norte | n ! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5 040 |
8 | 40 320 |
9 | 362 880 |
10 | 3 628 800 |
11 | 39 916 800 |
12 | 479 001 600 |
13 | 6 227 020 800 |
14 | 87 178 291 200 |
15 | 1 307 674 368 000 |
dieciséis | 20 922 789 888 000 |
17 | 355 687 428 096 000 |
18 | 6 402 373 705 728 000 |
19 | 121 645 100 408 832 000 |
20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
25 | 1,551 121 004 × 10 25 |
50 | 3.041 409 320 × 10 64 |
70 | 1.197 857 167 × 10 100 |
100 | 9.332 621 544 × 10 157 |
450 | 1.733 368 733 × 10 1 000 |
1 000 | 4.023 872 601 × 10 2 567 |
3 249 | 6.412 337 688 × 10 10 000 |
10 000 | 2.846 259 681 × 10 35 659 |
25 206 | 1.205 703 438 × 10 100 000 |
100 000 | 2.824 229 408 × 10 456 573 |
205 023 | 2.503 898 932 × 10 1 000 004 |
1 000 000 | 8.263 931 688 × 10 5 565 708 |
10 100 | 1010 101,998 109 775 4820 |
En matemáticas , el factorial de un entero no negativo n , denotado por n ! , es el producto de todos los números enteros positivos menores o iguales an :
¡El valor de 0! es 1, de acuerdo con la convención para un producto vacío . [1]
La operación factorial se encuentra en muchas áreas de las matemáticas, especialmente en combinatoria , álgebra y análisis matemático . Su uso más básico cuenta las posibles secuencias distintas - las permutaciones - de n objetos distintos: ¡hay n ! .
La función factorial también puede extenderse a argumentos que no sean enteros mientras conserva sus propiedades más importantes al definir x ! = Γ ( x + 1) , donde Γ es la función gamma ; esto no está definido cuando x es un número entero negativo.
Historia
El uso de factoriales está documentado desde el período talmúdico (200 a 500 d.C.), uno de los primeros ejemplos es el Libro hebreo de la creación Sefer Yetzirah, que enumera los factoriales como un medio para contar permutaciones. [2] Los eruditos indios han estado usando fórmulas factoriales desde al menos el siglo XII. [3] Siddhānta Shiromani de Bhāskara II (c. 1114-1185) mencionó factoriales para permutaciones en el Volumen I, el Līlāvatī . Más tarde, Fabian Stedman describió los factoriales aplicados para cambiar el sonido , un arte musical que implica el sonido de varias campanas afinadas. [4] Después de describir un enfoque recursivo, Stedman da una declaración de un factorial (usando el lenguaje del original):
Ahora bien, la naturaleza de estos métodos es tal, que los cambios en un número comprenden [incluyen] los cambios en todos los números menores ... de tal manera que un repique completo de cambios en un número parece formarse al unir los repiques completos en todos números menores en un cuerpo entero. [5]
La notación n ! fue introducido por el matemático francés Christian Kramp en 1808. [6]
Definición
La función factorial está definida por el producto
Esto conduce a la relación de recurrencia
Factorial de cero
El factorial de 0 es 1 , o en símbolos, ¡0! = 1 .
Hay varias motivaciones para esta definición:
- Para n = 0 , la definición de n ! ya que un producto implica el producto de ningún número en absoluto, por lo que es un ejemplo de la convención más amplia de que el producto de ningún factor es igual a la identidad multiplicativa (ver Producto vacío ).
- Hay exactamente una permutación de objetos cero (sin nada que permutar, el único reordenamiento es no hacer nada).
- Hace que muchas identidades en combinatoria sean válidas para todos los tamaños aplicables. El número de formas de elegir 0 elementos del conjunto vacío viene dado por el coeficiente binomial : De manera más general, el número de formas de elegir todos los n elementos entre un conjunto de n es:
- Permite la expresión compacta de muchas fórmulas, como la función exponencial , como una serie de potencias:
- Extiende la relación de recurrencia a 0.
