Ley de Fick describen la difusión y fueron derivados por Adolf Fick en 1855. [1] Pueden ser utilizados para resolver el coeficiente de difusión , D . La primera ley de Fick se puede utilizar para derivar su segunda ley, que a su vez es idéntica a la ecuación de difusión .
Un proceso de difusión que obedece a las leyes de Fick se llama difusión normal o Fickiana; de lo contrario, se denomina difusión anómala o difusión no Fickiana.
Historia
En 1855, el fisiólogo Adolf Fick informó por primera vez [1] sus ahora bien conocidas leyes que gobiernan el transporte de masa a través de medios difusores. El trabajo de Fick se inspiró en los experimentos anteriores de Thomas Graham , que no llegaron a proponer las leyes fundamentales por las que Fick se haría famoso. La ley de Fick es análoga a las relaciones descubiertas en la misma época por otros científicos eminentes: la ley de Darcy (flujo hidráulico), la ley de Ohm (transporte de carga) y la ley de Fourier (transporte de calor).
Los experimentos de Fick (basados en el modelo de Graham) se ocuparon de medir las concentraciones y los flujos de sal, que se difunden entre dos depósitos a través de tubos de agua. Es notable que el trabajo de Fick se refiera principalmente a la difusión en fluidos, porque en ese momento, la difusión en sólidos no se consideraba generalmente posible. [2] Hoy en día, las leyes de Fick forman el núcleo de nuestra comprensión de la difusión en sólidos, líquidos y gases (en ausencia de movimiento de fluidos a granel en los dos últimos casos). Cuando un proceso de difusión no sigue las leyes de Fick (lo que ocurre en los casos de difusión a través de medios porosos y difusión de penetrantes hinchantes, entre otros), [3] [4] se lo denomina no Fickiano .
Primera ley de Fick
La primera ley de Fick relaciona el flujo de difusión con el gradiente de concentración. Postula que el flujo pasa de regiones de alta concentración a regiones de baja concentración, con una magnitud proporcional al gradiente de concentración (derivada espacial), o en términos simplistas el concepto de que un soluto se moverá de una región de alta concentración a una región de baja concentración a través de un gradiente de concentración. En una dimensión (espacial), la ley se puede escribir en varias formas, donde la forma más común (ver [5] [6] ) está en una base molar:
dónde
- J es el flujo de difusión , cuya dimensión es la cantidad de sustancia por unidad de área por unidad de tiempo . J mide la cantidad de sustancia que fluirá a través de una unidad de área durante un intervalo de tiempo unitario.
- D es el coeficiente de difusión o difusividad . Su dimensión es el área por unidad de tiempo.
- φ (para mezclas ideales) es la concentración, cuya dimensión es la cantidad de sustancia por unidad de volumen.
- x es la posición, cuya dimensión es la longitud.
D es proporcional al cuadrado de la velocidad de las partículas en difusión, que depende de la temperatura, la viscosidad del fluido y el tamaño de las partículas según la relación de Stokes-Einstein . En soluciones acuosas diluidas los coeficientes de difusión de la mayoría de los iones son similares y tienen valores que a temperatura ambiente están en el rango de(0,6–2) × 10 −9 m 2 / s . Para las moléculas biológicas, los coeficientes de difusión normalmente oscilan entre 10-11 y 10-10 m 2 / s.
En dos o más dimensiones debemos usar ∇ , el operador del o gradiente , que generaliza la primera derivada, obteniendo
donde J denota el vector de flujo de difusión.
La fuerza impulsora de la difusión unidimensional es la cantidad :∂ φ/∂ x, que para mezclas ideales es el gradiente de concentración.
Formulaciones alternativas de la primera ley
Otra forma de la primera ley es escribirla con la variable primaria como fracción de masa ( y i , dada, por ejemplo, en kg / kg), luego la ecuación cambia a:
dónde
- el índice i denota la i- ésima especie,
- J i es el vector de flujo de difusión de la i- ésima especie (por ejemplo, en mol / m 2 -s),
- M i es la masa molar de la i- ésima especie, y
- ρ es la densidad de la mezcla (por ejemplo, en kg / m 3 ).
Tenga en cuenta que el está fuera del operador de gradiente . Esto es porque:
donde ρ si es la densidad parcial de la i- ésima especie.
