Grupo de reflexión
En teoría de grupos y geometría , un grupo de reflexión es un grupo discreto que se genera mediante un conjunto de reflexiones de un espacio euclidiano de dimensión finita . El grupo de simetría de un politopo regular o de un mosaico del espacio euclidiano por copias congruentes de un politopo regular es necesariamente un grupo de reflexión. Los grupos de reflexión también incluyen grupos Weyl y grupos Coxeter cristalográficos . Mientras que el grupo ortogonal se genera por reflexiones (por el teorema de Cartan-Dieudonné ), es un grupo continuo (de hecho, el grupo de Lie), no es un grupo discreto y generalmente se considera por separado.
Sea E un espacio euclidiano de dimensión finita . Un grupo de reflexión finito es un subgrupo del grupo lineal general de E que se genera mediante un conjunto de reflexiones ortogonales a través de hiperplanos que pasan por el origen. Un grupo de reflexión afín es un subgrupo discreto del grupo afín de E que se genera mediante un conjunto de reflejos afines de E (sin el requisito de que los hiperplanos de reflexión pasen por el origen).
Las nociones correspondientes se pueden definir sobre otros campos , lo que lleva a grupos de reflexión complejos y análogos de grupos de reflexión sobre un campo finito .
En dos dimensiones, los grupos de reflexión finitos son los grupos diedros , que se generan por la reflexión en dos líneas que forman un ángulo de y corresponden a la Coxeter diagrama A la inversa, los cíclicos grupos de puntos en dos dimensiones se no generan por reflexiones, y contienen de hecho sin reflejos; sin embargo, son subgrupos del índice 2 de un grupo diedro.
Grupos de reflexión infinitas incluyen los grupos de frisos y y los grupos del papel pintado , , , y . Si el ángulo entre dos líneas es un múltiplo irracional de pi, el grupo generado por las reflexiones en estas líneas es infinito y no discreto, por lo tanto, no es un grupo de reflexión.
Los grupos de reflexión finitos son los grupos de puntos C nv , D nh y los grupos de simetría de los cinco sólidos platónicos . Los poliedros regulares duales (cubo y octaedro, así como dodecaedro e icosaedro) dan lugar a grupos de simetría isomórfica. La clasificación de grupos de reflexión finitos de R 3 es un ejemplo de la clasificación ADE .