La ecuación de Wheeler- DeWitt [1] es una ecuación de campo . Es parte de una teoría que intenta combinar matemáticamente las ideas de la mecánica cuántica y la relatividad general , un paso hacia una teoría de la gravedad cuántica . En este enfoque, el tiempo juega un papel diferente al que desempeña en la mecánica cuántica no relativista, lo que lleva al llamado " problema del tiempo ". [2] Más específicamente, la ecuación describe la versión cuántica de la restricción hamiltoniana utilizando variables métricas. Sus relaciones de conmutación con las restricciones de difeomorfismogenerar el "grupo" de Bergman-Komar (que es el grupo de difeomorfismo en la cáscara ).
Gravedad cuántica
Todas las descripciones definidas y entendidas de la teoría de cuerdas / M tratan con condiciones asintóticas fijas en el espacio-tiempo de fondo. En el infinito, la elección "correcta" [ aclaración necesaria ] de la coordenada de tiempo "t" se determina (porque el espacio-tiempo es asintótico a algún espacio-tiempo fijo) en cada descripción, por lo que hay una definición preferida del hamiltoniano ( con valores propios distintos de cero) para hacer evolucionar los estados del sistema hacia adelante en el tiempo. Esto evita toda la necesidad de generar dinámicamente una dimensión de tiempo utilizando la ecuación de Wheeler-DeWitt. Por tanto, la ecuación no ha jugado un papel en la teoría de cuerdas hasta ahora.
Podría existir una manera al estilo de Wheeler-DeWitt para describir la dinámica general de la teoría cuántica de la gravedad. Algunos expertos [ ¿quién? ] creen que esta ecuación todavía tiene el potencial para comprender la gravedad cuántica; sin embargo, décadas después de la publicación de la ecuación, enfoques completamente diferentes, como la teoría de cuerdas, han traído a los físicos como resultados claros sobre la gravedad cuántica. [ cita requerida ]
Motivación y antecedentes
En la gravedad canónica , el espacio-tiempo se folia en subvariedades espaciales. La métrica de tres (es decir, la métrica en la hipersuperficie) es y dado por
En esa ecuación, los índices latinos corren sobre los valores 1, 2, 3 y los índices griegos corren sobre los valores 1, 2, 3, 4. La métrica de tres es el campo, y denotamos sus momentos conjugados como . El hamiltoniano es una restricción (característica de la mayoría de los sistemas relativistas)
dónde y es la métrica de Wheeler-DeWitt.
La cuantificación "pone sombreros" en los momentos y las variables de campo; es decir, las funciones de los números en el caso clásico se convierten en operadores que modifican la función de estado en el caso cuántico. Así obtenemos el operador
Trabajando en "espacio de posición", estos operadores son
Se puede aplicar el operador a una onda general funcional de la métrica dónde:
que daría un conjunto de restricciones entre los coeficientes . Esto significa las amplitudes paragravitones en ciertas posiciones está relacionado con las amplitudes para un número diferente de gravitones en diferentes posiciones. O bien, se podría usar el formalismo de dos campos, tratando como un campo independiente de modo que la función de onda es .
Formalismo matemático
La ecuación de Wheeler-DeWitt [1] es una ecuación diferencial funcional . Está mal definido en el caso general, pero es muy importante en la física teórica , especialmente en la gravedad cuántica . Es una ecuación diferencial funcional en el espacio de métricas espaciales tridimensionales. La ecuación de Wheeler-DeWitt tiene la forma de un operador que actúa sobre una onda funcional; lo funcional se reduce a una función en cosmología. Contrariamente al caso general, la ecuación de Wheeler-DeWitt está bien definida en minisuperspacios como el espacio de configuración de las teorías cosmológicas. Un ejemplo de tal función de onda es el estado Hartle-Hawking . Bryce DeWitt publicó por primera vez esta ecuación en 1967 con el nombre de "ecuación de Einstein-Schrödinger"; más tarde fue rebautizado como " Ecuación de Wheeler- DeWitt". [3]
Restricción hamiltoniana
Simplemente hablando, la ecuación de Wheeler-DeWitt dice
dónde es la restricción hamiltoniana en relatividad general cuantizada yrepresenta la función de onda del universo . A diferencia de la teoría de campo cuántica ordinaria o la mecánica cuántica, el hamiltoniano es una restricción de primera clase sobre los estados físicos. También tenemos una restricción independiente para cada punto en el espacio.