Más allá de esto, en sistemas químicos distintos de las soluciones o mezclas ideales, la fuerza impulsora de la difusión de cada especie es el gradiente de potencial químico de esta especie. Entonces la primera ley de Fick (caso unidimensional) se puede escribir
dónde
- el índice i denota la i- ésima especie.
- c es la concentración (mol / m 3 ).
- R es la constante universal de los gases (J / K / mol).
- T es la temperatura absoluta (K).
- µ es el potencial químico (J / mol).
La fuerza impulsora de la ley de Fick se puede expresar como una diferencia de fugacidad:
Fugacidad Tiene unidades Pa. es una presión parcial del componente i en un vapor o liquido fase. En el equilibrio de vapor líquido, el flujo de evaporación es cero porque.
Derivación de la primera ley de Fick para gases
A continuación se dan cuatro versiones de la ley de Fick para mezclas binarias de gases. Éstos suponen: la difusión térmica es insignificante; la fuerza corporal por unidad de masa es la misma en ambas especies; y la presión es constante o ambas especies tienen la misma masa molar. En estas condiciones, Ref. [7] muestra en detalle cómo la ecuación de difusión de la teoría cinética de los gases se reduce a esta versión de la ley de Fick:
donde V i es la velocidad de difusión de la especie i . En términos de flujo de especies, esto es
Si, además, , esto se reduce a la forma más común de la ley de Fick,
Si (en lugar de o además de ) ambas especies tienen la misma masa molar, la ley de Fick se convierte en
dónde es la fracción molar de la especie i .
Segunda ley de Fick
La segunda ley de Fick predice cómo la difusión hace que la concentración cambie con respecto al tiempo. Es una ecuación diferencial parcial que en una dimensión dice:
dónde
- φ es la concentración en dimensiones de [(cantidad de sustancia) longitud −3 ], ejemplo mol / m 3 ; φ = φ ( x , t ) es una función que depende de la ubicación x y del tiempo t
- t es el tiempo, ejemplo s
- D es el coeficiente de difusión en dimensiones de [longitud 2 tiempo -1 ], ejemplo m 2 / s
- x es la posición [longitud], ejemplo m
En dos o más dimensiones debemos utilizar el laplaciano Δ = ∇ 2 , que generaliza la segunda derivada, obteniendo la ecuación
La segunda ley de Fick tiene la misma forma matemática que la ecuación de calor y su solución fundamental es la misma que la del núcleo de calor , excepto que cambia la conductividad térmica con coeficiente de difusión :
Derivación de la segunda ley de Fick
La segunda ley de Fick se puede derivar de la primera ley de Fick y la conservación de la masa en ausencia de reacciones químicas:
Suponiendo que el coeficiente de difusión D sea una constante, se pueden intercambiar los órdenes de diferenciación y multiplicar por la constante:
y, así, recibir la forma de las ecuaciones de Fick como se indicó anteriormente.
Para el caso de la difusión en dos o más dimensiones, la segunda ley de Fick se convierte en
que es análoga a la ecuación del calor .
Si el coeficiente de difusión no es una constante, sino que depende de la coordenada o concentración, la segunda ley de Fick produce
Un ejemplo importante es el caso en el que φ se encuentra en un estado estable, es decir, la concentración no cambia con el tiempo, de modo que la parte izquierda de la ecuación anterior es idénticamente cero. En una dimensión con constante D , la solución para la concentración será un cambio lineal de concentraciones a lo largo de x . En dos o más dimensiones obtenemos
que es la ecuación de Laplace , cuyas soluciones los matemáticos denominan funciones armónicas .
Soluciones de ejemplo y generalización
La segunda ley de Fick es un caso especial de la ecuación de convección-difusión en la que no hay flujo advectivo ni fuente volumétrica neta. Puede derivarse de la ecuación de continuidad :
donde j es el flujo total y R es una fuente volumétrica neta para φ . Se supone que la única fuente de flujo en esta situación es el flujo difusivo :
Conectando la definición de flujo difusivo a la ecuación de continuidad y asumiendo que no hay fuente ( R = 0 ), llegamos a la segunda ley de Fick:
Si flujo eran el resultado tanto de flujo difusivo y flujo de advección , la ecuación de convección-difusión es el resultado.
