En geometría diferencial , el cuatro gradiente (o 4 gradiente )es el análogo de cuatro vectores del gradiente del cálculo vectorial .
En la relatividad especial y en la mecánica cuántica , el cuatro gradiente se utiliza para definir las propiedades y relaciones entre los diversos cuatro vectores físicos y tensores .
Notación
Este artículo utiliza la firma métrica (+ - - -) .
SR y GR son abreviaturas de relatividad especial y relatividad general, respectivamente.
() indica la velocidad de la luz en el vacío.
es la métrica plana del espacio-tiempo de SR.
Hay formas alternativas de escribir expresiones de cuatro vectores en física:
- es un estilo de cuatro vectores , que suele ser más compacto y puede usar notación vectorial (como el producto interno "punto"), siempre usando mayúsculas en negrita para representar los cuatro vectores y minúsculas en negrita para representar vectores de 3 espacios, p.ej . La mayoría de las reglas de los vectores de 3 espacios tienen análogos en las matemáticas de los cuatro vectores.
- es un estilo de cálculo de Ricci , que usa notación de índice tensorial y es útil para expresiones más complicadas, especialmente aquellas que involucran tensores con más de un índice, como .
El índice del tensor latino varía en {1, 2, 3} y representa un vector de 3 espacios, p. Ej..
El índice del tensor griego varía en {0, 1, 2, 3} y representa un vector de 4, p. Ej..
En la física de SR, normalmente se usa una combinación concisa, p. Ej. , dónde representa el componente temporal y representa los 3 componentes espaciales.
Los tensores en SR son típicamente tensores 4D (m, n), con m índices superiores yn índices inferiores, con 4D indicando 4 dimensiones = el número de valores que puede tomar cada índice.
La contracción del tensor utilizada en la métrica de Minkowski puede ir a cualquier lado (ver la notación de Einstein ): [1]
Definición
Los componentes covariantes de 4 gradientes escritos de forma compacta en notación de cálculo de Ricci y de cuatro vectores son: [2] [3]
La coma en la última parte de arribaimplica la diferenciación parcial con respecto a 4 posiciones.
Los componentes contravariantes son: [4] [5]
Símbolos alternativos a están y D (aunque también puede significar , el operador de d'Alembert ).
En GR, uno debe usar el tensor métrico más general , y la derivada covariante del tensor , (no confundir con el vector 3-gradiente ).
La derivada covariante incorpora el gradiente de 4 más efectos de curvatura del espacio-tiempo a través de los símbolos de Christoffel
El principio de equivalencia fuerte puede enunciarse como: [6]
"Cualquier ley física que pueda expresarse en notación tensorial en SR tiene exactamente la misma forma en un marco localmente inercial de un espacio-tiempo curvo". Las comas de 4 gradientes (,) en SR simplemente se cambian a punto y coma derivadas covariantes (;) en GR, con la conexión entre los dos mediante símbolos de Christoffel . Esto se conoce en la física de la relatividad como la "regla de la coma al punto y coma".
Entonces, por ejemplo, si en SR, entonces en GR.
En un (1,0) -tensor o 4-vector esto sería: [7]
En un (2,0) -tensor esto sería:
Uso
El gradiente 4 se usa de diferentes maneras en la relatividad especial (SR):
A lo largo de este artículo, las fórmulas son todas correctas para las coordenadas espaciales-temporales planas de Minkowski de SR, pero deben modificarse para las coordenadas espaciales curvas más generales de la relatividad general (GR).
Como 4-divergencia y fuente de leyes de conservación
La divergencia es un operador vectorial que produce un campo escalar con signo que da la cantidad de la fuente de un campo vectorial en cada punto.
La 4-divergencia de la 4-posición da la dimensión del espacio-tiempo :
La 4-divergencia de la densidad de 4 corrientes da una ley de conservación - la conservación de la carga : [8]
Esto significa que la tasa de cambio en el tiempo de la densidad de carga debe ser igual a la divergencia espacial negativa de la densidad de corriente. .
