Cuando se trabaja en presencia de material a granel, distinguir entre cargas eléctricas libres y unidas puede facilitar el análisis. Cuando se hace la distinción, se denominan ecuaciones macroscópicas de Maxwell. Sin esta distinción, a veces se les llama ecuaciones de contraste "microscópicas" de Maxwell.
El campo electromagnético admite una descripción geométrica independiente de las coordenadas, y las ecuaciones de Maxwell expresadas en términos de estos objetos geométricos son las mismas en cualquier espacio-tiempo, curvo o no. Además, se realizan las mismas modificaciones a las ecuaciones del espacio plano de Minkowski cuando se utilizan coordenadas locales que no son rectilíneas. Por ejemplo, las ecuaciones de este artículo se pueden utilizar para escribir las ecuaciones de Maxwell en coordenadas esféricas . Por estas razones, puede resultar útil pensar en las ecuaciones de Maxwell en el espacio de Minkowski como un caso especial de la formulación general.
dónde es la densidad de la fuerza de Lorentz ,es el recíproco del tensor métrico, y es el determinante del tensor métrico. Darse cuenta de y son tensores (ordinarios) mientras , , y son densidades de tensor de peso +1. A pesar del uso de derivadas parciales , estas ecuaciones son invariantes bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas curvilíneas. Por lo tanto, si se reemplazan las derivadas parciales con derivadas covariantes , los términos adicionales así introducidos se cancelarían (cf. Covarianza manifiesta § Ejemplo ).
El potencial electromagnético
El potencial electromagnético es un vector covariante, A α, que es la primitiva indefinida del electromagnetismo. Como vector covariante, su regla para transformar de un sistema de coordenadas a otro es
Aunque parece haber 64 ecuaciones en Faraday-Gauss, en realidad se reduce a solo cuatro ecuaciones independientes. Usando la antisimetría del campo electromagnético, uno puede reducir a una identidad (0 = 0) o hacer redundantes todas las ecuaciones excepto aquellas en las que λ , μ , ν sean 1, 2, 3 o 2, 3, 0 o 3, 0, 1 o 0, 1, 2.
La ecuación de Faraday-Gauss a veces se escribe
donde un punto y coma indica una derivada covariante, una coma indica una derivada parcial y los corchetes indican antisimetrización (consulte el cálculo de Ricci para la notación). La derivada covariante del campo electromagnético es
Esta ecuación es el único lugar donde la métrica (y por lo tanto la gravedad) entra en la teoría del electromagnetismo. Además, la ecuación es invariante bajo un cambio de escala, es decir, multiplicar la métrica por una constante no tiene ningún efecto en esta ecuación. En consecuencia, la gravedad solo puede afectar al electromagnetismo cambiando la velocidad de la luz en relación con el sistema de coordenadas global que se está utilizando. La luz solo es desviada por la gravedad porque es más lenta cuando está cerca de cuerpos masivos. Entonces, es como si la gravedad aumentara el índice de refracción del espacio cerca de cuerpos masivos.
De manera más general, en materiales donde el tensor de magnetización - polarización no es cero, tenemos
La ley de transformación para el desplazamiento electromagnético es
donde se usa el determinante jacobiano . Si se usa el tensor de magnetización-polarización, tiene la misma ley de transformación que el desplazamiento electromagnético.
Corriente eléctrica
La corriente eléctrica es la divergencia del desplazamiento electromagnético. En un aspirador,
Si se usa magnetización-polarización, esto solo da la porción libre de la corriente
La definición de Ampere-Gauss de la corriente eléctrica no es suficiente para determinar su valor porque no se le ha dado un valor al potencial electromagnético (del cual se derivó en última instancia). En cambio, el procedimiento habitual es equiparar la corriente eléctrica con alguna expresión en términos de otros campos, principalmente el electrón y el protón, y luego resolver el desplazamiento electromagnético, el campo electromagnético y el potencial electromagnético.
