Ecuación de Euler-Lagrange
En el cálculo de variaciones y la mecánica clásica , las ecuaciones de Euler-Lagrange [1] son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios de la acción funcional dada . Las ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange .
Debido a que un funcional diferenciable es estacionario en sus extremos locales , la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dado algún funcional, se busca la función minimizándolo o maximizándolo. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo , que establece que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local, su derivada es cero.
En la mecánica lagrangiana , según el principio de acción estacionaria de Hamilton , la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones de la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler se suelen llamar ecuaciones de Lagrange . En mecánica clásica , es equivalente a las leyes del movimiento de Newton , pero tiene la ventaja de que adopta la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas y se adapta mejor a las generalizaciones. En la teoría de campos clásica existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo .
La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautocrona . Este es el problema de determinar una curva en la que una partícula ponderada caerá a un punto fijo en un período de tiempo fijo, independientemente del punto de partida.
Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron aún más el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica , lo que condujo a la formulación de la mecánica de Lagrange . Su correspondencia finalmente condujo al cálculo de variaciones , un término acuñado por el mismo Euler en 1766. [2]
Sea un sistema mecánico con grados de libertad. Aquí está el espacio de configuración y el Lagrangiano , es decir, una función suave de valor real tal que y es un "vector de velocidad" dimensional. (Para aquellos familiarizados con la geometría diferencial , ¿ hay una variedad suave y dónde está el paquete tangente de