En otras palabras, la carga dentro de una caja no puede cambiar arbitrariamente, debe entrar y salir de la caja a través de una corriente. Esta es una ecuación de continuidad .
La 4 divergencia del flujo de 4 números (4 polvos)se utiliza en la conservación de partículas: [9]
Esta es una ley de conservación para la densidad del número de partículas, típicamente algo así como la densidad del número bariónico.
La 4-divergencia del 4-potencial electromagnético se utiliza en la condición de calibre de Lorenz : [10]
Este es el equivalente a una ley de conservación para el potencial EM 4.
La 4-divergencia del 4D (2,0) -tensor transversal sin trazas que representa la radiación gravitacional en el límite de campo débil (es decir, que se propaga libremente lejos de la fuente).
- : Condición transversal
es el equivalente a una ecuación de conservación para ondas gravitacionales que se propagan libremente.
La 4-divergencia del tensor esfuerzo-energía , la corriente de Noether conservada asociada con las traducciones del espacio-tiempo , da cuatro leyes de conservación en SR: [11]
La conservación de la energía (dirección temporal) y la conservación del momento lineal (3 direcciones espaciales separadas).
A menudo se escribe como:
donde se entiende que el único cero es en realidad un cero de 4 vectores .
Cuando la conservación del tensor esfuerzo-energía () para un fluido perfecto se combina con la conservación de la densidad del número de partículas (), ambos utilizando el gradiente 4, se pueden derivar las ecuaciones relativistas de Euler , que en mecánica de fluidos y astrofísica son una generalización de las ecuaciones de Euler que explican los efectos de la relatividad especial . Estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones clásicas de Euler si la velocidad del 3-espacio del fluido es mucho menor que la velocidad de la luz, la presión es mucho menor que la densidad de energía y esta última está dominada por la densidad de masa en reposo.
En el espacio-tiempo plano y usando coordenadas cartesianas, si se combina esto con la simetría del tensor tensión-energía, se puede mostrar que el momento angular ( momento angular relativista ) también se conserva:
donde este cero es en realidad un (2,0) -tensor cero.
Como matriz jacobiana para el tensor métrico SR Minkowski
La matriz jacobiana es la matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función con valores vectoriales .
El gradiente de 4 actuando en la posición 4 da la métrica espacial SR Minkowski: [12]
Para la métrica de Minkowski, los componentes ( no sumado), con componentes no diagonales todos cero.
Para la métrica cartesiana de Minkowski, esto da .
Generalmente, , dónde es el delta de Kronecker 4D .
Como forma de definir las transformaciones de Lorentz
La transformación de Lorentz se escribe en forma tensorial como [13]
y desde son solo constantes, entonces
Por lo tanto, por definición del gradiente 4
Esta identidad es fundamental. Componentes de la transformada de 4 gradientes según la inversa de las componentes de 4 vectores. Así que el gradiente 4 es la forma única "arquetípica".
Como parte de la derivada del tiempo propio total
El producto escalar de 4 velocidades con el gradiente 4 da la derivada total con respecto al tiempo propio : [14]
El hecho de que es un invariante escalar de Lorentz muestra que la derivada total con respecto al tiempo propio es igualmente un invariante escalar de Lorentz.
Entonces, por ejemplo, la velocidad de 4 es la derivada de la posición 4 con respecto al tiempo adecuado:
o
Otro ejemplo, la 4-aceleración es la derivada en tiempo propio de la velocidad de 4 :
o
Como una forma de definir el tensor electromagnético de Faraday y derivar las ecuaciones de Maxwell
El tensor electromagnético de Faraday es un objeto matemático que describe el campo electromagnético en el espacio-tiempo de un sistema físico. [15] [16] [17] [18] [19]
Aplicando el gradiente 4 para hacer un tensor antisimétrico, se obtiene:
dónde:
- 4-potencial electromagnético, no confundir con la 4-aceleración
- es el potencial escalar eléctrico , y
- es el potencial vectorial magnético de 3 espacios .