La corriente eléctrica es una densidad vectorial contravariante y, como tal, se transforma de la siguiente manera
La densidad de la fuerza de Lorentz es una densidad vectorial covariante dada por
La fuerza sobre una partícula de prueba sujeta solo a la gravedad y el electromagnetismo es
donde p α es el momento lineal 4 de la partícula, t es cualquier coordenada de tiempo que parametriza la línea del mundo de la partícula, Γ β αγ es el símbolo de Christoffel (campo de fuerza gravitacional) y q es la carga eléctrica de la partícula.
Esta ecuación es invariante bajo un cambio en la coordenada de tiempo; solo multiplica pory usa la regla de la cadena . También es invariante bajo un cambio en el sistema de coordenadas x .
Usando la ley de transformación para el símbolo de Christoffel
obtenemos
Lagrangiano
En el vacío, la densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica (en julios / metro 3 ) es una densidad escalar
dónde
Las cuatro corrientes deben entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables.
Si separamos las corrientes libres de las corrientes ligadas, el Lagrangiano se convierte en
Tensor de tensión-energía electromagnética
Como parte del término fuente en las ecuaciones de campo de Einstein , el tensor de tensión-energía electromagnética es un tensor simétrico covariante
usando una métrica de firma (-, +, +, +). Si usa la métrica con firma (+, -, -, -), la expresión paratendrá signo opuesto. El tensor de estrés-energía no tiene trazas
porque el electromagnetismo se propaga a la velocidad invariante local y es conforme invariante. [ cita requerida ]
En la expresión para la conservación de la energía y el momento lineal, el tensor de tensión-energía electromagnética se representa mejor como una densidad de tensor mixto
De las ecuaciones anteriores, se puede demostrar que
donde el punto y coma indica una derivada covariante .
Esto se puede reescribir como
que dice que la disminución de la energía electromagnética es el mismo que el trabajo realizado por el campo electromagnético sobre el campo gravitacional más el trabajo realizado sobre la materia (a través de la fuerza de Lorentz), y de manera similar, la tasa de disminución del momento lineal electromagnético es la fuerza electromagnética ejercida sobre el campo gravitacional más la fuerza de Lorentz ejercida sobre la materia.
Derivación de la ley de conservación
que es cero porque es el negativo de sí mismo (ver cuatro líneas arriba).
Ecuación de ondas electromagnéticas
La ecuación de onda electromagnética no homogénea en términos del tensor de campo se modifica de la forma de relatividad especial a [2]
donde R acbd es la forma covariante del tensor de Riemann yes una generalización del operador d'Alembertian para derivadas covariantes. Utilizando
Las ecuaciones fuente de Maxwell se pueden escribir en términos del 4-potencial [ref. 2, p. 569] como,
o, asumiendo la generalización de la galga de Lorenz en el espacio-tiempo curvo
dónde es el tensor de curvatura de Ricci .
Esta es la misma forma de la ecuación de onda que en el espacio-tiempo plano, excepto que las derivadas se reemplazan por derivadas covariantes y hay un término adicional proporcional a la curvatura. La ecuación de onda en esta forma también tiene cierta semejanza con la fuerza de Lorentz en el espacio-tiempo curvo, donde A a desempeña el papel de la posición 4.
Para el caso de una firma métrica en la forma (+, -, -, -), la derivación de la ecuación de onda en el espacio-tiempo curvo se realiza en el artículo. [ cita requerida ]
No linealidad de las ecuaciones de Maxwell en un espacio-tiempo dinámico
Cuando las ecuaciones de Maxwell se tratan de manera independiente del fondo , es decir, cuando la métrica del espacio-tiempo se toma como una variable dinámica dependiente del campo electromagnético, entonces la ecuación de onda electromagnética y las ecuaciones de Maxwell no son lineales. Esto se puede ver si se observa que el tensor de curvatura depende del tensor de tensión-energía a través de la ecuación de campo de Einstein.
dónde
es el tensor de Einstein , G es la constante gravitacional , g ab es el tensor métrico y R ( curvatura escalar ) es la traza del tensor de curvatura de Ricci. El tensor de tensión-energía se compone de la tensión-energía de las partículas, pero también de la tensión-energía del campo electromagnético. Esto genera la no linealidad.
