En matemáticas , la imagen de una función es el conjunto de todos los valores de salida que puede producir.
De manera más general, la evaluación de una función f dada en cada elemento de un subconjunto A dado de su dominio produce un conjunto, llamado la " imagen de A bajo (oa través de) f ". Del mismo modo, la imagen inversa (o imagen inversa ) de un subconjunto dado B de la codomain de f , es el conjunto de todos los elementos del dominio que mapa para los miembros de B .
La imagen y la imagen inversa también se pueden definir para relaciones binarias generales , no solo funciones.
Definición
La palabra "imagen" se utiliza de tres formas relacionadas. En estas definiciones, f : X → Y es una función de la serie X al conjunto Y .
Imagen de un elemento
Si x es un miembro de X , entonces la imagen de x debajo de f , denotada f ( x ), [1] es el valor de f cuando se aplica ax. f ( x ) se conoce alternativamente como la salida de f para el argumento x .
Imagen de un subconjunto
La imagen de un subconjunto A ⊆ X bajo f , denotado, es el subconjunto de Y que se puede definir utilizando la notación del generador de conjuntos de la siguiente manera: [2] [3]
Cuando no hay riesgo de confusión, está simplemente escrito como . Esta convención es común; el significado pretendido debe inferirse del contexto. Esto hace que f [.] Una función cuyo dominio es el conjunto potencia de X (el conjunto de todos los subconjuntos de X ), y cuya codomain es el conjunto potencia de Y . Consulte § Notación a continuación para obtener más información.
Imagen de una función
La imagen de una función es la imagen de todo su dominio , también conocido como rango de la función. [4]
Generalización a relaciones binarias
Si R es una relación binaria arbitraria en X × Y , entonces el conjunto {y∈ Y | xRy por algún x ∈ X } se llama la imagen, o la gama, de R . Dualmente, el conjunto { x ∈ X | xRy para algunos y∈ Y } se denomina el dominio de R .
Imagen inversa
Deje f una función de X a Y . La preimagen o imagen inversa de un conjunto B ⊆ Y bajo f , denotado por, es el subconjunto de X definido por
Otras notaciones incluyen f -1 ( B ) [5] y f - ( B ) . [6] La imagen inversa de un singleton , denotado por f −1 [{ y }] o por f −1 [ y ], también se llama fibra sobre yo el conjunto de niveles de y . El conjunto de todas las fibras más de los elementos de Y es una familia de conjuntos indexados por Y .
Por ejemplo, para la función f ( x ) = x 2 , la imagen inversa de {4} sería {−2, 2}. Nuevamente, si no hay riesgo de confusión, f −1 [ B ] se puede denotar por f −1 ( B ), y f −1 también se puede considerar como una función del conjunto de potencias de Y al conjunto de potencias de X . La notación f −1 no debe confundirse con la de función inversa , aunque coincide con la habitual para biyecciones en que la imagen inversa de B bajo f es la imagen de B bajo f −1 .
Notación para imagen e imagen inversa
Las notaciones tradicionales utilizadas en la sección anterior pueden resultar confusas. Una alternativa [7] es dar nombres explícitos para la imagen y la preimagen como funciones entre conjuntos de potencias:
Notación de flechas
- con
- con
Notación de estrella
- en vez de
- en vez de
Otra terminología
- Una notación alternativa para f [ A ] utilizado en la lógica matemática y la teoría de conjuntos es f " A . [8] [9]
- Algunos textos se refieren a la imagen de f como el rango de f , pero este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para significar el codominio de f .
Ejemplos de
- f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } definido porLa imagen del conjunto {2, 3} debajo de f es f ({2, 3}) = { a, c }. La imagen de la función f es { a, c }. La preimagen de a es f −1 ({ a }) = {1, 2}. La preimagen de { a, b } también es {1, 2}. La preimagen de { b , d } es el conjunto vacío {}.
- f : R → R definido por f ( x ) = x 2 . La imagen de {−2, 3} debajo de f es f ({−2, 3}) = {4, 9}, y la imagen de f es R + . La preimagen de {4, 9} bajo f es f −1 ({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. La preimagen del conjunto N = { n ∈ R | n <0} debajo de f es el conjunto vacío, porque los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de reales.
- f : R 2 → R definido por f ( x , y ) = x 2 + y 2 . Las fibras f −1 ({ a }) son círculos concéntricos alrededor del origen , el origen mismo y el conjunto vacío , dependiendo de si a > 0, a = 0 o a <0, respectivamente.
- Si M es un colector y π : TM → M es la canónica proyección desde el fibrado tangente TM a M , entonces las fibras de π son los espacios tangentes T x ( M ) para x ∈ M . Este también es un ejemplo de un haz de fibras .
- Un grupo de cocientes es una imagen homomórfica.
Propiedades
Contraejemplos basados en números reales definido por mostrando que la igualdad generalmente no tiene por qué ser válida para algunas leyes: |
---|
General
Para cada función y todos los subconjuntos y se mantienen las siguientes propiedades:
Imagen | Preimagen |
---|---|
(igual si , p.ej es sobreyectiva) [10] [11] | (igual si es inyectable) [10] [11] |
[10] | |
[12] | [12] |
[12] | [12] |
También:
Múltiples funciones
Para funciones y con subconjuntos y se mantienen las siguientes propiedades:
Múltiples subconjuntos de dominio o codominio
Para la función y subconjuntos y se mantienen las siguientes propiedades:
Imagen | Preimagen |
---|---|
[12] [13] | |
[12] [13] (igual sies inyectable [14] ) | |
[12] (igual sies inyectable [14] ) | [12] |
(igual si es inyectable) |
Los resultados que relacionan imágenes y preimágenes con el álgebra ( booleana ) de intersección y unión funcionan para cualquier colección de subconjuntos, no solo para pares de subconjuntos:
(Aquí, S puede ser infinito, incluso incontablemente infinito ).
Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función de imagen inversa es un homomorfismo de red , mientras que la función de imagen es solo un homomorfismo de semirrejilla (es decir, no siempre conserva las intersecciones).
Ver también
- Biyección, inyección y sobreyección
- Imagen (teoría de categorías)
- Kernel de una función
- Establecer inversión
Notas
- ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ "5.4: Sobre Funciones e Imágenes / Preimágenes de Conjuntos" . LibreTexts de Matemáticas . 2019-11-05 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ Paul R. Halmos (1968). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton: Nostrand. Aquí: Sección 8
- ^ Weisstein, Eric W. "Imagen" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ Dolecki y Mynard 2016 , págs. 4-5.
- ^ Blyth 2005 , p. 5.
- ^ Jean E. Rubin (1967). Teoría de conjuntos para el matemático . Holden-Day. pag. xix. ASIN B0006BQH7S .
- ↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU , 29 de diciembre de 2005, en: Semantic Scholar, p. 2
- ↑ a b c Véase Halmos 1960 , p. 39
- ↑ a b Véase Munkres 2000 , p. 19
- ^ a b c d e f g h Véase la p. 388 de Lee, John M. (2010). Introducción a los colectores topológicos, 2ª ed.
- ↑ a b Kelley , 1985 , p. 85
- ↑ a b Véase Munkres 2000 , p. 21
Referencias
- Artin, Michael (1991). Álgebra . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
- Blyth, TS (2005). Celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Saltador. ISBN 1-85233-905-5..
- Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403 .
- Kelley, John L. (1985). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
- Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
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