Teoría general de conjuntos

La teoría de conjuntos general ( GST ) es George Boolos 's (1998) para el nombre de un fragmento de la teoría axiomática de conjuntos Z . GST es suficiente para todas las matemáticas que no requieren conjuntos infinitos , y es la teoría de conjuntos conocida más débil cuyos teoremas incluyen los axiomas de Peano .

Ontología

La ontología de GST es idéntica a la de ZFC y, por lo tanto, es completamente canónica. GST presenta una única noción ontológica primitiva , la de conjunto , y una única suposición ontológica, a saber, que todos los individuos en el universo del discurso (por lo tanto, todos los objetos matemáticos ) son conjuntos. Hay una única relación binaria primitiva , pertenencia al conjunto ; ese conjunto a es un miembro del conjunto b se escribe a ∈ b (normalmente se lee " a es un elemento de b ").

Axiomas

Los axiomas simbólicos a continuación son de Boolos (1998: 196) y gobiernan cómo se comportan e interactúan los conjuntos. Al igual que con Z , la lógica de fondo para GST es lógica de primer orden con identidad . De hecho, GST es el fragmento de Z obtenido al omitir los axiomas Unión , Conjunto de potencias , Conjuntos elementales (esencialmente emparejamiento ) e Infinito y luego tomando un teorema de Z, Adjunción, como axioma. Las versiones en lenguaje natural de los axiomas están destinadas a ayudar a la intuición.

1) axioma de extensionalidad : Los conjuntos de x y y son el mismo conjunto si tienen los mismos miembros.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z[z\in x\leftrightarrow z\in y]\rightarrow x=y].}$

La inversa de este axioma se sigue de la propiedad de sustitución de la igualdad.

2) Esquema de especificación del axioma (o separación o comprensión restringida ): si z es un conjunto y es cualquier propiedad que pueda ser satisfecha por todos, algunos o ningún elemento de z , entonces existe un subconjunto y de z que contiene solo esos elementos x en z que satisfacen la propiedad . La restricción de z es necesario para evitar la paradoja de Russell y sus variantes. Más formalmente, sea ​​cualquier fórmula en el lenguaje de GST en la que x puede aparecer libremente y y${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (x)}$no es. Entonces todas las instancias del siguiente esquema son axiomas:

${\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\leftrightarrow (x\in z\land \phi (x))].}$

3) axioma de Adjunción : Si x y y son conjuntos, entonces existe un conjunto w , la adjunción de x y y , cuyos miembros son sólo y y los miembros de x . ^[1]

${\displaystyle \forall x\forall y\exists w\forall z[z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y)].}$

La adjunción se refiere a una operación elemental en dos conjuntos y no tiene relación con el uso de ese término en otras partes de las matemáticas, incluida la teoría de categorías .

Discusión

Metamatemáticas

Tenga en cuenta que la Especificación es un esquema de axioma. La teoría dada por estos axiomas no es finitamente axiomatizable . Montague (1961) mostró que ZFC no es finitamente axiomatizable, y su argumento se traslada a GST. Por lo tanto, cualquier axiomatización de GST debe incluir al menos un esquema de axioma . Con sus axiomas simples, GST también es inmune a las tres grandes antinomias de la teoría de conjuntos ingenua : Russell , Burali-Forti y Cantor .

GST es interpretable en álgebra de relaciones porque ninguna parte de ningún axioma de GST se encuentra en el alcance de más de tres cuantificadores . Ésta es la condición necesaria y suficiente dada en Tarski y Givant (1987).