Formulación geométrica
En la formulación geométrica diferencial del campo electromagnético, el tensor de Faraday antisimétrico se puede considerar como la forma 2 de Faraday . En este punto de vista, una de las dos ecuaciones de Maxwell es
dónde es el operador derivado exterior . Esta ecuación es completamente independiente de coordenadas y métricas y dice que el flujo electromagnético a través de una superficie bidimensional cerrada en el espacio-tiempo es topológico, más precisamente, depende solo de su clase de homología (una generalización de la forma integral de la ley de Gauss y la ecuación de Maxwell-Faraday ya que la clase de homología en el espacio de Minkowski es automáticamente 0). Según el lema de Poincaré , esta ecuación implica, (al menos localmente) que existe una forma 1 satisfactorio
La otra ecuación de Maxwell es
En este contexto, es la forma actual de 3 (o incluso más precisa, forma de tres retorcidos) y la estrelladenota el operador estrella de Hodge . La dependencia de la ecuación de Maxwell de la métrica del espacio-tiempo radica en el operador de estrella de Hodgeen dos formas, que es conforme invariante . Escrita de esta manera, la ecuación de Maxwell es la misma en cualquier espacio-tiempo, manifiestamente invariante de coordenadas y conveniente de usar (incluso en el espacio de Minkowski o en el espacio y tiempo euclidianos, especialmente con coordenadas curvilíneas).
Una interpretación geométrica alternativa es que los dos de Faraday forman es (hasta un factor ) la curvatura de 2 formas de una conexión U (1) en un paquete principal U (1) cuyas secciones representan campos cargados. La conexión es muy parecida al potencial vectorial, ya que cada conexión se puede escribir como para una conexión "base" y
En este punto de vista, la "ecuación" de Maxwell, , es una identidad matemática conocida como identidad Bianchi . La ecuaciones la única ecuación con algún contenido físico en esta formulación. Este punto de vista es particularmente natural cuando se consideran campos cargados o mecánica cuántica. Se puede interpretar como diciendo que, al igual que la gravedad puede entenderse como el resultado de la necesidad de una conexión con vectores de transporte paralelos en diferentes puntos , se pueden entender fenómenos electromagnéticos o efectos cuánticos más sutiles como el efecto Aharanov-Bohm. como resultado de la necesidad de una conexión para transportar en paralelo campos cargados o secciones de onda en diferentes puntos. De hecho, así como el tensor de Riemann es la holonomía de la conexión Levi Civita a lo largo de una curva cerrada infinitesimal, la curvatura de la conexión es la holonomía de la conexión U (1).
Ver también
Ecuación de ondas electromagnéticas
Ecuación de onda electromagnética no homogénea
Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
Formulación de las ecuaciones de Maxwell en relatividad especial
Motivación teórica de la relatividad general
Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
Solución de electrovacío
Paradoja de una carga en un campo gravitacional
Notas
^ Pasillo, GS (1984). "El significado de la curvatura en la relatividad general". Relatividad general y gravitación . 16 (5): 495–500. Código Bibliográfico : 1984GReGr..16..495H . doi : 10.1007 / BF00762342 . S2CID 123346295 .
^ Ehlers J. Campos nulos electromagnéticos generalizados y óptica geométrica, en Perspectivas en geometría y relatividad, ed. por B. Hoffmann, pág. 127-133, Indiana University Press, Bloomington y Londres, 1966.
Referencias
Einstein, A. (1961). Relatividad: la teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.
Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de los campos (cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.
Feynman, RP ; Moringo, FB; Wagner, WG (1995). Conferencias Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley . ISBN 0-201-62734-5.