Aplicando el gradiente 4 de nuevo y definiendo la densidad de 4 corrientes comose puede derivar la forma tensorial de las ecuaciones de Maxwell :
donde la segunda línea es una versión de la identidad Bianchi ( identidad Jacobi ).
Como una forma de definir el vector de 4 ondas
Un vector de onda es un vector que ayuda a describir una onda . Como cualquier vector, tiene una magnitud y una dirección , las cuales son importantes: su magnitud es el número de onda o el número de onda angular de la onda (inversamente proporcional a la longitud de onda ), y su dirección es normalmente la dirección de propagación de la onda.
El vector de 4 ondas es el gradiente 4 de la fase negativa (o el gradiente 4 negativo de la fase) de una onda en el espacio de Minkowski: [20]
Esto es matemáticamente equivalente a la definición de la fase de una onda (o más específicamente una onda plana ):
donde 4 posiciones , es la frecuencia angular temporal, es el vector de onda espacial de 3 espacios, y es la fase invariante escalar de Lorentz.
with the assumption that the plane wave and are not explicit functions of or .
The explicit form of an SR plane wave can be written as:[21]
- where is a (possibly complex) amplitude.
A general wave would be the superposition of multiple plane waves:
Again using the 4-gradient,
or
- , which is the 4-gradient version of complex-valued plane waves
As the d'Alembertian operator
In special relativity, electromagnetism and wave theory, the d'Alembert operator, also called the d'Alembertian or the wave operator, is the Laplace operator of Minkowski space. The operator is named after French mathematician and physicist Jean le Rond d'Alembert.
The square of is the 4-Laplacian, which is called the d'Alembert operator:[22][23][24][25]
- .
As it is the dot product of two 4-vectors, the d'Alembertian is a Lorentz invariant scalar.
Occasionally, in analogy with the 3-dimensional notation, the symbols and are used for the 4-gradient and d'Alembertian respectively. More commonly however, the symbol is reserved for the d'Alembertian.
Some examples of the 4-gradient as used in the d'Alembertian follow:
In the Klein–Gordon relativistic quantum wave equation for spin-0 particles (ex. Higgs boson):
In the wave equation for the electromagnetic field (using Lorenz gauge ):
- (in vacuum)
- (with a 4-current source, not including the effects of spin)
- (with quantum electrodynamics source, including effects of spin)
where:
- Electromagnetic 4-potential is an electromagnetic vector potential
- 4-current density is an electromagnetic current density
- Dirac Gamma matrices provide the effects of spin
In the wave equation of a gravitational wave (using a similar Lorenz gauge )[26]
where is the transverse traceless 2-tensor representing gravitational radiation in the weak-field limit (i.e. freely propagating far from the source).
Further conditions on are:
- : Purely spatial
- : Traceless
- : Transverse
In the 4-dimensional version of Green's function:
where the 4D Delta function is:
As a component of the 4D Gauss' Theorem / Stokes' Theorem / Divergence Theorem
In vector calculus, the divergence theorem, also known as Gauss's theorem or Ostrogradsky's theorem, is a result that relates the flow (that is, flux) of a vector field through a surface to the behavior of the vector field inside the surface. More precisely, the divergence theorem states that the outward flux of a vector field through a closed surface is equal to the volume integral of the divergence over the region inside the surface. Intuitively, it states that the sum of all sources minus the sum of all sinks gives the net flow out of a region. In vector calculus, and more generally differential geometry, Stokes' theorem (also called the generalized Stokes' theorem) is a statement about the integration of differential forms on manifolds, which both simplifies and generalizes several theorems from vector calculus.
