En física teórica , la gravedad cuántica euclidiana es una versión de la gravedad cuántica . Busca utilizar la rotación de Wick para describir la fuerza de gravedad de acuerdo con los principios de la mecánica cuántica .
Introducción en términos profanos
La rotación de Wick
En física, una rotación de Wick, que lleva el nombre de Gian-Carlo Wick , es un método para encontrar una solución a problemas de dinámica en dimensiones, transponiendo sus descripciones en dimensiones, intercambiando una dimensión de espacio por una dimensión de tiempo. Más precisamente, sustituye un problema matemático en el espacio de Minkowski en un problema relacionado en el espacio euclidiano mediante una transformación que sustituye una variable de número imaginario por una variable de número real.
Se llama rotación porque cuando los números complejos se representan como un plano, la multiplicación de un número complejo pores equivalente a rotar el vector que representa ese número en un ángulo de radianes sobre el origen.
Por ejemplo, una rotación de Wick podría usarse para relacionar un evento macroscópico de difusión de temperatura (como en un baño) con los movimientos térmicos subyacentes de las moléculas. Si intentamos modelar el volumen del baño con los diferentes gradientes de temperatura, tendríamos que subdividir este volumen en volúmenes infinitesimales y ver cómo interactúan. Sabemos que esos volúmenes infinitesimales son de hecho moléculas de agua. Si representamos todas las moléculas en el baño por una sola molécula en un intento de simplificar el problema, esta molécula única debería recorrer todos los caminos posibles que podrían seguir las moléculas reales. La formulación de la integral de trayectoria es la herramienta conceptual utilizada para describir los movimientos de esta molécula única, y la rotación de Wick es una de las herramientas matemáticas que son muy útiles para analizar un problema de integral de trayectoria.
Aplicación en mecánica cuántica
De una manera algo similar, el movimiento de un objeto cuántico como lo describe la mecánica cuántica implica que puede existir simultáneamente en diferentes posiciones y tener diferentes velocidades. Se diferencia claramente del movimiento de un objeto clásico (por ejemplo, una bola de billar), ya que en este caso se puede describir un solo camino con posición y velocidad precisas. Un objeto cuántico no se mueve de A a B con un solo camino, sino que se mueve de A a B de todas las formas posibles al mismo tiempo. De acuerdo con la formulación integral de ruta de Feynman de la mecánica cuántica, la ruta del objeto cuántico se describe matemáticamente como un promedio ponderado de todas esas rutas posibles. En 1966 , DeWitt encontró un algoritmo integral funcional invariante de calibre explícito , que extendió las nuevas reglas de Feynman a todos los órdenes. Lo atractivo de este nuevo enfoque es su falta de singularidades cuando son inevitables en la relatividad general .
Otro problema operativo de la relatividad general es la dificultad computacional, debido a la complejidad de las herramientas matemáticas utilizadas. Por el contrario, las integrales de trayectoria se han utilizado en mecánica desde finales del siglo XIX y son bien conocidas. [ cita requerida ] Además, el formalismo de ruta integral se usa tanto en la física clásica como en la cuántica, por lo que podría ser un buen punto de partida para unificar la relatividad general y las teorías cuánticas. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica y la ecuación de calor clásica están relacionadas por la rotación de Wick. Entonces, la relación de Wick es una buena herramienta para relacionar un fenómeno clásico con un fenómeno cuántico. La ambición de la gravedad cuántica euclidiana es utilizar la rotación de Wick para encontrar conexiones entre un fenómeno macroscópico, la gravedad y algo más microscópico.
Trato más riguroso
La gravedad cuántica euclidiana se refiere a una versión rotada por Wick de la gravedad cuántica , formulada como una teoría cuántica de campos . Las variedades que se utilizan en esta formulación son variedades Riemannianas de 4 dimensiones en lugar de variedades pseudo Riemannianas . También se supone que las variedades son compactas , conectadas y sin fronteras (es decir, sin singularidades ). Siguiendo la formulación habitual de la teoría cuántica de campos, la amplitud de vacío a vacío se escribe como una integral funcional sobre el tensor métrico , que ahora es el campo cuántico en consideración.
donde φ denota todos los campos de materia. Consulte la acción de Einstein-Hilbert .
Relación con el formalismo ADM
La gravedad cuántica euclidiana se relaciona con el formalismo ADM utilizado en la gravedad cuántica canónica y recupera la ecuación de Wheeler-DeWitt en diversas circunstancias. Si tenemos algún campo de materia, entonces la integral de ruta dice
donde la integración ha terminado incluye una integración sobre las tres métricas, la función de lapso y vector de cambio . Pero exigimos que ser independiente de la función de lapso y el vector de desplazamiento en los límites, por lo que obtenemos
dónde es el límite tridimensional. Observe que esta expresión se desvanece implica que la derivada funcional se desvanece, lo que nos da la ecuación de Wheeler-DeWitt. Se puede hacer una declaración similar para la restricción de difeomorfismo (en su lugar, tome la derivada funcional con respecto a las funciones de desplazamiento).
Referencias
- Bryce S. DeWitt, Teoría cuántica de la gravedad: la teoría manifiestamente covariante , Phys. Rev. D 162, 1195 (1967).
- Bryce S. DeWitt, Giampiero Esposito, "Una introducción a la gravedad cuántica". Int.J.Geom.Mod.Phys. 5 (2008) 101-156. Eprint arXiv: 0711.2445 .
- Richard P. Feynman, Conferencias sobre gravitación , notas de FB Morinigo y WG Wagner, Caltech 1963 (Addison Wesley 1995).
- Gary W. Gibbons y Stephen W. Hawking (eds.), Gravedad cuántica euclidiana , World Scientific (1993).
- Herbert W. Hamber, Gravitación cuántica: el enfoque integral de la ruta de Feynman , Springer Publishing 2009, ISBN 978-3-540-85293-3 .
- Stephen W. Hawking, The Path Integral Approach to Quantum Gravity , en General Relativity - An Einstein Centenary Survey , Cambridge U. Press, 1977.
- James B. Hartle y Stephen W. Hawking, "Función de onda del Universo". Phys. Rev. D 28 (1983) 2960–2975, eprint . Relaciona formalmente la gravedad cuántica euclidiana con el formalismo ADM.
- Claus Kiefer, Quantum Gravity (tercera ed.). Prensa de la Universidad de Oxford 2012.
- Emil Mottola, "Integración funcional sobre geometrías". J.Math.Phys. 36 (1995) 2470–2511. Eprint arXiv: hep-th / 9502109 .
- Martin JG Veltman, Teoría cuántica de la gravitación , en Métodos en teoría de campos , Sesión XXVIII de Les Houches, Holanda Septentrional 1976.