La lógica matemática es el estudio de la lógica formal dentro de las matemáticas . Las principales subáreas incluyen la teoría de modelos , la teoría de pruebas, la teoría de conjuntos y la teoría de la recursión . La investigación en lógica matemática comúnmente aborda las propiedades matemáticas de los sistemas formales de lógica, como su poder expresivo o deductivo. Sin embargo, también puede incluir usos de la lógica para caracterizar el razonamiento matemático correcto o para establecer los fundamentos de las matemáticas .
Desde sus inicios, la lógica matemática ha contribuido y ha sido motivada por el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Este estudio comenzó a fines del siglo XIX con el desarrollo de marcos axiomáticos para la geometría , la aritmética y el análisis . A principios del siglo XX, fue moldeado por el programa de David Hilbert para probar la consistencia de las teorías fundamentales. Resultados de Kurt Gödel , Gerhard Gentzen, y otros proporcionaron una resolución parcial al programa y aclararon los problemas involucrados en la prueba de consistencia. El trabajo en teoría de conjuntos mostró que casi todas las matemáticas ordinarias pueden formalizarse en términos de conjuntos, aunque hay algunos teoremas que no pueden probarse en sistemas de axiomas comunes para la teoría de conjuntos. El trabajo contemporáneo sobre los fundamentos de las matemáticas a menudo se centra en establecer qué partes de las matemáticas se pueden formalizar en sistemas formales particulares (como en las matemáticas inversas ) en lugar de tratar de encontrar teorías en las que se puedan desarrollar todas las matemáticas.
El Handbook of Mathematical Logic [1] de 1977 hace una división aproximada de la lógica matemática contemporánea en cuatro áreas:
Cada área tiene un enfoque distinto, aunque muchas técnicas y resultados se comparten entre múltiples áreas. Los límites entre estos campos y las líneas que separan la lógica matemática y otros campos de las matemáticas no siempre son nítidos. El teorema de incompletitud de Gödel marca no solo un hito en la teoría de la recursión y la teoría de la prueba, sino que también ha llevado al teorema de Löb en la lógica modal. El método de forzamiento se emplea en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos y la teoría de la recursión, así como en el estudio de las matemáticas intuicionistas.
El campo matemático de la teoría de categorías utiliza muchos métodos axiomáticos formales e incluye el estudio de la lógica categórica , pero la teoría de categorías normalmente no se considera un subcampo de la lógica matemática. Debido a su aplicabilidad en diversos campos de las matemáticas, matemáticos como Saunders Mac Lane han propuesto la teoría de categorías como un sistema fundamental para las matemáticas, independiente de la teoría de conjuntos. Estos fundamentos utilizan topos , que se asemejan a modelos generalizados de teoría de conjuntos que pueden emplear lógica clásica o no clásica.
La lógica matemática surgió a mediados del siglo XIX como un subcampo de las matemáticas, reflejando la confluencia de dos tradiciones: la lógica filosófica formal y las matemáticas. [2] "La lógica matemática, también llamada 'logística', 'lógica simbólica', el ' álgebra de la lógica ' y, más recientemente, simplemente 'lógica formal', es el conjunto de teorías lógicas elaboradas en el curso de las últimas [ XIX] con la ayuda de una notación artificial y un método rigurosamente deductivo". [3] Antes de este surgimiento, la lógica se estudiaba con la retórica , con los cálculos , [4] a través del silogismo , y con la filosofía .. La primera mitad del siglo XX vio una explosión de resultados fundamentales, acompañada de un vigoroso debate sobre los fundamentos de las matemáticas.