or
where
- is a 4-vector field defined in
- is the 4-divergence of
- is the component of along direction
- is a 4D simply connected region of Minkowski spacetime
- is its 3D boundary with its own 3D volume element
- is the outward-pointing normal
- is the 4D differential volume element
As a component of the SR Hamilton–Jacobi equation in relativistic analytic mechanics
The Hamilton–Jacobi equation (HJE) is a formulation of classical mechanics, equivalent to other formulations such as Newton's laws of motion, Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics. The Hamilton–Jacobi equation is particularly useful in identifying conserved quantities for mechanical systems, which may be possible even when the mechanical problem itself cannot be solved completely. The HJE is also the only formulation of mechanics in which the motion of a particle can be represented as a wave. In this sense, the HJE fulfilled a long-held goal of theoretical physics (dating at least to Johann Bernoulli in the 18th century) of finding an analogy between the propagation of light and the motion of a particle
The generalized relativistic momentum of a particle can be written as[27]
where and
This is essentially the 4-total momentum of the system; a test particle in a field using the minimal coupling rule. There is the inherent momentum of the particle , plus momentum due to interaction with the EM 4-vector potential via the particle charge .
The relativistic Hamilton–Jacobi equation is obtained by setting the total momentum equal to the negative 4-gradient of the action .
The temporal component gives:
The spatial components give:
where is the Hamiltonian.
This is actually related to the 4-wavevector being equal the negative 4-gradient of the phase from above.
To get the HJE, one first uses the Lorentz scalar invariant rule on the 4-momentum:
But from the minimal coupling rule:
So:
Breaking into the temporal and spatial components:
where the final is the relativistic Hamilton–Jacobi equation.
As a component of the Schrödinger relations in quantum mechanics
The 4-gradient is connected with quantum mechanics.
The relation between the 4-momentum and the 4-gradient gives the Schrödinger QM relations.[28]
The temporal component gives:
The spatial components give:
This can actually be composed of two separate steps.
First:[29]
- which is the full 4-vector version of:
The (temporal component) Planck–Einstein relation
The (spatial components) de Broglie matter wave relation
Second:[30]
- which is just the 4-gradient version of the wave equation for complex-valued plane waves
The temporal component gives:
The spatial components give:
As a component of the covariant form of the quantum commutation relation
In quantum mechanics (physics), the canonical commutation relation is the fundamental relation between canonical conjugate quantities (quantities which are related by definition such that one is the Fourier transform of another).
- [31]
- : Taking the spatial components:
- : because
- : because
- : relabeling indices gives the usual quantum commutation rules
As a component of the wave equations and probability currents in relativistic quantum mechanics
The 4-gradient is a component in several of the relativistic wave equations:[32][33]
In the Klein–Gordon relativistic quantum wave equation for spin-0 particles (ex. Higgs boson):[34]
In the Dirac relativistic quantum wave equation for spin-1/2 particles (ex. electrons):[35]
where are the Dirac gamma matrices and is a relativistic wave function.
is Lorentz scalar for the Klein–Gordon equation, and a spinor for the Dirac equation.
It is nice that the gamma matrices themselves refer back to the fundamental aspect of SR, the Minkowski metric:[36]
Conservation of 4-probability current density follows from the continuity equation:[37]
The 4-probability current density has the relativistically covariant expression:[38]
The 4-charge current density is just the charge (q) times the 4-probability current density:[39]
As a key component in deriving quantum mechanics and relativistic quantum wave equations from special relativity
Relativistic wave equations use 4-vectors in order to be covariant.[40][41]
Start with the standard SR 4-vectors:[42]
- 4-position
- 4-velocity
- 4-momentum
- 4-wavevector
- 4-gradient
Note the following simple relations from the previous sections, where each 4-vector is related to another by a Lorentz scalar:
- , where is the proper time
- , where is the rest mass
- , which is the 4-vector version of the Planck–Einstein relation & the de Broglie matter wave relation
- , which is the 4-gradient version of complex-valued plane waves
Now, just apply the standard Lorentz scalar product rule to each one:
The last equation (with the 4-gradient scalar product) is a fundamental quantum relation.