Solución de ejemplo 1: fuente de concentración constante y longitud de difusión
Un caso simple de difusión con tiempo t en una dimensión (tomado como el eje x ) desde un límite ubicado en la posición x = 0 , donde la concentración se mantiene en un valor n 0 es
donde erfc es la función de error complementaria . Este es el caso cuando los gases corrosivos se difunden a través de la capa oxidativa hacia la superficie del metal (si asumimos que la concentración de gases en el ambiente es constante y el espacio de difusión, es decir, la capa de producto de corrosión, es semi-infinito , comenzando en 0 en la superficie y extendiéndose infinitamente profundo en el material). Si, a su vez, el espacio de difusión es infinito (que se extiende tanto a través de la capa con n ( x , 0) = 0 , x > 0 como a la de n ( x , 0) = n 0 , x ≤ 0 ), entonces el la solución se modifica solo con el coeficiente 1/2delante de n 0 (ya que ahora la difusión se produce en ambas direcciones). Este caso es válido cuando alguna solución con concentración n 0 se pone en contacto con una capa de disolvente puro. (Bokstein, 2005) La longitud 2 √ Dt se denomina longitud de difusión y proporciona una medida de cuánto se ha propagado la concentración en la dirección x por difusión en el tiempo t (Bird, 1976).
Como una aproximación rápida de la función de error, se pueden usar los primeros 2 términos de la serie de Taylor:
Si D depende del tiempo, la longitud de difusión se vuelve
Esta idea es útil para estimar una longitud de difusión en un ciclo de calentamiento y enfriamiento, donde D varía con la temperatura.
Solución de ejemplo 2: Partícula browniana y desplazamiento cuadrático medio
Otro caso simple de difusión es el movimiento browniano de una partícula. El desplazamiento cuadrático medio de la partícula desde su posición original es:
dónde es la dimensión del movimiento browniano de la partícula. Por ejemplo, la difusión de una molécula a través de una membrana celular de 8 nm de espesor es difusión 1-D debido a la simetría esférica; Sin embargo, la difusión de una molécula desde la membrana hasta el centro de una célula eucariota es una difusión tridimensional. Para un cactus cilíndrico , la difusión desde las células fotosintéticas en su superficie hasta su centro (el eje de su simetría cilíndrica) es una difusión bidimensional.
La raíz cuadrada de MSD, , se utiliza a menudo como una caracterización de qué tan lejos se ha movido la partícula después de un tiempo ha transcurrido. El MSD se distribuye simétricamente en el espacio 1D, 2D y 3D. Por lo tanto, la distribución de probabilidad de la magnitud de MSD en 1D es gaussiana y 3D es la distribución de Maxwell-Boltzmann.
Generalizaciones
- En medios no homogéneos , el coeficiente de difusión varía en el espacio, D = D ( x ) . Esta dependencia no afecta la primera ley de Fick pero la segunda ley cambia:
- En medios anisotrópicos , el coeficiente de difusión depende de la dirección. Es un tensor simétrico D = D ij . La primera ley de Fick cambia a es el producto de un tensor y un vector:Para la ecuación de difusión, esta fórmula daLa matriz simétrica de coeficientes de difusión D ij debe ser definida positiva . Es necesario hacer que el operador del lado derecho sea elíptico .
- Para medios anisotrópicos no homogéneos, estas dos formas de la ecuación de difusión deben combinarse en
- El enfoque basado en la movilidad de Einstein y la fórmula de Teorell da la siguiente generalización de la ecuación de Fick para la difusión multicomponente de los componentes perfectos: donde φ i son concentraciones de los componentes y D ij es la matriz de coeficientes. Aquí, los índices i y j están relacionados con los diversos componentes y no con las coordenadas espaciales.
Las fórmulas de Chapman-Enskog para la difusión en gases incluyen exactamente los mismos términos. Estos modelos físicos de difusión son diferentes de los modelos de prueba ∂ t φ i = ∑ j D ij Δ φ j que son válidos para desviaciones muy pequeñas del equilibrio uniforme. Anteriormente, estos términos se introdujeron en la ecuación de difusión de Maxwell-Stefan .
Para los coeficientes de difusión de componentes múltiples anisotrópicos, se necesita un tensor de rango cuatro, por ejemplo, D ij , αβ , donde i , j se refieren a los componentes y α , β = 1, 2, 3 corresponden a las coordenadas espaciales.
