En matemáticas , específicamente en el cálculo de variaciones , una variación δf de una función f puede concentrarse en un intervalo arbitrariamente pequeño, pero no en un solo punto. En consecuencia, la condición necesaria de extremo ( derivada funcional igual a cero) aparece en una formulación débil (forma variacional) integrada con una función arbitraria δf . El lema fundamental del cálculo de variaciones se usa típicamente para transformar esta formulación débil en la formulación fuerte ( ecuación diferencial ), libre de la integración con función arbitraria. La prueba suele aprovechar la posibilidad de elegirδf concentrado en un intervalo en el que f mantiene el signo (positivo o negativo). Se utilizan varias versiones del lema. Las versiones básicas son fáciles de formular y probar. Se utilizan versiones más potentes cuando es necesario.
Versión básica
- Si una función continua en un intervalo abierto satisface la igualdad
- para todas las funciones suaves con soporte compacto en , luego es idénticamente cero. [1] [2]
Aquí "suave" puede interpretarse como "infinitamente diferenciable", [1] pero a menudo se interpreta como "dos veces continuamente diferenciable" o "continuamente diferenciable" o incluso simplemente "continuo", [2] ya que estas declaraciones más débiles pueden ser lo suficientemente fuertes para una tarea determinada. "Compatible de forma compacta" significa "desaparece en el exterior para algunos , tal que "; [1] pero a menudo una declaración más débil es suficiente, asumiendo solo que (o y varios de sus derivados) desaparece en los puntos finales , ; [2] en este caso el intervalo cerrado se utiliza.
Versión para dos funciones dadas
- Si un par de funciones continuas f , g en un intervalo ( a , b ) satisface la igualdad
- para todas las funciones suaves con soporte compacto h en ( a , b ), entonces g es diferenciable y g ' = f en todas partes. [3] [4]
El caso especial para g = 0 es solo la versión básica.
Este es el caso especial para f = 0 (a menudo suficiente).
- Si una función continua g en un intervalo ( a , b ) satisface la igualdad
- para todas las funciones suaves h en ( a , b ) tales que , entonces g es constante . [5]
Si, además, se supone una diferenciabilidad continua de g , entonces la integración por partes reduce ambos enunciados a la versión básica; este caso se atribuye a Joseph-Louis Lagrange , mientras que la prueba de diferenciabilidad de g se debe a Paul du Bois-Reymond .
Versiones para funciones discontinuas
Las funciones dadas ( f , g ) pueden ser discontinuas, siempre que sean localmente integrables (en el intervalo dado). En este caso, se entiende la integración de Lebesgue , las conclusiones se mantienen en casi todas partes (por lo tanto, en todos los puntos de continuidad), y la diferenciabilidad de g se interpreta como una continuidad absoluta local (en lugar de una diferenciabilidad continua). [6] [7] A veces se supone que las funciones dadas son continuas por partes , en cuyo caso la integración de Riemann es suficiente, y las conclusiones se expresan en todas partes excepto en el conjunto finito de puntos de discontinuidad. [4]
Derivadas superiores
- Si una tupla de funciones continuas en un intervalo ( a , b ) satisface la igualdad
- para todas las funciones suaves compatibles de forma compacta h en ( a , b ), existen funciones continuamente diferenciables en ( a , b ) tal que
- En todas partes. [8]
Esta condición necesaria también es suficiente, ya que el integrando se convierte en
El caso n = 1 es solo la versión para dos funciones dadas, ya que y por lo tanto,
Por el contrario, el caso n = 2 no conduce a la relación desde la función no necesita ser diferenciable dos veces. La condición suficienteno es necesario. Más bien, la condición necesaria y suficiente puede escribirse comopara n = 2,para n = 3, y así sucesivamente; en general, los corchetes no se pueden abrir debido a la indiferenciabilidad.
Funciones con valores vectoriales
Generalización a funciones con valores vectoriales es sencillo; se aplican los resultados de las funciones escalares a cada coordenada por separado, [9] o se trata el caso con valores vectoriales desde el principio. [10]
Funciones multivariables
- Si una función multivariable continua f en un conjunto abierto satisface la igualdad
- para todas las funciones suaves h en Ω con soporte compacto , f es idénticamente cero.
De manera similar a la versión básica, se puede considerar una función continua f en el cierre de Ω, asumiendo que h desaparece en el límite de Ω (en lugar de ser compatible de forma compacta). [11]
Aquí hay una versión para funciones multivariables discontinuas.
- Dejar ser un conjunto abierto, y satisfacer la igualdad
- para todas las funciones suaves con soporte compacto h en Ω. Entonces f = 0 (en L 2 , es decir, casi en todas partes). [12]
Aplicaciones
Este lema se usa para demostrar que los extremos del funcional
son soluciones débiles (para un espacio vectorial apropiado ) de la ecuación de Euler-Lagrange
La ecuación de Euler-Lagrange juega un papel destacado en la mecánica clásica y la geometría diferencial .
Notas
- ^ a b c Jost y Li-Jost 1998 , Lema 1.1.1 en la p.6
- ^ a b c Gelfand y Fomin 1963 , Lema 1 en la p.9 (y Observación)
- ^ Gelfand y Fomin 1963 , Lema 4 en la p.11
- ↑ a b Hestenes 1966 , Lema 15.1 en la p.50
- ^ Gelfand y Fomin 1963 , Lema 2 en la p. 10
- ^ Jost y Li-Jost 1998 , Lema 1.2.1 en la p.13
- ^ Giaquinta & Hildebrandt 1996 , sección 2.3: Mollifiers
- ^ Hestenes 1966 , Lema 13.1 en la p.105
- ^ Gelfand y Fomin 1963 , p.35
- ^ Jost y Li-Jost 1998
- ^ Gelfand y Fomin 1963 , Lema en la p. 22; la prueba se aplica en ambas situaciones.
- ^ Jost y Li-Jost 1998 , Lema 3.2.3 en la p. 170
Referencias
- Jost, Jürgen; Li-Jost, Xianqing (1998), Cálculo de variaciones , Universidad de Cambridge
- Gelfand, IM; Fomin, SV (1963), Cálculo de variaciones , Prentice-Hall (traducción del ruso).
- Hestenes, Magnus R. (1966), Cálculo de variaciones y teoría del control óptimo , John Wiley
- Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996), Cálculo de variaciones I , Springer