Métodos de diferencias finitas para la fijación de precios de opciones

Los métodos de diferencia finita para la fijación de precios de opciones son métodos numéricos utilizados en finanzas matemáticas para la valoración de opciones . ^[1] métodos de diferencias finitas se aplicaron primero a valoración de opciones por Eduardo Schwartz en 1977. ^{[2] [3] : 180}

En general, los métodos de diferencias finitas se utilizan para fijar el precio de las opciones mediante la aproximación de la ecuación diferencial (de tiempo continuo) que describe cómo el precio de una opción evoluciona con el tiempo mediante un conjunto de ecuaciones de diferencia (de tiempo discreto) . Las ecuaciones en diferencias discretas pueden resolverse iterativamente para calcular el precio de la opción. ^[4] El enfoque surge porque la evolución del valor de la opción puede modelarse a través de una ecuación diferencial parcial (PDE), en función de (al menos) tiempo y precio del subyacente; véase, por ejemplo, el PDE de Black-Scholes . Una vez en esta forma, se puede derivar un modelo de diferencias finitas y obtener la valoración. ^[2]

El enfoque se puede utilizar para resolver problemas de precios derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que los problemas resueltos por enfoques de árbol . ^[1]

Método

Como anteriormente, la PDE se expresa de forma discretizada, utilizando diferencias finitas , y luego se modela la evolución en el precio de la opción utilizando una celosía con las dimensiones correspondientes : el tiempo va desde 0 hasta el vencimiento; y el precio va de 0 a un valor "alto", de modo que la opción está muy dentro o fuera del dinero . Entonces, la opción se valora de la siguiente manera: ^[5]

1. Los valores de vencimiento son simplemente la diferencia entre el precio de ejercicio de la opción y el valor del subyacente en cada punto.
2. Los valores en los límites , es decir, en cada momento anterior en el que el spot está en su nivel más alto o cero, se establecen en función de los límites monetarios o de arbitraje de los precios de las opciones .
3. Los valores en otros puntos de la red se calculan de forma recursiva (iterativa), comenzando en el paso de tiempo anterior al vencimiento y terminando en el tiempo = 0. Aquí, usando una técnica como Crank-Nicolson o el método explícito :

• el PDE se discretiza según la técnica elegida, de modo que el valor en cada punto de celosía se especifica en función del valor en los puntos posteriores y adyacentes; ver Stencil (análisis numérico) ;
• el valor en cada punto se calcula utilizando la técnica en cuestión.

4. El valor de la opción hoy, cuando el subyacente está a su precio de contado , (o en cualquier combinación de tiempo / precio) se calcula por interpolación .

Aplicación

Como antes, estos métodos pueden resolver problemas de precios derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que los problemas resueltos por enfoques de árbol , ^[1] pero, dada su complejidad relativa, generalmente se emplean solo cuando otros enfoques son inapropiados; un ejemplo aquí, es cambiar las tasas de interés y / o la política de dividendos vinculada al tiempo . Al mismo tiempo, al igual que los métodos basados ​​en árboles, este enfoque está limitado en términos de la cantidad de variables subyacentes y, para problemas con múltiples dimensiones , generalmente se prefieren los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones . ^{[3] : 182}Tenga en cuenta que, cuando se aplican supuestos estándar, la técnica explícita abarca los métodos de árbol binomial y trinomial . ^[6] Los métodos basados ​​en árboles, entonces, adecuadamente parametrizados, son un caso especial del método explícito de diferencias finitas. ^[7]

Referencias

1. Hull, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5ª ed.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
2. Schwartz, E. (enero de 1977). "La valoración de warrants: implementación de un nuevo enfoque" . Revista de Economía Financiera . 4 : 79–94. doi : 10.1016 / 0304-405X (77) 90037-X .
3. Boyle, Phelim ; Feidhlim Boyle (2001). Derivados: las herramientas que cambiaron las finanzas . Publicaciones de riesgo. ISBN  978-1899332885.
4. Phil Goddard (Dakota del Norte). Fijación de precios de opciones: métodos de diferencia finita
5. Wilmott, P .; Howison, S .; Dewynne, J. (1995). Las matemáticas de los derivados financieros: una introducción del estudiante . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-49789-3.
6. Brennan, M .; Schwartz, E. (septiembre de 1978). "Métodos de diferencia finita y procesos de salto que surgen en la fijación de precios de reclamaciones contingentes: una síntesis". Revista de análisis financiero y cuantitativo . 13 (3): 461–474. doi : 10.2307 / 2330152 . JSTOR 2330152 . 
7. Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre modelos de precios de opciones binomiales y trinomiales" . Revista de derivados . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi : 10.3905 / jod.2000.319149 . Archivado desde el original el 22 de junio de 2007. 

Enlaces externos

• Fijación de precios de opciones utilizando métodos de diferencia finita , Prof.Don M. Chance, Louisiana State University
• Enfoque de diferencia finita para los precios de las opciones (incluye el código Matlab ); Solución numérica de la ecuación de Black-Scholes , Tom Coleman, Universidad de Cornell
• Precio de las opciones: métodos de diferencia finita , Dr. Phil Goddard
• Resolución numérica de PDE: algoritmo Crank-Nicolson , profesor R. Jones, Universidad Simon Fraser
• Esquemas numéricos para opciones de precios , Prof. Yue Kuen Kwok, Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong
• Introducción a la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales en finanzas , Claus Munk, Universidad de Aarhus
• Métodos numéricos para la valoración de derivados financieros , DB Ntwiga, Universidad de Western Cape
• El método de las diferencias finitas , Katia Rocha, Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada
• Finanzas analíticas: métodos de diferencias finitas , Jan Röman, Universidad de Mälardalen