Aplicaciones
Las ecuaciones basadas en la ley de Fick se han utilizado comúnmente para modelar procesos de transporte en alimentos, neuronas , biopolímeros , productos farmacéuticos , suelos porosos , dinámica de poblaciones , materiales nucleares, física del plasma y procesos de dopaje de semiconductores . La teoría de los métodos voltamétricos se basa en soluciones de la ecuación de Fick. Por otro lado, en algunos casos una descripción "fickiana" es inadecuada. Por ejemplo, en la ciencia de los polímeros y la ciencia de los alimentos se requiere un enfoque más general para describir el transporte de componentes en materiales que experimentan una transición vítrea . Un marco más general es el de difusión Maxwell-Stefan ecuaciones [8] de multi-componente de transferencia de masa , de las que la ley de Fick se puede obtener como un caso límite, cuando la mezcla es extremadamente diluido y cada especie química está interactuando sólo con la mezcla de mayor y no con otras especies. Para tener en cuenta la presencia de múltiples especies en una mezcla no diluida, se utilizan varias variaciones de las ecuaciones de Maxwell-Stefan. Ver también procesos de transporte acoplados no diagonales ( relación de Onsager ).
Flujo de Fick en líquidos
Cuando se ponen en contacto dos líquidos miscibles y se produce la difusión, la concentración macroscópica (o media) evoluciona siguiendo la ley de Fick. En una escala mesoscópica, es decir, entre la escala macroscópica descrita por la ley de Fick y la escala molecular, donde tienen lugar los paseos moleculares aleatorios , las fluctuaciones no se pueden descuidar. Estas situaciones se pueden modelar con éxito con la hidrodinámica fluctuante de Landau-Lifshitz. En este marco teórico, la difusión se debe a fluctuaciones cuyas dimensiones van desde la escala molecular hasta la escala macroscópica. [9]
En particular, las ecuaciones hidrodinámicas fluctuantes incluyen un término de flujo de Fick, con un coeficiente de difusión dado, junto con ecuaciones hidrodinámicas y términos estocásticos que describen fluctuaciones. Al calcular las fluctuaciones con un enfoque perturbativo, la aproximación de orden cero es la ley de Fick. El primer orden da las fluctuaciones y resulta que las fluctuaciones contribuyen a la difusión. Esto representa de alguna manera una tautología , ya que los fenómenos descritos por una aproximación de orden inferior es el resultado de una aproximación superior: este problema se resuelve sólo mediante la renormalización de las ecuaciones hidrodinámicas fluctuantes.
Tasa de sorción y frecuencia de colisión del soluto diluido
La tasa de adsorción o absorción de un soluto diluido a una superficie o interfaz en una solución (gaseosa o líquida) se puede calcular utilizando las leyes de difusión de Fick. El número acumulado de moléculas adsorbidas en la superficie se expresa mediante la ecuación de Langmuir-Schaefer en el límite de tiempo corto integrando la ecuación de difusión a lo largo del tiempo: [11]
dónde es el área de la superficie y es la concentración numérica de la molécula en la solución a granel.
La ecuación de Langmuir-Schaefer se puede extender a la ecuación de Ward-Tordai para dar cuenta de la "retrodifusión" de las moléculas rechazadas de la superficie: [12]
dónde es la concentración a granel, es la concentración sub-superficial (que es una función del tiempo dependiendo del modelo de reacción de la adsorción), y es una variable ficticia.
En el límite de tiempo ultracorto, en el orden del tiempo de difusión a 2 / D , donde a es el radio de la partícula, la difusión se describe mediante la ecuación de Langevin . En un tiempo más largo, la ecuación de Langevin se fusiona con la ecuación de Stokes-Einstein . Este último es apropiado para el estado de la solución diluida, donde se considera la difusión de largo alcance. De acuerdo con el teorema de fluctuación-disipación basado en la ecuación de Langevin en el límite de tiempo largo y cuando la partícula es significativamente más densa que el fluido circundante, la constante de difusión dependiente del tiempo es: [13]
dónde
- k B es la constante de Boltzmann .
- T es la temperatura absoluta .
- μ es la movilidad de la partícula en el fluido o gas, que se puede calcular utilizando la relación de Einstein (teoría cinética) .
- m es la masa de la partícula.