- Coincide con la función gamma .
Aplicaciones
Aunque la función factorial tiene sus raíces en la combinatoria , las fórmulas que involucran factoriales ocurren en muchas áreas de las matemáticas.
- ¡Hay n ! diferentes formas de organizar n objetos distintos en una secuencia, las permutaciones de esos objetos. [7] [8]
- A menudo, los factoriales aparecen en el denominador de una fórmula para explicar el hecho de que se debe ignorar el orden. Un ejemplo clásico es contar k - combinaciones (subconjuntos de k elementos) de un conjunto con n elementos. Se puede obtener tal combinación eligiendo una k -permutación: seleccionando y eliminando sucesivamente un elemento del conjunto, k veces, para un total de posibilidades. Esto, sin embargo, produce las k- combinaciones en un orden particular que uno desea ignorar; ya que cada combinación de k se obtiene en k ! de diferentes formas, el número correcto de k- combinaciones esEste número se conoce [9] como el coeficiente binomial , porque también es el coeficiente de x k en (1 + x ) n . El terminoa menudo se le llama factorial descendente (pronunciado " n a la k descendente ").
- Los factoriales se producen en álgebra por diversas razones, tales como a través de los coeficientes ya mencionados de la fórmula binomial , o por medio de un promedio de más de permutaciones para simetrización de ciertas operaciones.
- Los factoriales también aparecen en el cálculo ; por ejemplo, ocurren en los denominadores de los términos de la fórmula de Taylor , [10] donde se usan como términos de compensación debido a que la n- ésima derivada de x n es equivalente an ! .
- Los factoriales también se utilizan ampliamente en la teoría de la probabilidad [11] y la teoría de números ( ver más abajo ).
- Los factoriales pueden resultar útiles para facilitar la manipulación de expresiones. Por ejemplo, el número de k -permutaciones de n se puede escribir como si bien esto es ineficiente como medio para calcular ese número, puede servir para probar una propiedad de simetría [8] [9] de los coeficientes binomiales:
- La función factorial se puede mostrar, usando la regla de la potencia , como donde D n x n es la notación de Euler para el n º derivado de x n . [12]
Tasa de crecimiento y aproximaciones para n grandes
A medida que n crece, el factorial n ! aumenta más rápido que todos los polinomios y funciones exponenciales (pero más lento quey funciones exponenciales dobles ) en n .
La mayoría de las aproximaciones para n ! se basan en la aproximación de su logaritmo natural
La gráfica de la función f ( n ) = ln n ! se muestra en la figura de la derecha. Parece aproximadamente lineal para todos los valores razonables de n , pero esta intuición es falsa. ¡Obtenemos una de las aproximaciones más simples para ln n ! delimitando la suma con una integral de arriba y abajo de la siguiente manera:
Por lo tanto, ln n ! ∼ n ln n (consulte la notación Big O ). Este resultado juega un papel clave en el análisis de la complejidad computacional de los algoritmos de clasificación (ver clasificación por comparación ). ¡Desde los límites de ln n ! deducido arriba obtenemos que
A veces es práctico utilizar estimaciones más débiles pero más simples. Usando la fórmula anterior, se muestra fácilmente que para todo n tenemos (norte/3) n < n ! , y para todo n ≥ 6 tenemos n ! <( norte/2) n .
¡Para n grande obtenemos una mejor estimación del número n ! usando la aproximación de Stirling :
De hecho, esto proviene de una serie asintótica para el logaritmo, y n factorial se encuentra entre esta y la siguiente aproximación:
Otra aproximación para ln n ! es dada por Srinivasa Ramanujan ( Ramanujan 1988 )
Tanto esto como la aproximación de Stirling dan un error relativo del orden de 1/n 3, pero el de Ramanujan es aproximadamente cuatro veces más preciso. Sin embargo, si usamos dos términos de corrección en una aproximación de tipo Stirling, como con la aproximación de Ramanujan, el error relativo será de orden1/n 5: [13]
Cálculo
Si la eficiencia no es una preocupación, calcular factoriales es trivial desde un punto de vista algorítmico: multiplicar sucesivamente una variable inicializada en 1 por los enteros hasta n (si los hay) calculará n ! , siempre que el resultado se ajuste a la variable. En los lenguajes funcionales , la definición recursiva a menudo se implementa directamente para ilustrar funciones recursivas.
