Crecimiento exponencial
El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad con el tiempo. Ocurre cuando la tasa de cambio instantánea (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad misma. Descrita como una función , una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ).
Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que, en cambio, está experimentando un decaimiento exponencial . En el caso de un dominio de definición discreto con intervalos iguales, también se le llama crecimiento geométrico o decaimiento geométrico ya que los valores de la función forman una progresión geométrica .
La fórmula para el crecimiento exponencial de una variable x a la tasa de crecimiento r , a medida que transcurre el tiempo t en intervalos discretos (es decir, en números enteros 0, 1, 2, 3, ...), es
donde x 0 es el valor de x en el tiempo 0. El crecimiento de una colonia bacteriana se usa a menudo para ilustrarlo. Una bacteria se divide en dos, cada una de las cuales se divide dando como resultado cuatro, luego ocho, 16, 32 y así sucesivamente. La cantidad de aumento sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Un crecimiento como este se observa en la actividad o los fenómenos de la vida real, como la propagación de la infección por virus, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la difusión de videos virales . En casos reales, el crecimiento exponencial inicial a menudo no dura para siempre, sino que finalmente se ralentiza debido a los límites superiores causados por factores externos y se convierte encrecimiento logístico .
Términos como "crecimiento exponencial" a veces se interpretan incorrectamente como "crecimiento rápido". De hecho, algo que crece exponencialmente puede, de hecho, crecer lentamente al principio. [1] [2]
Si τ > 0 yb > 1 , entonces x tiene un crecimiento exponencial . Si τ < 0 yb > 1 , o τ > 0 y 0 < b < 1 , entonces x tiene un decaimiento exponencial .
