Una curva tautocrona o isócrona (del prefijo griego tauto, que significa igual o iso- igual y tiempo crono ) es la curva para la cual el tiempo que tarda un objeto que se desliza sin fricción en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida en La curva. La curva es una cicloide y el tiempo es igual a π veces la raíz cuadrada del radio (del círculo que genera la cicloide) sobre la aceleración de la gravedad. La curva de tautocrona está relacionada con la curva de braquistocrona , que también es cicloide..
El problema de la tautocrona
Moby Dick de Herman Melville , 1851
El problema de la tautocrona, el intento de identificar esta curva, fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659. Demostró geométricamente en su Horologium Oscillatorium , publicado originalmente en 1673, que la curva era una cicloide .
- En una cicloide cuyo eje se erige sobre la perpendicular y cuyo vértice se sitúa en la parte inferior, los tiempos de descenso, en los que un cuerpo llega al punto más bajo del vértice después de haber salido de cualquier punto de la cicloide, son iguales a cada otro ... [1]
Huygens también demostró que el tiempo de descenso es igual al tiempo que tarda un cuerpo en caer verticalmente la misma distancia que el diámetro del círculo que genera la cicloide, multiplicado por π / 2. En términos modernos, esto significa que el tiempo de descenso es, donde r es el radio del círculo que genera la cicloide, yg es la gravedad de la Tierra , o más exactamente, la aceleración gravitacional de la Tierra.
Esta solución se utilizó posteriormente para resolver el problema de la curva braquistocrona . Johann Bernoulli resolvió el problema en un artículo ( Acta Eruditorum , 1697).
El problema de la tautocrona fue estudiado por Huygens más de cerca cuando se dio cuenta de que un péndulo, que sigue una trayectoria circular, no era isócrono y, por lo tanto, su reloj de péndulo mantendría una hora diferente dependiendo de qué tan lejos oscilara el péndulo. Después de determinar la ruta correcta, Christiaan Huygens intentó crear relojes de péndulo que usaban una cuerda para suspender las mejillas de bob y bordillo cerca de la parte superior de la cuerda para cambiar la ruta a la curva tautocrona. Estos intentos resultaron inútiles por varias razones. Primero, la flexión de la cuerda causa fricción, cambiando la sincronización. En segundo lugar, hubo fuentes mucho más importantes de errores de sincronización que superaron cualquier mejora teórica que ayude a viajar en la curva tautocrona. Finalmente, el "error circular" de un péndulo disminuye a medida que disminuye la longitud de la oscilación, por lo que mejores escapes de reloj podrían reducir en gran medida esta fuente de imprecisión.
Posteriormente, los matemáticos Joseph Louis Lagrange y Leonhard Euler aportaron una solución analítica al problema.
Solución lagrangiana
Si la posición de la partícula está parametrizada por la longitud de arco s ( t ) desde el punto más bajo, la energía cinética es proporcional aLa energía potencial es proporcional a la altura y ( s ) . Una forma en que la curva puede ser una isócrona es si el lagrangiano es el de un oscilador armónico simple : la altura de la curva debe ser proporcional a la longitud de arco al cuadrado.
donde la constante de proporcionalidad se ha establecido en 1 cambiando las unidades de longitud. La forma diferencial de esta relación es
que elimina sy deja una ecuación diferencial para dx y dy . Para encontrar la solución, integre para x en términos de y :
dónde . Esta integral es el área debajo de un círculo, que se puede cortar naturalmente en un triángulo y una cuña circular:
Para ver que se trata de una cicloide extrañamente parametrizada , cambie las variables para desenredar las partes trascendental y algebraica definiendo el ángulo. Esto produce
que es la parametrización estándar, excepto por la escala de x , y y θ .
Solución de "gravedad virtual"
La solución más simple al problema de la tautocrona es notar una relación directa entre el ángulo de una pendiente y la gravedad que siente una partícula en la pendiente. Una partícula en una pendiente vertical de 90 ° experimenta una aceleración gravitacional completa, mientras que una partícula en un plano horizontal experimenta una aceleración gravitacional cero. En ángulos intermedios, la aceleración debida a la "gravedad virtual" de la partícula es. Tenga en cuenta quese mide entre la tangente a la curva y la horizontal, y los ángulos por encima de la horizontal se tratan como ángulos positivos. Por lo tanto, varía de a .