La principal dificultad práctica para calcular factoriales es el tamaño del resultado. Para asegurar que el resultado exacto se ajuste a todos los valores legales, incluso del tipo integral más pequeño de uso común ( enteros de 8 bits con signo), se requerirían más de 700 bits, por lo que ninguna especificación razonable de una función factorial que utilice tipos de tamaño fijo puede evitar preguntas. de desbordamiento . ¡Los valores 12! y 20! son los factoriales más grandes que se pueden almacenar, respectivamente, en los enteros de 32 bits y 64 bits que se usan comúnmente en las computadoras personales ; sin embargo, muchos lenguajes admiten tipos de enteros de longitud variable capaces de calcular valores muy grandes. [14] La representación en coma flotante de un resultado aproximado permite ir un poco más allá, pero esto también queda bastante limitado por un posible desbordamiento. La mayoría de las calculadoras usan notación científica con exponentes decimales de 2 dígitos, y el factorial más grande que se ajusta es ¡69 !, porque ¡ 69! < 10100 <70! . Otras implementaciones (como software de computadora, como programas de hoja de cálculo) a menudo pueden manejar valores más grandes.
La mayoría de las aplicaciones de software calcularán factoriales pequeños mediante multiplicación directa o búsqueda en tablas. Los valores factoriales más grandes se pueden aproximar usando la fórmula de Stirling . Wolfram Alpha puede calcular resultados exactos para la función de techo y la función de piso aplicadas al logaritmo binario , natural y común de n ! para valores de n hasta249 999 , y hasta20 000 000 ! para los enteros.
Si se necesitan los valores exactos de factoriales grandes, se pueden calcular utilizando aritmética de precisión arbitraria . En vez de hacer las multiplicaciones secuenciales ((1 x 2) x 3) x 4 ... , un programa puede particionar la secuencia en dos partes, cuyos productos son más o menos del mismo tamaño, y se multiplican utilizando un divide y vencerás método . Suele ser más eficaz. [15]
La mejor eficiencia asintóticamente se obtiene calculando n ! de su factorización prima. Como documenta Peter Borwein , la factorización prima permite n ! se calculará en el tiempo O ( n (log n log log n ) 2 ) , siempre que se utilice un algoritmo de multiplicación rápida (por ejemplo, el algoritmo de Schönhage-Strassen ). [16] Peter Luschny presenta código fuente y puntos de referencia para varios algoritmos factoriales eficientes, con o sin el uso de un tamiz principal . [17]
Teoría de los números
Los factoriales tienen muchas aplicaciones en la teoría de números. En particular, n ! es necesariamente divisible por todos los números primos hasta n inclusive . Como consecuencia, n > 5 es un número compuesto si y solo si
Un resultado más fuerte es el teorema de Wilson , que establece que
¡La fórmula de Legendre da la multiplicidad del primo p que ocurre en la factorización prima de n ! como
Sumando 1 a un factorial n ! produce un número que solo es divisible por números primos mayores que n . Este hecho puede usarse para probar el teorema de Euclides de que el número de primos es infinito. [20] Primas de la forma n ! ± 1 se denominan primos factoriales .
Serie de recíprocos
Los recíprocos de factoriales producen una serie convergente cuya suma es la base exponencial e :
Factorial de valores no enteros
Las funciones gamma y pi
Además de los enteros no negativos, el factorial también se puede definir para valores no enteros, pero esto requiere herramientas más avanzadas del análisis matemático .
Una función que completa los valores del factorial (pero con un desplazamiento de 1 en el argumento), que se usa a menudo, se llama función gamma , denotada Γ ( z ) . Se define para todos los números complejos z excepto para los enteros no positivos, y se da cuando la parte real de z es positiva por
Su relación con el factorial es que n ! = Γ ( n + 1) para cada entero no negativo n .
