En matemáticas , la transformada del FBI o transformada de Fourier-Bros-Iagolnitzer es una generalización de la transformada de Fourier desarrollada por los físicos matemáticos franceses Jacques Bros y Daniel Iagolnitzer para caracterizar la analiticidad local de funciones (o distribuciones ) en R n . La transformación proporciona un enfoque alternativo a los conjuntos de distribuciones de frente de onda analítico , desarrollado de forma independiente por los matemáticos japoneses Mikio Sato , Masaki Kashiwara y Takahiro Kawai en su enfoque del análisis microlocal.. También se puede utilizar para probar la analiticidad de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas analíticas , así como una versión del teorema de unicidad clásico, fortaleciendo el teorema de Cauchy-Kowalevski , debido al matemático sueco Erik Albert Holmgren (1872-1943).
Definiciones
La transformada de Fourier de una función de Schwartz f en S ( R n ) está definida por
El FBI transformar de f se define para un ≥ 0 por
Por tanto, cuando a = 0, coincide esencialmente con la transformada de Fourier.
Se pueden usar las mismas fórmulas para definir las transformadas de Fourier y FBI de distribuciones templadas en S ' ( R n ).
Fórmula de inversión
La fórmula de inversión de Fourier
permite recuperar una función f de su transformada de Fourier.
En particular
De manera similar, con un valor positivo de a , f (0) se puede recuperar de la transformada FBI de f ( x ) mediante la fórmula de inversión
Criterio de analiticidad local
Bros y Iagolnitzer demostraron que una distribución f es localmente igual a una función analítica real en y , en la dirección ξ si y solo si su transformada FBI satisface una desigualdad de la forma
para | ξ | suficientemente largo.
Teorema de unicidad de Holmgren
Una simple consecuencia de la caracterización de la analiticidad local de Bros y Iagolnitzer es el siguiente resultado de regularidad de Lars Hörmander y Mikio Sato ( Sjöstrand (1982) ).
Teorema. Sea P un operador diferencial parcial elíptico con coeficientes analíticos definidos en un subconjunto abierto X de R n . Si Pf es analítico en X , entonces también lo es f .
Cuando "analítico" se reemplaza por "suave" en este teorema, el resultado es solo el lema clásico de Hermann Weyl sobre la regularidad elíptica , generalmente probado usando espacios de Sobolev (Warner 1983). Es un caso especial de resultados más generales que involucran el conjunto de frente de onda analítico (ver más abajo), lo que implica el fortalecimiento clásico de Holmgren del teorema de Cauchy-Kowalevski sobre ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes analíticos reales. En lenguaje moderno, el teorema de unicidad de Holmgren establece que cualquier solución distributiva de tal sistema de ecuaciones debe ser analítica y, por lo tanto, única, según el teorema de Cauchy-Kowalevski.
El conjunto de frente de onda analítica
El conjunto de frente de onda analítico o espectro singular WF A ( f ) de una distribución f (o más generalmente de una hiperfunción ) se puede definir en términos de la transformada del FBI ( Hörmander (1983) ) como el complemento del conjunto cónico de puntos ( x , λ ξ) (λ> 0) tal que la transformada del FBI satisfaga la desigualdad de Bros – Iagolnitzer
para y el punto en el que uno quisiera probar la analiticidad, y | ξ | suficientemente grande y apuntando en la dirección en la que uno quisiera buscar el frente de onda, es decir, la dirección en la que se propaga la singularidad en y , si existe. JM Bony ( Sjöstrand (1982) , Hörmander (1983) ) demostró que esta definición coincidía con otras definiciones introducidas independientemente por Sato, Kashiwara y Kawai y por Hörmander. Si P es un operador diferencial lineal de m- ésimo orden que tiene coeficientes analíticos
con símbolo principal
y variedad característica
luego
En particular, cuando P es elíptico, char P = ø, de modo que
- WF A ( Pf ) = WF A ( f ).
Este es un fortalecimiento de la versión analítica de la regularidad elíptica mencionada anteriormente.
Referencias
- Folland, Gerald B. (1989), Análisis armónico en el espacio de fase , Annals of Mathematics Studies, 122 , Princeton University Press, ISBN 0-691-08528-5
- Gårding, Lars (1998), Matemáticas y matemáticos: Matemáticas en Suecia antes de 1950 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0612-2
- Hörmander, Lars (1983), Análisis de operadores diferenciales parciales I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-12104-8 (Capítulo 9.6, El conjunto de frente de onda analítico).
- Iagolnitzer, Daniel (1975), soporte esencial microlocal de una distribución y descomposiciones locales - una introducción. En Hiperfunciones y física teórica , Lecture Notes in Mathematics, 449 , Springer-Verlag, págs. 121-132
- Krantz, Steven ; Parks, Harold R. (1992), A Primer of Real Analytic Functions , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4264-1. 2a ed., Birkhäuser (2002), ISBN 0-8176-4264-1 .
- Sjöstrand, Johannes (1982), "Singularités analytiques microlocales. [Singularidades analíticas microlocales]", Astérisque , 95 : 1-166
- Trèves, François (1992), Estructuras hipoanalíticas: teoría local , Princeton Mathematical Series, 40 , Princeton University Press, ISBN 0-691-08744-X (Capítulo 9, Transformación del FBI en un colector hipoanalítico).
- Warner, Frank (1983), Fundamentos de geometría diferencial y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, 94 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3