- t es el tiempo.
Para una sola molécula, como moléculas orgánicas o biomoléculas (por ejemplo, proteínas) en agua, el término exponencial es insignificante debido al pequeño producto de mμ en la región de picosegundos.
Cuando el área de interés es del tamaño de una molécula (específicamente, una molécula cilíndrica larga como el ADN), la ecuación de la tasa de adsorción representa la frecuencia de colisión de dos moléculas en una solución diluida, con una molécula en un lado específico y la otra sin estérica dependencia, es decir, una molécula (orientación aleatoria) golpea un lado del otro. La constante de difusión debe actualizarse a la constante de difusión relativa entre dos moléculas en difusión. Esta estimación es especialmente útil para estudiar la interacción entre una molécula pequeña y una molécula más grande, como una proteína. La constante de difusión efectiva está dominada por la más pequeña, cuya constante de difusión se puede utilizar en su lugar.
La ecuación de tasa de impacto anterior también es útil para predecir la cinética del autoensamblaje molecular en una superficie. Las moléculas se orientan aleatoriamente en la solución a granel. Suponiendo que 1/6 de las moléculas tiene la orientación correcta hacia los sitios de unión de la superficie, es decir, 1/2 de la dirección z en las tres dimensiones x, y, z, por lo tanto, la concentración de interés es solo 1/6 de la concentración total. Ponga este valor en la ecuación, uno debería poder calcular la curva cinética de adsorción teórica utilizando el modelo de adsorción de Langmuir . En una imagen más rígida, 1/6 puede reemplazarse por el factor estérico de la geometría de unión.
Perspectiva biológica
La primera ley da lugar a la siguiente fórmula: [14]
en el cual,
- P es la permeabilidad, una " conductancia " de la membrana determinada experimentalmente para un gas dado a una temperatura determinada.
- c 2 - c 1 es la diferencia en la concentración del gas a través de la membrana para la dirección del flujo (de c 1 a c 2 ).
La primera ley de Fick también es importante en las ecuaciones de transferencia de radiación. Sin embargo, en este contexto se vuelve inexacto cuando la constante de difusión es baja y la radiación se ve limitada por la velocidad de la luz en lugar de por la resistencia del material a través del cual fluye la radiación. En esta situación, se puede utilizar un limitador de flujo .
La tasa de cambio de un gas a través de una membrana fluida se puede determinar usando esta ley junto con la ley de Graham .
Bajo la condición de una solución diluida cuando la difusión toma el control, la permeabilidad de la membrana mencionada en la sección anterior se puede calcular teóricamente para el soluto usando la ecuación mencionada en la última sección (use con especial cuidado porque la ecuación se deriva para solutos densos, mientras que las moléculas biológicas no son más densas que el agua): [10]
dónde
- es el área total de los poros de la membrana (unidad m 2 ).
- eficiencia transmembrana (sin unidades), que se puede calcular a partir de la teoría estocástica de la cromatografía .
- D es la constante de difusión de la unidad de soluto m 2 s −1 .
- t es la unidad de tiempo s.
- La concentración de c 2 , c 1 debe usar la unidad mol m −3 , por lo que la unidad de flujo se convierte en mol s −1 .
Aplicaciones de fabricación de semiconductores
Las tecnologías de fabricación de circuitos integrados , procesos modelo como CVD, oxidación térmica, oxidación húmeda, dopaje, etc. utilizan ecuaciones de difusión obtenidas de la ley de Fick.
En ciertos casos, las soluciones se obtienen para condiciones de contorno tales como difusión de concentración de fuente constante, concentración de fuente limitada o difusión de límite móvil (donde la profundidad de la unión sigue moviéndose hacia el sustrato).
Ver también
- Difusión
- Ósmosis
- Flujo de masa
- Difusión de Maxwell-Stefan
- Ecuación de Churchill-Bernstein
- Ecuación de Nernst-Planck
- El intercambio de gases
- Difusión falsa
- Advección
Notas
- ↑ a b * Fick, A. (1855). "Ueber Diffusion" . Annalen der Physik (en alemán). 94 (1): 59–86. Código Bibliográfico : 1855AnP ... 170 ... 59F . doi : 10.1002 / yp.18551700105 .
- Fick, A. (1855). "V. Sobre difusión de líquidos". Phil. Mag . 10 (63): 30–39. doi : 10.1080 / 14786445508641925 .