La fórmula original de Euler para la función gamma era
Carl Friedrich Gauss usó la notación Π ( z ) para denotar la misma función, pero con el argumento desplazado por 1, de modo que concuerde con el factorial para enteros no negativos. Esta función pi está definida por
La función pi y la función gamma están relacionadas por la fórmula Π ( z ) = Γ ( z + 1) . Asimismo, Π ( n ) = n ! para cualquier número entero no negativo n .
Además de esto, la función pi satisface la misma recurrencia que los factoriales, pero en cada valor complejo z donde se define
Por ejemplo,
También se deduce que para n ∈ N ,
La función pi ciertamente no es la única forma de extender factoriales a una función definida en casi todos los valores complejos, y ni siquiera la única que es analítica dondequiera que se defina. No obstante, generalmente se considera la forma más natural de extender los valores de los factoriales a una función compleja. Por ejemplo, el teorema de Bohr-Mollerup establece que la función gamma es la única función que toma el valor 1 en 1, satisface la ecuación funcional Γ ( n + 1) = n Γ ( n ) , es meromórfica en los números complejos y es logarítmico-convexo en el eje real positivo. Una declaración similar también se aplica a la función pi, utilizando la ecuación funcional Π ( n ) = n Π ( n - 1) .
Sin embargo, existen funciones complejas que probablemente son más simples en el sentido de la teoría de funciones analíticas y que interpolan los valores factoriales. Por ejemplo, la función 'gamma' de Hadamard ( Hadamard 1894 )
que, a diferencia de la función gamma, es una función completa . [22]Euler también desarrolló una aproximación de producto convergente para los factoriales no enteros, que puede verse como equivalente a la fórmula para la función gamma anterior:
Sin embargo, esta fórmula no proporciona un medio práctico para calcular la función pi o la función gamma, ya que su tasa de convergencia es lenta.
Aplicaciones de la función gamma
El volumen de una hiperesfera n- dimensional de radio R es
Factorial en el plano complejo
La representación a través de la función gamma permite la evaluación de factorial de argumento complejo. Los equilinos de amplitud y fase del factorial se muestran en la figura. Dejar
Las líneas finas muestran niveles intermedios de módulo constante y fase constante. En los polos de cada entero negativo, la fase y la amplitud no están definidas. Los equilinos son densos en las proximidades de las singularidades a lo largo de los valores enteros negativos del argumento.
Para | z | <1 , las expansiones de Taylor se pueden utilizar:
norte | g n | Aproximación |
---|---|---|
0 | 1 | 1 |
1 | - γ | −0,577 215 6649 |
2 | π 2/12 + γ 2/2 | 0,989 055 9955 |
3 | - ζ (3)/3 - π 2/12 - γ 3/6 | −0,907 479 0760 |
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y ζ es la función zeta de Riemann . Los sistemas informáticos de álgebra como SageMath pueden generar muchos términos de esta expansión.
Aproximaciones del factorial
Para los valores grandes del argumento, el factorial se puede aproximar a través de la integral de la función digamma , usando la representación de fracción continua . Este enfoque se debe a TJ Stieltjes (1894). [ cita requerida ] Escribiendo z ! = e P ( z ) donde P ( z ) es
norte un n 0 1/12 1 1/30 2 53/210 3 195/371 4 22 999/22 737 5 29 944 523/19 733 142 6 109 535 241 009/48 264 275 462
Existe la idea errónea de que ln z ! = P ( z ) o ln Γ ( z + 1) = P ( z ) para cualquier complejo z ≠ 0 . [ cita requerida ] De hecho, la relación a través del logaritmo es válida sólo para un rango específico de valores de z en la vecindad del eje real, donde −π
No extensibilidad a números enteros negativos
La relación n ! = n × ( n - 1)! permite calcular el factorial para un número entero dado el factorial para un número entero más pequeño. La relación se puede invertir para que se pueda calcular el factorial para un número entero dado el factorial para un número entero mayor:
Sin embargo, esta recursividad no nos permite calcular el factorial de un entero negativo; uso de la fórmula para calcular (−1)! requeriría una división de un valor distinto de cero por cero y, por lo tanto, nos impide calcular un valor factorial para cada entero negativo. De manera similar, la función gamma no está definida para números enteros cero o negativos, aunque está definida para todos los demás números complejos.
