En el campo de la topología , un espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio topológico con la propiedad de que para cada subconjunto el cierre de en es idéntico al cierre secuencial de en Los espacios de Fréchet-Urysohn son un tipo especial de espacio secuencial .
Los espacios de Fréchet-Urysohn son la clase más general de espacios para los que las secuencias son suficientes para determinar todas las propiedades topológicas de los subconjuntos del espacio. Es decir, los espacios de Fréchet-Urysohn son exactamente aquellos espacios para los que el conocimiento de qué secuencias convergen a qué límites (y cuáles no) es suficiente para determinar completamente la topología del espacio. Cada espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial, pero no al revés.
El espacio lleva el nombre de Maurice Fréchet y Pavel Urysohn .
Definiciones
Dejar ser un espacio topológico . El cierre secuencial de en es el conjunto:
dónde o se puede escribir si se necesita claridad.
Un espacio topológico se dice que es un espacio de Fréchet-Urysohn si
para cada subconjunto subconjunto dónde denota el cierre de en
Conjuntos secuencialmente abiertos / cerrados
Suponer que es cualquier subconjunto de Una secuencia eventualmente está en si existe un entero positivo tal que para todos los índices (es decir, enteros)
El conjunto se llama secuencialmente abierta si cada secuencia en que converge a un punto de eventualmente está en ; Normalmente, si se entiende entonces está escrito en lugar de
El conjunto se llama secuencialmente cerrado si o de manera equivalente, si siempre es una secuencia en convergiendo a luego también debe estar en El complemento de un conjunto secuencialmente abierto es un conjunto secuencialmente cerrado y viceversa.
Dejar
denotar el conjunto de todos los subconjuntos abiertos secuencialmente de donde esto puede ser denotado por es la topologia está entendido. El conjuntoes una topología enque es más fino que la topología original Cada subconjunto abierto (resp. Cerrado) de es secuencialmente abierto (resp. secuencialmente cerrado), lo que implica que
Fuerte espacio de Fréchet-Urysohn
Un espacio topológico es un fuerte espacio de Fréchet-Urysohn si para cada punto y cada secuencia de subconjuntos del espacio tal que existe una secuencia en tal que para cada y en Las propiedades anteriores se pueden expresar como principios de selección .
Contraste con los espacios secuenciales
Cada subconjunto abierto de se abre secuencialmente y cada conjunto cerrado se cierra secuencialmente. Sin embargo, lo contrario en general no es cierto. Los espacios para los cuales los conversos son verdaderos se denominan espacios secuenciales ; es decir, un espacio secuencial es un espacio topológico en el que cada subconjunto secuencialmente abierto está necesariamente abierto, o de manera equivalente, es un espacio en el que cada subconjunto secuencialmente cerrado está necesariamente cerrado. Cada espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial, pero hay espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn.
Los espacios secuenciales (resp. Espacios de Fréchet-Urysohn) se pueden ver / interpretar exactamente como esos espacios donde para cualquier subconjunto dado conocimiento de qué secuencias en converger a qué punto (s) de (y cuáles no) es suficiente para determinar si está cerrado en (resp. es suficiente para determinar el cierre de en ). [nota 1] Por lo tanto, los espacios secuenciales son esos espacios para que secuencias en se puede utilizar como una "prueba" para determinar si un subconjunto dado está abierto (o, lo que es lo mismo, cerrado) en ; o dicho de otra manera, los espacios secuenciales son aquellos espacios cuyas topologías pueden caracterizarse completamente en términos de convergencia de secuencias. En cualquier espacio que no sea secuencial, existe un subconjunto para el cual esta "prueba" da un " falso positivo ". [nota 2]
Caracterizaciones
Si es un espacio topológico, entonces los siguientes son equivalentes:
- es un espacio de Fréchet-Urysohn.
- Definición: para cada subconjunto
- para cada subconjunto
- Esta declaración es equivalente a la definición anterior porque siempre se mantiene para cada
- Cada subespacio de es un espacio secuencial .