Aritmética de Peano

Configuración φ ( x ) en la separación para x ≠ x , y suponiendo que el dominio es no vacío, asegura la existencia del conjunto vacío . La adjunción implica que si x es un conjunto, entonces también lo es . Dada la Adjunción , puede continuar la construcción habitual de los ordinales sucesores a partir del conjunto vacío , uno en el que los números naturales se definen como . Vea los axiomas de Peano . GST es mutuamente interpretable con la aritmética de Peano (por lo tanto, tiene la misma fuerza teórica de prueba que PA).${\displaystyle S(x)=x\cup \{x\}}$${\displaystyle \varnothing ,\,S(\varnothing ),\,S(S(\varnothing )),\,\ldots ,}$

El hecho más notable sobre ST (y, por tanto, GST), es que estos pequeños fragmentos de la teoría de conjuntos dan lugar a una metamatemática tan rica. Mientras que ST es un pequeño fragmento de las bien conocidas teorías de conjuntos canónicos ZFC y NBG , ST interpreta la aritmética de Robinson (Q), de modo que ST hereda las metamatemáticas no triviales de Q. Por ejemplo, ST es esencialmente indecidible porque Q es, y todo coherente La teoría cuyos teoremas incluyen los axiomas ST también es esencialmente indecidible. ^[2] Esto incluye GST y todas las teorías axiomáticas de conjuntos en las que vale la pena pensar, asumiendo que son consistentes. De hecho, la indecidibilidad de ST implica la indecidibilidad de la lógica de primer orden.con una sola letra de predicado binario . ^[3]

Q también es incompleto en el sentido del teorema de incompletitud de Gödel . Cualquier teoría axiomatizable, como ST y GST, cuyos teoremas incluyen los axiomas Q, es igualmente incompleta. Además, la consistencia de GST no se puede probar dentro de GST mismo, a menos que GST sea de hecho inconsistente.

Conjuntos infinitos

Dado cualquier modelo M de ZFC, la colección de conjuntos finitos hereditariamente en M satisfará los axiomas de GST. Por lo tanto, GST no puede probar la existencia ni siquiera de un conjunto infinito contable , es decir, de un conjunto cuya cardinalidad es ℵ ₀ . Incluso si GST permitiera un conjunto infinito numerable, GST no podría probar la existencia de un conjunto cuya cardinalidad es , porque GST carece del axioma de conjunto de poder . Por lo tanto, GST no puede fundamentar el análisis y la geometría , y es demasiado débil para servir como base para las matemáticas .${\displaystyle \aleph _{1}}$

Historia

Boolos estaba interesado en GST solo como un fragmento de Z que es lo suficientemente poderoso como para interpretar la aritmética de Peano . Nunca se demoró sobre GST, sólo se menciona brevemente en varios documentos que discuten los sistemas de Frege 's Grundlagen y Grundgesetze , y cómo podría modificarse para eliminar la paradoja de Russell . El sistema Aξ ' [δ ₀ ] en Tarski y Givant (1987: 223) es esencialmente GST con un esquema de axioma de inducción que reemplaza a la Especificación , y con la existencia de un conjunto vacío asumido explícitamente.

GST se llama STZ en Burgess (2005), p. 223. ^[4] La teoría ST ^{[5 ] de} Burgess es GST con Conjunto Vacío reemplazando el esquema de axioma de especificación . Que las letras "ST" también aparezcan en "GST" es una coincidencia.

Notas al pie

1. adjunción rara vez se menciona en la literatura. Las excepciones son Burgess (2005) passim y QIII en Tarski y Givant (1987: 223).
2. Burgess (2005), 2.2, p. 91.
3. Tarski y col. (1953), pág. 34.
4. Elaxioma Conjunto vacío en STZ es redundante, porque la existencia del conjunto vacío es derivable del esquema de axioma de Especificación.
5. Llamado S 'en Tarski et al. (1953: 34).

Referencias

• George Boolos (1999) Lógica, lógica y lógica . Universidad de Harvard. Presionar.
• Burgess, John, 2005. Fixing Frege . Universidad de Princeton Presionar.
• Richard Montague (1961) "Cierre semántico y axiomatizabilidad no finita" en Métodos Infinistas . Varsovia: 45-69.
• Alfred Tarski , Andrzej Mostowski y Raphael Robinson (1953) Teorías indecidibles . Holanda Septentrional.
• Tarski, A. y Givant, Steven (1987) Una formalización de la teoría de conjuntos sin variables . Providence RI: Publicaciones del Coloquio AMS, v.41.

Enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : Teoría de Conjuntos — por Thomas Jech.