Productos y funciones de tipo factorial
There are several other integer sequences similar to the factorial that are used in mathematics:
Backward factorial
The notation is sometimes used to represent the product of the n integers counting up to and including x (i.e. ).[25]
This is also known as a falling factorial
Double factorial
The product of all the odd integers up to some odd positive integer n is called the double factorial of n, and denoted by n!!.[26] That is,
For example, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.
The sequence of double factorials for n = 1, 3, 5, 7,... starts as
Double factorial notation may be used to simplify the expression of certain trigonometric integrals,[27] to provide an expression for the values of the gamma function at half-integer arguments and the volume of hyperspheres,[28] and to solve many counting problems in combinatorics including counting binary trees with labeled leaves and perfect matchings in complete graphs.[26][29]
Multifactorials
A common related notation is to use multiple exclamation points to denote a multifactorial, the product of integers in steps of two (n!!), three (n!!!), or more (see generalizations of the double factorial). The double factorial is the most commonly used variant, but one can similarly define the triple factorial (n!!!) and so on. One can define the k-tuple factorial, denoted by n!(k), recursively for positive integers as
For sufficiently large n ≥ 1, the ordinary single factorial function is expanded through the multifactorial functions as follows:
In the same way that n! is not defined for negative integers, and n!! is not defined for negative even integers, n!(k) is not defined for negative integers divisible by k.
Primorial
The primorial of a natural number n (sequence A002110 in the OEIS), denoted n#, is similar to the factorial, but with the product taken only over the prime numbers less than or equal to n. That is,
Superfactorial
Neil Sloane and Simon Plouffe defined a superfactorial in The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995) to be the product of the first n factorials. So the superfactorial of 4 is
In general
Equivalently, the superfactorial is given by the formula
The superfactorials can be extended to all complex numbers with the Barnes G-function, such that for all positive integers n. The sequence of superfactorials starts (from n = 0) as
By this definition, we can define the k-superfactorial of n (denoted sfk(n)) as:
The 2-superfactorials of n are
The 0-superfactorial of n is n.
Pickover’s superfactorial
In his 1995 book Keys to Infinity, Clifford Pickover defined a different function n$ that he called the superfactorial. It is defined by
This operation may also be expressed as the tetration
Hyperfactorial
Occasionally the hyperfactorial of n is considered. It is written as H(n) and defined by
For n = 1, 2, 3, 4,... the values of H(n) are 1, 4, 108, 27648,... (sequence A002109 in the OEIS).
The asymptotic growth rate is
where A = 1.2824... is the Glaisher–Kinkelin constant.[30] H(14) ≈ 1.8474×1099 is already almost equal to a googol, and H(15) ≈ 8.0896×10116 is almost of the same magnitude as the Shannon number, the theoretical number of possible chess games. Compared to the Pickover definition of the superfactorial, the hyperfactorial grows relatively slowly.
The hyperfactorial function can be generalized to complex numbers in a similar way as the factorial function. The resulting function is called the K-function.
Ver también
- Alternating factorial
- Bhargava factorial
- Digamma function
- Exponential factorial
- Factorial number system
- Factorion
- List of factorial and binomial topics
- Pochhammer symbol, which gives the falling or rising factorial
- Subfactorial
- Trailing zeros of factorial
- Triangular number, the additive analogue of factorial
Referencias
Citations
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Sources
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Further reading
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- Ramanujan, Srinivasa (1988), The Lost Notebook and Other Unpublished Papers, Springer Berlin, p. 339, ISBN 3-540-18726-X
enlaces externos
- "Factorial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Factorial". MathWorld.
- Factorial at PlanetMath.