- ^ Philibert, Jean (2005). "Siglos y medio de difusión: Fick, Einstein, antes y más allá" (PDF) . Fundamentos de la difusión . 2 : 1.1–1.10. Archivado desde el original (PDF) el 5 de febrero de 2009.
- ^ Vázquez, JL (2006). "La ecuación del medio poroso". Teoría Matemática . Universidad de Oxford. Prensa.
- ^ Gorban, AN ; Sargsyan, HP; Wahab, HA (2011). "Modelos cuasiquémicos de difusión no lineal multicomponente". Modelización matemática de fenómenos naturales . 6 (5): 184–262. arXiv : 1012.2908 . doi : 10.1051 / mmnp / 20116509 . S2CID 18961678 .
- ^ Atkins, Peter; de Paula, Julio (2006). Química Física para las Ciencias de la Vida .
- ^ Conlisk, A. Terrence (2013). Fundamentos de micro y nanofluidos: con aplicaciones a las ciencias biológicas y químicas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 43. ISBN 9780521881685.
- ^ Williams, FA (1985). "Apéndice E". Teoría de la combustión . Benjamin / Cummings.
- ^ Taylor, Ross; Krishna, R. (1993). "Transferencia de masa multicomponente". Wiley. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Brogioli, D .; Vailati, A. (2001). "Transferencia de masa difusiva por fluctuaciones de desequilibrio: ley de Fick revisada". Phys. Rev. E . 63 (1–4): 012105. arXiv : cond-mat / 0006163 . Código Bibliográfico : 2001PhRvE..63a2105B . doi : 10.1103 / PhysRevE.63.012105 . PMID 11304296 . S2CID 1302913 .
- ^ a b Pyle, Joseph R .; Chen, Jixin (2 de noviembre de 2017). "Fotoblanqueo de YOYO-1 en imágenes de fluorescencia de ADN único de superresolución" . Revista Beilstein de Nanotecnología . 8 : 2292-2306. doi : 10.3762 / bjnano.8.229 . PMC 5687005 . PMID 29181286 .
- ^ Langmuir, I .; Schaefer, VJ (1937). "El efecto de las sales disueltas en monocapas insolubles". Revista de la Sociedad Química Estadounidense . 29 (11): 2400–2414. doi : 10.1021 / ja01290a091 .
- ^ Ward, AFH; Tordai, L. (1946). "Dependencia del tiempo de las tensiones fronterizas de las soluciones I. El papel de la difusión en los efectos del tiempo". Revista de Física Química . 14 (7): 453–461. doi : 10.1063 / 1.1724167 .
- ^ Bian, Xin; Kim, Changho; Karniadakis, George Em (14 de agosto de 2016). "111 años de movimiento browniano" . Materia blanda . 12 (30): 6331–6346. Código Bib : 2016SMat ... 12.6331B . doi : 10.1039 / c6sm01153e . PMC 5476231 . PMID 27396746 .
- ^ Nosek, Thomas M. "Sección 3 / 3ch9 / s3ch9_2" . Fundamentos de la fisiología humana . Archivado desde el original el 24 de marzo de 2016.
Referencias
- Smith, WF (2004). Fundamentos de la ciencia y la ingeniería de los materiales (3ª ed.). McGraw-Hill.
- Berg, HC (1977). Paseos aleatorios en biología . Princeton.
- Bird, RB; Stewart, WE; Lightfoot, EN (1976). Fenómenos de transporte . John Wiley e hijos.
- Crank, J. (1980). Las matemáticas de la difusión . Prensa de la Universidad de Oxford.
- Bokshtein, BS; Mendelev, MI; Srolovitz, DJ, eds. (2005). Termodinámica y cinética en ciencia de materiales: un curso corto . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pp. 167 -171.
- Fick, A. (1855). "Sobre difusión de líquidos". Annalen der Physik und Chemie . 94 : 59. - reimpreso en Fick, Adolph (1995). "Sobre difusión de líquidos". Revista de ciencia de membranas . 100 : 33–38. doi : 10.1016 / 0376-7388 (94) 00230-v .
enlaces externos
- Ecuaciones de Fick, transformación de Boltzmann, etc. (con figuras y animaciones)
- Segunda ley de Fick sobre OpenStax