En matemáticas , un isomorfismo excepcional , también llamado isomorfismo accidental , es un isomorfismo entre los miembros a i y b j de dos familias, generalmente infinitas, de objetos matemáticos, que no es un ejemplo de un patrón de tales isomorfismos. [nota 1] Estas coincidencias a veces se consideran una cuestión de trivia, [1] pero en otros aspectos pueden dar lugar a otros fenómenos, notablemente objetos excepcionales . [1] A continuación, se enumeran las coincidencias dondequiera que ocurran.
Grupos
Grupos simples finitos
Los isomorfismos excepcionales entre las series de grupos simples finitos involucran principalmente grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternos , y son: [1]
- el grupo simple no abeliano más pequeño (orden 60) - simetría icosaédrica ;
- el segundo grupo simple no abeliano más pequeño (orden 168) - PSL (2,7) ;
- entre un grupo ortogonal especial proyectivo y un grupo simpléctico proyectivo .
Grupos alternos y grupos simétricos
Hay coincidencias entre grupos simétricos / alternos y pequeños grupos de tipo Lie / grupos poliédricos : [2]
Todos estos pueden explicarse de manera sistemática mediante el uso de álgebra lineal (y la acción de en afín -espacio) para definir el isomorfismo que va del lado derecho al lado izquierdo. (Los isomorfismos anteriores para y están vinculados a través del isomorfismo excepcional .) También hay algunas coincidencias con simetrías de poliedros regulares : el grupo alterno A 5 concuerda con el grupo icosaédrico (en sí mismo un objeto excepcional), y la doble cubierta del grupo alterno A 5 es el grupo icosaédrico binario .
Grupo trivial
El grupo trivial surge de muchas formas. El grupo trivial a menudo se omite desde el comienzo de una familia clásica. Por ejemplo:
- , el grupo cíclico de orden 1;
- , el grupo alterno de 0, 1 o 2 letras;
- , el grupo simétrico en 0 o 1 letras;
- , grupos lineales de un espacio vectorial de dimensión 0;
- , grupos lineales de un espacio vectorial unidimensional
- y muchos otros.
Esferas
Las esferas S 0 , S 1 y S 3 admiten estructuras de grupo, que se pueden describir de muchas formas:
- , siendo el último el grupo de unidades de los enteros,
- grupo circular
- cuaterniones de la unidad .
Grupos de giros
Además de , y arriba, hay isomorfismos para grupos de espín de dimensiones superiores:
Además, Spin (8) tiene un automorfismo de prueba de orden 3 excepcional
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Hay algunos isomorfismos excepcionales de diagramas de Dynkin , que producen isomorfismos de los grupos de Coxeter correspondientes y de politopos que realizan las simetrías, así como isomorfismos de álgebras de mentiras cuyos sistemas de raíces están descritos por los mismos diagramas. Estos son:
Diagrama | Clasificación Dynkin | Álgebra de mentiras | Politopo |
---|---|---|---|
A 1 = B 1 = C 1 | - | ||
A 2 = I 2 (2) | - | 2-simplex es regular 3-gon ( triángulo equilátero ) | |
BC 2 = I 2 (4) | 2-cube es 2-cross polytope es regular 4-gon ( cuadrado ) | ||
A 1 × A 1 = D 2 | - | ||
A 3 = D 3 | 3-simplex es 3-demihipercubo ( tetraedro regular ) |
Ver también
- Objeto excepcional
- Coincidencia matemática , para coincidencias numéricas
Notas
- ^ Debido a que estas series de objetos se presentan de manera diferente, no son objetos idénticos (no tienen descripciones idénticas), pero resultan describir el mismo objeto, por lo que uno se refiere a esto como un isomorfismo, no como una igualdad (identidad).
Referencias
- ^ a b c Wilson, Robert A. (2009), "Capítulo 1: Introducción" , Los grupos simples finitos , Textos de posgrado en matemáticas 251, 251 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1- 84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 , 2007 preimpresión ; Capítulo doi : 10.1007 / 978-1-84800-988-2_1 .CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Wilson, Robert A. (2009), Capítulo 3