Crecimiento exponencial
El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad con el tiempo. Ocurre cuando la tasa instantánea de cambio (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la misma cantidad. Descrita como una función , una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ).
Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y, en cambio, se dice que está experimentando una disminución exponencial . En el caso de un dominio discreto de definición con intervalos iguales, también se le llama crecimiento geométrico o decaimiento geométrico ya que los valores de la función forman una progresión geométrica .
La fórmula para el crecimiento exponencial de una variable x a la tasa de crecimiento r , a medida que transcurre el tiempo t en intervalos discretos (es decir, en tiempos enteros 0, 1, 2, 3, ...), es
donde x 0 es el valor de x en el tiempo 0. El crecimiento de una colonia bacteriana se usa a menudo para ilustrarlo. Una bacteria se divide en dos, cada uno de los cuales se divide a sí mismo dando como resultado cuatro, luego ocho, 16, 32, y así sucesivamente. La tasa de aumento sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Un crecimiento como este se observa en la actividad o los fenómenos de la vida real, como la propagación de la infección por virus, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la propagación de videos virales . En casos reales, el crecimiento exponencial inicial a menudo no dura para siempre, sino que finalmente se ralentiza debido a los límites superiores causados por factores externos y se convierte encrecimiento logístico .
Términos como "crecimiento exponencial" a veces se interpretan incorrectamente como "crecimiento rápido". De hecho, algo que está creciendo exponencialmente puede de hecho crecer lentamente al principio. [1] [2]
Si τ > 0 y b > 1 , entonces x tiene un crecimiento exponencial. Si τ <0 y b > 1 , o τ > 0 y 0 < b <1 , entonces x tiene una disminución exponencial .
