Este artículo utiliza el tratamiento clásico de tensores y la convención de suma de Einstein en todo momento y la métrica de Minkowski tiene la forma diag (+1, −1, −1, −1). Cuando se especifica que las ecuaciones se mantienen en el vacío, se podría considerarlas como la formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga total y corriente.
Para obtener una descripción más general de las relaciones entre el electromagnetismo clásico y la relatividad especial, incluidas varias implicaciones conceptuales de esta imagen, consulte el electromagnetismo clásico y la relatividad especial .
Objetos covariantes
Cuatro vectores preliminares
En este artículo se pueden utilizar tensores de Lorentz de los siguientes tipos para describir cuerpos o partículas:
El tensor electromagnético es la combinación de los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico covariante cuyas entradas son cantidades de campo B. [1]
En el lenguaje de las formas diferenciales , que proporciona la generalización a los espaciotiempos curvos, estos son los componentes de una forma 1 y una forma de 2 respectivamente. Aquí,es la derivada exterior yel producto de la cuña .
Tensor de tensión-energía electromagnética
El tensor de tensión-energía electromagnética se puede interpretar como la densidad de flujo del cuatro-vector del momento, y es un tensor simétrico contravariante que es la contribución de los campos electromagnéticos al tensor total de tensión-energía :
donde η es el tensor métrico de Minkowski (con firma (+ - - -) ). Tenga en cuenta que usamos el hecho de que
que es predicha por las ecuaciones de Maxwell.
Ecuaciones de Maxwell en el vacío
En el vacío (o para las ecuaciones microscópicas, sin incluir descripciones de material macroscópico), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como ecuaciones de dos tensores.
Las dos ecuaciones no homogéneas de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell) se combinan en (con (+ - - -) métrica): [3]
mientras que las ecuaciones homogéneas: la ley de inducción de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo se combinan para formar, que puede estar escrito usando la dualidad Levi-Civita como:
Ley de Gauss - Faraday
donde F αβ es el tensor electromagnético , J α es la corriente de cuatro , ε αβγδ es el símbolo de Levi-Civita y los índices se comportan de acuerdo con la convención de suma de Einstein .
Cada una de estas ecuaciones de tensor corresponde a cuatro ecuaciones escalares, una para cada valor de β .
Usando la notación de tensor antisimétrico y la notación de coma para la derivada parcial (ver cálculo de Ricci ), la segunda ecuación también se puede escribir de manera más compacta como:
En ausencia de fuentes, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
que es una ecuación de onda electromagnética en el tensor de intensidad de campo.
Ecuaciones de Maxwell en el medidor de Lorenz
La condición de calibre de Lorenz es una condición de calibre invariante de Lorenz . (Esto se puede contrastar con otras condiciones del medidor , como el medidor de Coulomb , que si se mantiene en un marco inercial generalmente no se mantendrá en ningún otro). Se expresa en términos de cuatro potenciales de la siguiente manera:
En el medidor de Lorenz, las ecuaciones microscópicas de Maxwell se pueden escribir como:
Fuerza de Lorentz
Partícula cargada
Fuerza de Lorentz f sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). La E de campo y B campo varían en el espacio y el tiempo.
Los campos electromagnéticos (EM) afectan el movimiento de la materia cargada eléctricamente : debido a la fuerza de Lorentz . De esta manera, se pueden detectar campos electromagnéticos (con aplicaciones en física de partículas y ocurrencias naturales como en las auroras ). En forma relativista, la fuerza de Lorentz usa el tensor de intensidad de campo de la siguiente manera. [4]
Expresado en términos de tiempo coordenado t , es:
donde p α es el cuatro momento, q es la carga y x β es la posición.
Expresado en forma independiente del marco, tenemos las cuatro fuerzas
donde u β es la velocidad de cuatro y τ es el tiempo propio de la partícula , que está relacionado con el tiempo coordinado por dt = γdτ .
Continuo de carga
Fuerza de Lorentz por volumen espacial f sobre una distribución de carga continua ( densidad de carga ρ) en movimiento.
La densidad de fuerza debida al electromagnetismo, cuya parte espacial es la fuerza de Lorentz, está dada por
y está relacionado con el tensor de tensión-energía electromagnética por
Leyes de conservación
Carga eléctrica
La ecuación de continuidad :
expresa conservación de carga .