Aunque los simbolos y Puede parecer familiar, su interpretación en la ecuación de Wheeler-DeWitt es sustancialmente diferente de la mecánica cuántica no relativista. ya no es una función de onda espacial en el sentido tradicional de una función de valor complejo que se define en una superficie similar a un espacio tridimensional y se normaliza a la unidad. En cambio, es una función de configuraciones de campo en todo el espacio-tiempo. Esta función de onda contiene toda la información sobre la geometría y el contenido de materia del universo.sigue siendo un operador que actúa sobre el espacio de Hilbert de funciones de onda, pero no es el mismo espacio de Hilbert que en el caso no relativista, y el hamiltoniano ya no determina la evolución del sistema, por lo que la ecuación de Schrödinger ya no se aplica. Esta propiedad se conoce como atemporalidad. El resurgimiento del tiempo requiere las herramientas de decoherencia y operadores de reloj [ cita requerida ] (o el uso de un campo escalar ).
Restricción de momento
También necesitamos aumentar la restricción hamiltoniana con restricciones de impulso.
asociado con la invariancia de difeomorfismo espacial.
En aproximaciones de minisuperspacio , solo tenemos una restricción hamiltoniana (en lugar de un número infinito de ellas).
De hecho, el principio de covarianza general en la relatividad general implica que la evolución global per se no existe; el tiempoes solo una etiqueta que asignamos a uno de los ejes de coordenadas. Por lo tanto, lo que pensamos como evolución temporal de cualquier sistema físico es solo una transformación de calibre , similar a la de QED inducida por la transformación de calibre local U (1). dónde juega el papel de la hora local. El papel de un hamiltoniano es simplemente restringir el espacio de los estados "cinemáticos" del Universo al de los estados "físicos", los que siguen órbitas de calibre. Por esta razón lo llamamos una "restricción hamiltoniana". Tras la cuantificación, los estados físicos se convierten en funciones de onda que se encuentran en el núcleo del operador hamiltoniano.
En general, el hamiltoniano [ aclaración necesaria ] desaparece para una teoría con covarianza general o invariancia de escala de tiempo.
Ver también
Referencias
- ↑ a b DeWitt, BS (1967). "Teoría cuántica de la gravedad. I. La teoría canónica". Phys. Rev. 160 (5): 1113-1148. Código Bibliográfico : 1967PhRv..160.1113D . doi : 10.1103 / PhysRev.160.1113 .
- ^ Blog, The Physics arXiv (23 de octubre de 2013). "Experimento cuántico muestra cómo el tiempo 'emerge' del enredo" . medium.com .
- ^ Rovelli, Carlo (23 de enero de 2001). "Notas para una breve historia de la gravedad cuántica" . Presentado en el 9º Encuentro de Marcel Grossmann en Roma, julio de 2000. arXiv : gr-qc / 0006061 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- Herbert W. Hamber y Ruth M. Williams (2011). "Ecuación discreta de Wheeler-DeWitt". Physical Review D . 84 (10): 104033. arXiv : 1109.2530 . Código bibliográfico : 2011PhRvD..84j4033H . doi : 10.1103 / PhysRevD.84.104033 . S2CID 4812404 .
- Herbert W. Hamber, Reiko Toriumi y Ruth M. Williams (2012). "Ecuación de Wheeler-DeWitt en dimensiones 2 + 1". Physical Review D . 86 (8): 084010. arXiv : 1207.3759 . Código bibliográfico : 2012PhRvD..86h4010H . doi : 10.1103 / PhysRevD.86.084010 . S2CID 119229306 .