- Para cualquier subconjunto que no esta cerrado eny por cada existe una secuencia en que converge a
- Compare esta condición con la siguiente caracterización de un espacio secuencial :
- Para cualquier subconjunto que no esta cerrado en existe algo para el cual existe una secuencia en que converge a [1]
- Esta caracterización implica que cada espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial.
La caracterización a continuación muestra que entre los espacios secuenciales de Hausdorff, los espacios de Fréchet-Urysohn son exactamente aquellos para los que siempre se puede encontrar una " secuencia diagonal convergente cofinal ", donde esta "secuencia diagonal" es un análogo topológico similar en espíritu a la diagonal secuencias que se utilizan en argumentos de diagonalización , excepto que algunas secuencias podría ser "saltado" por la secuencia diagonal.
Si es un espacio secuencial de Hausdorff , entonces los siguientes son equivalentes:
- es un espacio de Fréchet-Urysohn.
- Si es una secuencia con una imagen infinita (o "rango") que converge en algunos y si por cada es una secuencia que converge a donde estas hipótesis se pueden resumir en el siguiente diagrama
- Se supone que toda convergencia tiene lugar en .
- Porque una secuencia en es por definición solo un mapa de la forma la secuencia " tener una imagen infinita " significa precisamente que el conjuntoes infinito. Si no tiene esta propiedad, entonces es necesariamente constante con el valor en cuyo caso la existencia de los mapas con las propiedades deseadas se verifica fácilmente para este caso especial (incluso si no es un espacio de Fréchet-Urysohn).
- Declaración (2) pero con el requisito adicional de que también aumentará estrictamente.
- Declaración (3) pero con el requisito adicional de que
Propiedades
Cada espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial, aunque la implicación opuesta no es cierta en general. [2] [3]
Si un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es un espacio de Fréchet-Urysohn entonces es igual a la topología final en inducido por el conjunto de todos los arcos enque por definición son caminos continuos que también son incrustaciones topológicas .
Ejemplos de
Cada primer espacio contable es un espacio de Fréchet-Urysohn. En consecuencia, cada segundo espacio contable , cada espacio metrizable y cada espacio pseudometrizable es un espacio Fréchet-Urysohn. También se deduce que todo espacio topológico en un conjunto finito es un espacio de Fréchet-Urysohn.
Espacios duales continuos metrizables
Un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) metrizable (por ejemplo, un espacio Fréchet ) es un espacio normable si y solo si su fuerte espacio dual es un espacio de Fréchet-Urysohn, [4] o de manera equivalente, si y solo sies un espacio normal. [5]
Espacios secuenciales que no son Fréchet – Urysohn
- Límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita
El espacio de las secuencias reales finitas es un espacio secuencial de Hausdorff que no es Fréchet-Urysohn. Por cada entero identificar con el set donde este último es un subconjunto del espacio de secuencias de números reales explícitamente, los elementos y se identifican juntos. En particular, puede identificarse como un subconjunto de y más en general, como un subconjunto para cualquier entero Dejar
Dar su topología habitual en el que un subconjunto está abierto (resp. cerrado) si y solo si para cada entero el conjunto es un subconjunto abierto (resp. cerrado) de (con su topología euclidiana habitual ). Si y es una secuencia en luego en si y solo si existe algún entero tal que ambos y están contenidos en y en De estos hechos se deduce que es un espacio secuencial. Por cada entero dejar denotar la bola abierta en de radio (en la norma euclidiana ) centrada en el origen. Dejar Entonces el cierre de es es todo de pero el origen de no no pertenecer al cierre secuencial de en De hecho, se puede demostrar que
Esto prueba que no es un espacio de Fréchet-Urysohn.
- Montel DF-espacios
Cada espacio Montel DF de dimensión infinita es un espacio secuencial, pero no un espacio Fréchet-Urysohn.
