La conjetura de Erdős-Turán es un viejo problema sin resolver en la teoría aditiva de números (que no debe confundirse con la conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas ) planteado por Paul Erdős y Pál Turán en 1941.
La pregunta concierne a subconjuntos de los números naturales , típicamente denotados por, llamadas bases aditivas . Un subconjuntose llama una base aditiva (asintótica) de orden finito si hay algún número entero positivo tal que todo número natural suficientemente grande se puede escribir como la suma de como máximo elementos de . Por ejemplo, los números naturales son en sí mismos una base aditiva de orden 1, ya que cada número natural es trivialmente una suma de como máximo un número natural. El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange dice que el conjunto de números cuadrados positivos es una base aditiva de orden 4. Otro resultado muy no trivial y celebrado en este sentido es el teorema de Vinogradov .
Uno se inclina naturalmente a preguntarse si estos resultados son óptimos. Resulta que el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange no se puede mejorar, ya que hay infinitos números enteros positivos que no son la suma de tres cuadrados. Esto se debe a que ningún entero positivo que sea la suma de tres cuadrados puede dejar un resto de 7 cuando se divide por 8. Sin embargo, quizás uno debería esperar que un conjuntoque es tan escaso como los cuadrados (lo que significa que en un intervalo dado , aproximadamente de los enteros en quedarse en cama ) que no tiene este déficit obvio debería tener la propiedad de que todo entero positivo suficientemente grande es la suma de tres elementos de . Esto se sigue del siguiente modelo probabilístico: suponga que es un número entero positivo y se seleccionan 'aleatoriamente' de . Entonces la probabilidad de un elemento dado de ser elegido es aproximadamente . Entonces se puede estimar el valor esperado, que en este caso será bastante grande. Por lo tanto, 'esperamos' que haya muchas representaciones de como una suma de tres elementos de , a menos que haya alguna obstrucción aritmética (lo que significa que es de alguna manera bastante diferente a un conjunto 'típico' de la misma densidad), como con los cuadrados. Por lo tanto, uno debería esperar que los cuadrados sean bastante ineficientes para representar números enteros positivos como la suma de cuatro elementos, ya que debería haber muchas representaciones como sumas de tres elementos para esos números enteros positivos.que pasó la obstrucción aritmética. El examen del teorema de Vinogradov revela rápidamente que los números primos también son muy ineficaces para representar números enteros positivos como la suma de cuatro números primos, por ejemplo.
Esto engendra la pregunta: supongamos que , a diferencia de los cuadrados o los números primos, es muy eficiente para representar números enteros positivos como una suma de elementos de . ¿Qué tan eficiente puede ser? La mejor posibilidad es que podamos encontrar un entero positivo y un set tal que cada entero positivo es la suma de como máximo elementos de exactamente de una manera. Si eso falla, tal vez podamos encontrar un tal que cada entero positivo es la suma de como máximo elementos de en al menos una forma y como máximo formas, donde es una función de .
Esta es básicamente la pregunta que hicieron Paul Erdős y Pál Turán en 1941. De hecho, conjeturaron una respuesta negativa a esta pregunta, a saber, que si es una base aditiva de orden de los números naturales, entonces no puede representar enteros positivos como una suma de como máximo demasiado eficientemente; el número de representaciones de, como una función de , debe tender al infinito.
Historia
La conjetura fue hecha conjuntamente por Paul Erdős y Pál Turán en 1941. [1] En el artículo original, escriben
- "(2) Si por , luego ",
dónde denota el límite superior . Aquí es la cantidad de formas en que se puede escribir el número natural como la suma de dos (no necesariamente distintos) elementos de . Si siempre es positivo para lo suficientemente grande , luego se llama base aditiva (de orden 2). [2] Este problema ha atraído una atención significativa [2] pero sigue sin resolverse.
En 1964, Erdős publicó una versión multiplicativa de esta conjetura. [3]
Progreso
Si bien la conjetura sigue sin resolverse, ha habido algunos avances sobre el problema. Primero, expresamos el problema en lenguaje moderno. Para un subconjunto dado, definimos su función de representación . Entonces la conjetura establece que si para todos suficientemente grande, entonces .
De manera más general, para cualquier y subconjunto , podemos definir el función de representación como . Nosotros decimos eso es una base aditiva de orden Si para todos suficientemente largo. Uno puede ver a partir de un argumento elemental que si es una base aditiva de orden , luego
Entonces obtenemos el límite inferior .
La conjetura original surgió cuando Erdős y Turán buscaron una respuesta parcial al problema de Sidon (ver: secuencia de Sidon ). Más tarde, Erdős se propuso responder a la siguiente pregunta planteada por Sidon: ¿qué tan cerca del límite inferior puede una base aditiva de orden ¿obtener? Esta pregunta fue respondida en el casopor Erdős en 1956. [4] Erdős demostró que existe una base aditiva de orden 2 y constantes tal que para todos suficientemente largo. En particular, esto implica que existe una base aditiva tal que , que es esencialmente lo mejor posible. Esto motivó a Erdős a hacer la siguiente conjetura:
- Si es una base aditiva de orden , luego
En 1986, Eduard Wirsing demostró que una gran clase de bases aditivas, incluidos los números primos, contiene un subconjunto que es una base aditiva pero significativamente más delgada que la original. [5] En 1990, Erdős y Prasad V. Tetali extendieron el resultado de 1956 de Erdős a bases de orden arbitrario . [6] En 2000, V. Vu demostró que existen subbases delgadas en las bases Waring utilizando el método del círculo de Hardy-Littlewood y sus resultados de concentración polinomial. [7] En 2006, Borwein, Choi y Chu demostraron que para todas las bases aditivas, eventualmente excede 7. [8] [9]
Referencias
- ↑ Erdős, Paul .; Turán, Pál (1941). "Sobre un problema de Sidón en la teoría de números aditivos, y sobre algunos problemas relacionados". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 16 (4): 212–216. doi : 10.1112 / jlms / s1-16.4.212 .
- ^ a b Tao, T .; Vu, V. (2006). Combinatoria aditiva . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 13. ISBN 978-0-521-85386-6.
- ^ P. Erdõs: Sobre la representación multiplicativa de números enteros, Israel J. Math. 2 (1964), 251-261
- ^ Erds, P. (1956). "Problemas y resultados en la teoría de números aditivos". Colloque sur la Théorie des Nombres : 127-137.
- ^ Wirsing, Eduard (1986). "Subbases delgadas". Análisis . 6 (2-3): 285-308. doi : 10.1524 / anly.1986.6.23.285 .
- ^ Erdős, Paul .; Tetali, Prasad (1990). "Representaciones de números enteros como la suma determs ". Algoritmos de estructuras aleatorias . 1 (3): 245-261. doi : 10.1002 / rsa.3240010302 .
- ^ Vu, Van (2000). "Sobre un refinamiento del problema de Waring". Diario de matemáticas de Duke . 105 (1): 107-134. CiteSeerX 10.1.1.140.3008 . doi : 10.1215 / S0012-7094-00-10516-9 .
- ^ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Chu, Frank (2006). "Una vieja conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas" . Matemáticas de la Computación . 75 (253): 475–484. doi : 10.1090 / s0025-5718-05-01777-1 .
- ^ Xiao, Stanley Yao (2011). Sobre la conjetura de Erdős-Turán y resultados relacionados . hdl : 10012/6150 . Parámetro desconocido
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