Factorización
En matemáticas , la factorización (o factorización , ver diferencias ortográficas en inglés ) o factorización consiste en escribir un número u otro objeto matemático como producto de varios factores , generalmente objetos más pequeños o más simples del mismo tipo. Por ejemplo, 3 × 5 es una factorización del entero 15 y ( x - 2) ( x + 2) es una factorización del polinomio x 2 - 4 .
La factorización generalmente no se considera significativa dentro de los sistemas numéricos que poseen división , como los números reales o complejos , ya que cualquiera puede escribirse trivialmente como siempre que no sea cero. Sin embargo, se puede obtener una factorización significativa para un número racional o una función racional escribiéndolo en términos mínimos y factorizando por separado su numerador y denominador.
La factorización fue considerada por primera vez por los matemáticos griegos antiguos en el caso de los números enteros. Demostraron el teorema fundamental de la aritmética , que afirma que cada entero positivo puede factorizarse en un producto de números primos , que no se puede factorizar en números enteros mayores que 1. Además, esta factorización es única hasta el orden de los factores. Aunque la factorización de enteros es una especie de inverso a la multiplicación, es mucho más difícil algorítmicamente , un hecho que se explota en el criptosistema RSA para implementar la criptografía de clave pública .
La factorización de polinomios también se ha estudiado durante siglos. En álgebra elemental, factorizar un polinomio reduce el problema de encontrar sus raíces a encontrar las raíces de los factores. Los polinomios con coeficientes en números enteros o en un campo poseen la propiedad de factorización única , una versión del teorema fundamental de la aritmética con números primos reemplazados por polinomios irreducibles . En particular, un polinomio univariado con coeficientes complejos admite una factorización única (hasta ordenar) en polinomios lineales : esta es una versión del teorema fundamental del álgebra. En este caso, la factorización se puede realizar con algoritmos de búsqueda de raíces . El caso de polinomios con coeficientes enteros es fundamental para el álgebra computacional . Existen algoritmos informáticos eficientes para calcular factorizaciones (completas) dentro del anillo de polinomios con coeficientes de números racionales (ver factorización de polinomios ).
Un anillo conmutativo que posee la propiedad de factorización única se denomina dominio de factorización único . Hay sistemas numéricos , como ciertos anillos de números enteros algebraicos , que no son dominios de factorización únicos. Sin embargo, los anillos de números enteros algebraicos satisfacen la propiedad más débil de los dominios de Dedekind : los ideales se factorizan únicamente en los ideales primos .
La factorización también puede referirse a descomposiciones más generales de un objeto matemático en el producto de objetos más pequeños o más simples. Por ejemplo, cada función puede incluirse en la composición de una función sobreyectiva con una función inyectiva . Las matrices poseen muchos tipos de factorizaciones matriciales . Por ejemplo, cada matriz tiene una factorización LUP única como producto de una matriz triangular inferior L con todas las entradas diagonales iguales a uno, una matriz triangular superior U y una matriz de permutación P ; esta es una formulación matricial de eliminación gaussiana .