Energía electromagnética: momento
Usando las ecuaciones de Maxwell, se puede ver que el tensor de tensión-energía electromagnética (definido anteriormente) satisface la siguiente ecuación diferencial, relacionándola con el tensor electromagnético y el actual de cuatro vectores.
o
que expresa la conservación del momento lineal y la energía mediante interacciones electromagnéticas.
Objetos covariantes en la materia
Cuatro corrientes libres y ligadas
Para resolver las ecuaciones de electromagnetismo dadas aquí, es necesario agregar información sobre cómo calcular la corriente eléctrica, J ν Con frecuencia, es conveniente separar la corriente en dos partes, la corriente libre y la corriente ligada, que son modelado por diferentes ecuaciones;
dónde
Se han utilizado las ecuaciones macroscópicas de Maxwell , además de las definiciones del desplazamiento eléctrico D y la intensidad magnética H :
donde M es la magnetización y P la polarización eléctrica .
Tensor de magnetización-polarización
La corriente ligada se deriva de los campos P y M que forman un tensor de magnetización-polarización contravariante antisimétrico [1]
que determina la corriente ligada
Tensor de desplazamiento eléctrico
Si esto se combina con F μν obtenemos el tensor de desplazamiento electromagnético contravariante antisimétrico que combina los campos D y H de la siguiente manera:
Los tres tensores de campo están relacionados por:
que es equivalente a las definiciones de los campos D y H dadas anteriormente.
Ecuaciones de Maxwell en la materia
El resultado es que la ley de Ampère ,
,
y la ley de Gauss ,
,
combinar en una ecuación:
Ley de Gauss - Ampère (materia)
La corriente ligada y la corriente libre como se definió anteriormente se conservan automática y por separado
Ecuaciones constitutivas
Aspiradora
En el vacío, las relaciones constitutivas entre el tensor de campo y el tensor de desplazamiento son:
La antisimetría reduce estas 16 ecuaciones a solo seis ecuaciones independientes. Porque es habitual definir F μν por
las ecuaciones constitutivas pueden, en el vacío , combinarse con la ley de Gauss-Ampère para obtener:
El tensor de tensión-energía electromagnética en términos de desplazamiento es:
donde δ α π es el delta de Kronecker . Cuando el índice superior se reduce con η , se vuelve simétrico y es parte de la fuente del campo gravitacional.
Materia lineal, no dispersiva
Por lo tanto, hemos reducido el problema de modelar la corriente, J ν a dos (con suerte) problemas más fáciles: modelar la corriente libre, J ν libre y modelar la magnetización y polarización,. Por ejemplo, en los materiales más simples a bajas frecuencias, uno tiene
donde uno está en el marco inercial instantáneamente comoving del material, σ es su conductividad eléctrica , χ e es su susceptibilidad eléctrica y χ m es su susceptibilidad magnética .
Las relaciones constitutivas entre el y F , propuestos por Minkowski para materiales lineales (es decir, E es proporcional a D y B proporcional a H ), son: [5]
donde u es la cuatro velocidades del material, ε y μ son respectivamente la permitividad y la permeabilidad adecuadas del material (es decir, en el marco de reposo del material),y denota el dual de Hodge .
Lagrangiano para electrodinámica clásica
Aspiradora
La densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica está compuesta por dos componentes: un componente de campo y un componente de fuente:
En el término de interacción, las cuatro corrientes deben entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables; la corriente de cuatro no es en sí misma un campo fundamental.
Las ecuaciones de Lagrange para la densidad electromagnética lagrangiana puede expresarse de la siguiente manera:
Observando
,
y
la expresión dentro del corchete es
El segundo término es
Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento del campo electromagnético son
que es la ecuación de Gauss-Ampère anterior.
Importar
Separando las corrientes libres de las corrientes ligadas, otra forma de escribir la densidad lagrangiana es la siguiente:
Usando la ecuación de Lagrange, las ecuaciones de movimiento para puede ser derivado.
La expresión equivalente en notación vectorial no relativista es
Ver también
Teoría de campo clásica covariante
Tensor electromagnético
Ecuación de ondas electromagnéticas
Potencial de Liénard-Wiechert para una carga en movimiento arbitrario
Problema del conductor y el imán móvil
Ecuación de onda electromagnética no homogénea
Acción proca
Electrodinámica cuántica
Electromagnetismo relativista
Acción de Stueckelberg
Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman
notas y referencias
↑ a b Vanderlinde, Jack (2004), teoría electromagnética clásica , Springer, págs. 313–328, ISBN 9781402026997