When applied to a Lorentz scalar field , one gets the Klein–Gordon equation, the most basic of the quantum relativistic wave equations:[43]
The Schrödinger equation is the low-velocity limiting case (|v| ≪ c) of the Klein–Gordon equation.[44]
If the quantum relation is applied to a 4-vector field instead of a Lorentz scalar field , then one gets the Proca equation:[45]
If the rest mass term is set to zero (light-like particles), then this gives the free Maxwell equation:
More complicated forms and interactions can be derived by using the minimal coupling rule:
As a component of the RQM covariant derivative (internal particle spaces)
In modern elementary particle physics, one can define a gauge covariant derivative which utilizes the extra RQM fields (internal particle spaces) now known to exist.
The version known from classical EM (in natural units) is:[46]
The full covariant derivative for the fundamental interactions of the Standard Model that we are presently aware of (in natural units) is:[47]
or
where:
- the scalar product summations ( ) here refer to the internal spaces, not the tensor indices
- corresponds to U(1) invariance = (1) EM force gauge boson
- corresponds to SU(2) invariance = (3) weak force gauge bosons ( i = 1, ..., 3)
- corresponds to SU(3) invariance = (8) color force gauge bosons ( a = 1, ..., 8)
The coupling constants are arbitrary numbers that must be discovered from experiment. It is worth emphasizing that for the non-abelian transformations once the are fixed for one representation, they are known for all representations.
These internal particle spaces have been discovered empirically.[48]
Derivación
In three dimensions, the gradient operator maps a scalar field to a vector field such that the line integral between any two points in the vector field is equal to the difference between the scalar field at these two points. Based on this, it may appear incorrectly that the natural extension of the gradient to 4 dimensions should be:
- incorrect
However, a line integral involves the application of the vector dot product, and when this is extended to 4-dimensional spacetime, a change of sign is introduced to either the spatial co-ordinates or the time co-ordinate depending on the convention used. This is due to the non-Euclidean nature of spacetime. In this article, we place a negative sign on the spatial coordinates (the time-positive metric convention ). The factor of (1/c) is to keep the correct unit dimensionality, [length]−1, for all components of the 4-vector and the (−1) is to keep the 4-gradient Lorentz covariant. Adding these two corrections to the above expression gives the correct definition of 4-gradient:
- correct[49][50]
Ver también
- four-vector
- four-position
- four-velocity
- four-acceleration
- four-momentum
- four-force
- four-current
- four-potential
- four-frequency
- four-wavevector
- four-spin
- Ricci calculus
- Index notation
- Tensor
- Antisymmetric tensor
- Einstein notation
- Raising and lowering indices
- Abstract index notation
- Covariance and contravariance of vectors
Nota sobre referencias
Regarding the use of scalars, 4-vectors and tensors in physics, various authors use slightly different notations for the same equations. For instance, some use for invariant rest mass, others use for invariant rest mass and use for relativistic mass. Many authors set factors of and and to dimensionless unity. Others show some or all the constants. Some authors use for velocity, others use . Some use as a 4-wavevector (to pick an arbitrary example). Others use or or or or or , etc. Some write the 4-wavevector as , some as or or or or or . Some will make sure that the dimensional units match across the 4-vector, others do not. Some refer to the temporal component in the 4-vector name, others refer to the spatial component in the 4-vector name. Some mix it throughout the book, sometimes using one then later on the other. Some use the metric (+ − − −), others use the metric (− + + +). Some don't use 4-vectors, but do everything as the old style E and 3-space vector p. The thing is, all of these are just notational styles, with some more clear and concise than the others. The physics is the same as long as one uses a consistent style throughout the whole derivation.[51]
Referencias
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Otras lecturas
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- L.C. Evans, "Partial differential equations", A.M.Society, Grad.Studies Vol.19, 1988
- J.D. Jackson, "Classical Electrodynamics" Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X