Grupo simpléctico
En matemáticas , el nombre de grupo simpléctico puede referirse a dos colecciones diferentes, pero estrechamente relacionados, de matemáticas grupos , denotado Sp (2 n , F ) y Sp ( n ) para entero positivo n y campo F (por lo general C o R ). Este último se llama grupo simpléctico compacto y también se denota por . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que generalmente difieren en factores de 2 . La notación usada aquí es consistente con el tamaño de los más comunes.matrices que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples , el álgebra de Lie del grupo complejo Sp (2 n , C ) se denota C n , y Sp ( n ) es la forma real compacta de Sp (2 n , C ) . Tenga en cuenta que cuando nos referimos a la del grupo simpléctico (compacto) se da a entender que estamos hablando de la colección de grupos simplécticos (autónomos), un índice por su dimensión n .
El nombre "grupo simpléctico" se debe a Hermann Weyl como reemplazo de los nombres confusos anteriores ( línea ) grupo complejo y grupo lineal abeliano , y es el análogo griego de "complejo".
El grupo metapléctico es una doble cobertura del grupo simpléctico sobre R ; tiene análogos sobre otros campos locales , campos finitos y anillos de Adele .
El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de las transformaciones lineales de un 2 n -dimensional espacio vectorial sobre el campo F que preservan un no degenerado antisimétrica forma bilineal . Dicho espacio vectorial se denomina espacio vectorial simpléctico , y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto V se denomina Sp ( V ) . Al fijar una base para V , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de 2 n × 2 n , con entradas en F , bajo la operación de multiplicación de matrices . Este grupo se denota Sp (2 n , F ) o Sp ( n , F ) . Si la forma bilineal está representada por la matriz de simetría oblicua no singular Ω, entonces
donde I n es la matriz de identidad. En este caso, Sp (2 n , F ) se puede expresar como esas matrices de bloques , donde , satisfaciendo las tres ecuaciones:
Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante 1 , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial SL (2 n , F ) . Cuando n = 1 , la condición simpléctica en una matriz se satisface si y solo si el determinante es uno, de modo que Sp (2, F ) = SL (2, F ) . Para n > 1 , hay condiciones adicionales, es decir, Sp (2 n , F ) es entonces un subgrupo adecuado de SL (2 n , F ) .