La posición de una masa medida a lo largo de una curva tautocrona, , debe obedecer la siguiente ecuación diferencial:
que, junto con las condiciones iniciales y , tiene solución:
Se puede verificar fácilmente tanto que esta solución resuelve la ecuación diferencial como que una partícula alcanzará en el momento desde cualquier posición inicial . El problema ahora es construir una curva que haga que la masa obedezca al movimiento anterior. La segunda ley de Newton muestra que la fuerza de la gravedad y la aceleración de la masa están relacionadas por:
La aparición explícita de la distancia, , es problemático, pero podemos diferenciarlo para obtener una forma más manejable:
o
Esta ecuación relaciona el cambio en el ángulo de la curva con el cambio en la distancia a lo largo de la curva. Ahora usamos trigonometría para relacionar el ángulo a las longitudes diferenciales , y :
Reemplazo con en la ecuación anterior nos permite resolver para en términos de :
Asimismo, también podemos expresar en términos de y resolver para en términos de :
Sustituyendo y , vemos que estas ecuaciones paramétricas para y son los de un punto en un círculo de radio rodando a lo largo de una línea horizontal (una cicloide ), con el centro del círculo en las coordenadas:
Tenga en cuenta que rangos desde . Es típico establecer y de modo que el punto más bajo de la curva coincida con el origen. Por lo tanto:
Resolviendo para y recordando eso es el tiempo requerido para el descenso, encontramos el tiempo de descenso en términos del radio :
(Basado libremente en Proctor , págs. 135-139)
La solución de Abel
Niels Henrik Abel atacó una versión generalizada del problema de la tautocrona (problema mecánico de Abel ), es decir, dada una función T ( y ) que especifica el tiempo total de descenso para una altura inicial dada, encuentre una ecuación de la curva que arroje este resultado. El problema de la tautocrona es un caso especial del problema mecánico de Abel cuando T ( y ) es una constante.
La solución de Abel comienza con el principio de conservación de la energía : dado que la partícula no tiene fricción y, por lo tanto, no pierde energía al calor , su energía cinética en cualquier punto es exactamente igual a la diferencia en energía potencial gravitacional desde su punto de partida. La energía cinética es, y dado que la partícula está obligada a moverse a lo largo de una curva, su velocidad es simplemente , dónde es la distancia medida a lo largo de la curva. Asimismo, la energía potencial gravitacional ganada al caer desde una altura inicial a una altura es , por lo tanto:
En la última ecuación, anticipamos escribir la distancia restante a lo largo de la curva en función de la altura (, reconoció que la distancia restante debe disminuir a medida que aumenta el tiempo (de ahí el signo menos), y utilizó la regla de la cadena en la forma.
Ahora integramos de a para obtener el tiempo total necesario para que caiga la partícula:
Esto se llama ecuación integral de Abel y nos permite calcular el tiempo total requerido para que una partícula caiga a lo largo de una curva dada (para la cualsería fácil de calcular). Pero el problema mecánico de Abel requiere lo contrario, dado, deseamos encontrar , de la cual se seguiría una ecuación para la curva de una manera sencilla. Para continuar, observamos que la integral de la derecha es la convolución de con y así tomar la transformada de Laplace de ambos lados con respecto a la variable:
dónde Desde , ahora tenemos una expresión para la transformada de Laplace de en términos de Transformada de Laplace:
Hasta aquí podemos llegar sin especificar . Una vez se conoce, podemos calcular su transformada de Laplace, calcular la transformada de Laplace de y luego tome la transformación inversa (o intente) para encontrar .
Para el problema de la tautocrona, es constante. Dado que la transformada de Laplace de 1 es, es decir, , encontramos la función de forma :
Haciendo uso de nuevo de la transformada de Laplace anterior, invertimos la transformada y concluimos:
Se puede demostrar que la cicloide obedece a esta ecuación. Necesita un paso más para hacer la integral con respecto a para obtener la expresión de la forma del camino.
( Simmons , Sección 54).
Ver también
- Cálculo de variaciones
- Identidad beltrami
- Cicloide
- De cadena
- Movimiento uniformemente acelerado
- Curva braquistocrona
Referencias
- ^ Blackwell, Richard J. (1986). El reloj de péndulo de Christiaan Huygens . Ames, Iowa: Iowa State University Press. ISBN 0-8138-0933-9.Parte II, Proposición XXV, pág. 69.
Bibliografía
- Simmons, George, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, McGraw-Hill, 1972. ISBN 0-07-057540-1 .
- Proctor, Richard, Tratado sobre la cicloide y todas las formas de curvas cicloidales (1878), publicado por la Biblioteca de la Universidad de Cornell .
enlaces externos
- Mathworld