- El espacio Schwartzy el espacio de funciones suaves
Los siguientes espacios ampliamente utilizados son ejemplos destacados de espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. Dejardenotar el espacio de Schwartz y dejar denotar el espacio de funciones suaves en un subconjunto abierto donde ambos espacios tienen sus topologías espaciales de Fréchet habituales , como se define en el artículo sobre distribuciones . Ambas cosas y así como los fuertes espacios duales de ambos espacios, son espacios ultrabornológicos de Montel nucleares completos , lo que implica que los cuatro de estos espacios localmente convexos son también espacios paracompactos [6] normales de barril reflexivo . Los fuertes espacios duales de ambos y son espacios secuenciales pero ninguno de estos duales es un espacio de Fréchet-Urysohn . [7] [8]
Ver también
- Axiomas de contabilidad
- Primer espacio contable : un espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable
- Punto límite : un punto x en un espacio topológico, cuyos vecindarios contienen algún punto en un subconjunto dado que es diferente de x .
- Mapas de cobertura de secuencia
- Espacio secuencial : un espacio topológico que se puede caracterizar en términos de secuencias.
Notas
- ^ Por supuesto, si pudiera utilizar este conocimiento para determinar todos los conjuntos en que están encerrados en entonces podrías determinar el cierre de Debido a esto, la interpretación que se dio asume que usted hace esta determinación de "¿el conjunto está cerrado" solo se aplica al conjunto dadoy no a ningún otro subconjunto; Dicho de otra manera, no se puede aplicar esta "prueba" a un número infinito de subconjuntos simultáneamente (por ejemplo, no se puede utilizar algo parecido al axioma de elección ). Es en los espacios de Fréchet-Urysohn donde el cierre de un conjunto puede determinarse sin que sea necesario considerar ningún subconjunto de otro que
- ^ Aunque esta "prueba" (que intenta responder "¿este conjunto está abierto (o cerrado)?") Podría dar un "falso positivo", nunca puede dar un " falso negativo "; esto se debe a que cada subconjunto abierto (o cerrado) es necesariamente secuencialmente abierta (o secuencialmente cerrada) por lo que esta "prueba" nunca indicará "falso" para ningún conjunto que realmente está abierto (resp. cerrado).
Citas
- ^ Arkhangel'skii, AV y Pontryagin LS, Topología general I, definición 9 p.12
- ^ Engelking 1989, ejemplo 1.6.18
- ^ Ma, Dan. "Una nota sobre el espacio de Arens" . Consultado el 1 de agosto de 2013 .
- ^ Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
- ^ Trèves , 2006 , p. 201.
- ^ "Espacio vectorial topológico" . Enciclopedia de Matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
Es un espacio de Montel, por lo tanto paracompacto, y por lo tanto normal.
- ^ Gabriyelyan, Saak "Propiedades topológicas de los espacios LF estrictos y duales fuertes de los espacios LF estrictos de Montel" (2017)
- ^ T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Japón Acad. 35 (1959), 31-36.
Referencias
- Arkhangel'skii, AV y Pontryagin, LS, Topología general I , Springer-Verlag, Nueva York (1990) ISBN 3-540-18178-4 .
- Booth, PI y Tillotson, A., Categorías convenientes, cerradas monoidales , cerradas cartesianas de espacios topológicos Pacific J. Math., 88 (1980) pp. 35–53.
- Engelking, R., Topología general , Heldermann, Berlín (1989). Edición revisada y completa.
- Franklin, SP, " Espacios en los que bastan las secuencias ", Fondo. Matemáticas. 57 (1965), 107-115.
- Franklin, SP, " Espacios en los que las secuencias son suficientes II ", Fondo. Matemáticas. 61 (1967), 51-56.
- Goreham, Anthony, " Convergencia secuencial en espacios topológicos "
- Steenrod, NE, una categoría conveniente de espacios topológicos , Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .