si la conjetura de Erdős-Straus en sí (el caso k = 4 ) es falsa, entonces el número de contraejemplos crece solo de manera sublineal. Aún más fuertemente, para cualquier k fijo , solo un número sublineal de valores de n necesita más de dos términos en sus expansiones de fracciones egipcias. [14] La versión generalizada de la conjetura es equivalente a la afirmación de que el número de fracciones no expandibles no es solo sublineal sino acotado.
Cuando n es un número impar , por analogía con el problema de las expansiones voraces impares para las fracciones egipcias, uno puede pedir soluciones para k / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z en las que x , y y z son números impares positivos distintos. Se sabe que las soluciones a esta ecuación siempre existen para el caso en el que k = 3 . [15]
Ver también
- Lista de sumas de recíprocos
Notas
- ^ Elsholtz (2001) .
- ^ Mordell (1967) .
- ↑ a b Salez (2014) .
- ↑ a b Elsholtz y Tao (2013) .
- ^ Eppstein (1995) , sección de resolución de conflictos .
- ^ Ver lasección de resolución de conflictos de Eppstein (1995) para una prueba de que un proceso de reemplazo estrechamente relacionado (con una expansión diferente para denominadores pares que reduce el número de fracciones) siempre termina con una expansión no repetitiva.
- ^ Eppstein (1995) .
- ^ Véase, por ejemplo, Sander (1994) para obtener una formulación diofántica más sencilla que utiliza supuestos más específicos sobre cuáles de x , y y z son divisibles por n .
- ↑ a b Webb (1970) ; Vaughan (1970) ; Li (1981) ; Yang (1982) ; Ahmadi y Bleicher (1998) ; Elsholtz (2001) .
- ^ Obláth (1950) ; Rosati (1954) ; Beso (1959) ; Bernstein (1962) ; Yamamoto (1965) ; Terzi (1971) ; Jollensten (1976) ; Kotsireas (1999) .
- ^ Sobre el número de soluciones a 4 / p = 1 / n 1 + 1 / n 2 + 1 / n 3 , Terence Tao , "What's new", 7 de julio de 2011.
- ^ Jaroma (2004) .
- ↑ Sierpiński (1956) ; Vaughan (1970) .
- ^ Hofmeister y Stoll (1985) .
- ^ Schinzel (1956) ; Suryanarayana y Rao (1965) ; Hagedorn (2000) .
Referencias
- Ahmadi, MH; Bleicher, MN (1998), "Sobre las conjeturas de Erdős y Straus, y Sierpiński sobre fracciones egipcias", Revista Internacional de Ciencias Matemáticas y Estadísticas , 7 (2): 169-185, MR 1666363.
- Bernstein, Leon (1962), "Zur Lösung der diophantischen Gleichung m / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z , insbesondere im Fall m = 4", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 211 : 1–10, MR 0142508.
- Elsholtz, Christian (2001), "Sumas de k fracciones unitarias", Transactions of the American Mathematical Society , 353 (8): 3209–3227, doi : 10.1090 / S0002-9947-01-02782-9 , MR 1828604.
- Elsholtz, cristiano; Tao, Terence (2013), "Contando el número de soluciones de la ecuación de Erdős-Straus en fracciones unitarias" (PDF) , Journal of the Australian Mathematical Society , 94 (1): 50-105, arXiv : 1107.1010 , doi : 10.1017 / S1446788712000468 , MR 3101397.
- Eppstein, David (1995), "Diez algoritmos para fracciones egipcias", Mathematica in Education and Research , 4 (2): 5-15. Ver en particular la sección "Pequeños numeradores"
- Erdős, Paul (1950), "Az 1 / x 1 + 1 / x 2 + ... + 1 / x n = a / b egyenlet egész számú megoldásairól (En una ecuación diofántica)" (PDF) , Mat. Lapok. (en húngaro), 1 : 192–210, MR 0043117.
- Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números (3.a ed.), Springer Verlag , págs. D11, ISBN 0-387-20860-7.
- Hagedorn, Thomas R. (2000), "Una prueba de una conjetura sobre fracciones egipcias", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 107 (1): 62–63, doi : 10.2307 / 2589381 , JSTOR 2589381 , MR 1745572.
- Hofmeister, Gerd; Stoll, Peter (1985), "Nota sobre las fracciones egipcias", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 362 : 141-145, MR 0809971.
- Jaroma, John H. (2004), "Sobre la expansión de 4 / n en tres fracciones egipcias" (PDF) , Crux Mathematicorum , 30 (1): 36–37.
- Jollensten, Ralph W. (1976), "Una nota sobre el problema egipcio", Actas de la Séptima Conferencia Sureste sobre Combinatoria, Teoría de Gráficos y Computación (Univ. Del Estado de Luisiana, Baton Rouge, Luisiana, 1976) , Congressus Numerantium, XVII , Winnipeg, Man .: Utilitas Math., Págs. 351–364, MR 0429735.
- Kiss, Ernest (1959), "Quelques remarques sur une équation diophantienne", Acad. RP Romîne Fil. Cluj Stud. Cerc. Estera. (en rumano), 10 : 59–62, MR 0125069.
- Kotsireas, Ilias (1999), "La conjetura de Erdős-Straus sobre las fracciones egipcias", Paul Erdős y sus matemáticas (Budapest, 1999) , Budapest: János Bolyai Math. Soc., Págs. 140-144, MR 1901903.
- Li, De Lang (1981), "Ecuación 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z ", Journal of Number Theory , 13 (4): 485-494, doi : 10.1016 / 0022-314X (81 ) 90039-1 , MR 0642923.
- Mordell, Louis J. (1967), Ecuaciones diofánticas , Academic Press, págs. 287-290.
- Obláth, Richard (1950), "Sur l'équation diphantienne 4 / n = 1 / x 1 + 1 / x 2 + 1 / x 3 ", Mathesis (en francés), 59 : 308–316, MR 0038999.
- Rosati, Luigi Antonio (1954), "Sull'equazione diofantea 4 / n = 1 / x 1 + 1 / x 2 + 1 / x 3 ", Boll. Naciones Unidas. Estera. Ital. (3) (en italiano), 9 : 59–63 , MR 0060526.
- Salez, Serge E. (2014), La conjetura de Erdős-Straus Nuevas ecuaciones modulares y comprobación hasta N = 10 17, arXiv : 1406.6307 , Bibcode : 2014arXiv1406.6307S
- Sander, JW (1994), "On 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z y Iwaniec 'tamiz de media dimensión", Journal of Number Theory , 46 (2): 123-136, doi : 10.1006 /jnth.1994.1008 , MR 1269248.
- Schinzel, André (1956), "Sur quelques propriétés des nombres 3 / n et 4 / n , où n est un nombre wrong", Mathesis (en francés), 65 : 219-222, MR 0080683.
- Sierpiński, Wacław (1956), "Sur les décompositions de nombres rationnels en fracciones primaires", Mathesis (en francés), 65 : 16–32, MR 0078385.
- Suryanarayana, D .; Rao, N. Venkateswara (1965), "Sobre un artículo de André Schinzel", J. Indian Math. Soc. , Serie nueva, 29 : 165–167, MR 0202659.
- Terzi, DG (1971), "Sobre una conjetura de Erdős-Straus", Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) , 11 (2): 212–216, doi : 10.1007 / BF01934370 , MR 0297703.
- Vaughan, RC (1970), "Sobre un problema de Erdős, Straus y Schinzel", Mathematika , 17 (2): 193-198, doi : 10.1112 / S0025579300002886 , MR 0289409
- Webb, William A. (1970), "On 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z ", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 25 (3): 578–584, doi : 10.2307 / 2036647 , JSTOR 2.036.647 , MR 0256984.
- Yamamoto, Koichi (1965), "Sobre la ecuación diofántica 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z ", Memorias de la Facultad de Ciencias. Universidad de Kyushu. Serie A. Matemáticas , 19 : 37–47, doi : 10.2206 / kyushumfs.19.37 , MR 0177945.
- Yang, Xun Qian (1982), "A note on 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z ", Proceedings of the American Mathematical Society , 85 (4): 496–498, doi : 10.2307 / 2044050 , JSTOR 2044050 , MR 0660589.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Conjetura de Erdos-Straus" , MathWorld
- Contando el número de soluciones de la ecuación de Erdös-Straus en fracciones unitarias , Terence Tao , 31 de julio de 2011.