Matriz de Cartan

Matrices nombradas en honor a Élie Cartan

En matemáticas , el término matriz de Cartan tiene tres significados. Todos ellos llevan el nombre del matemático francés Élie Cartan . Curiosamente, las matrices de Cartan en el contexto de las álgebras de Lie fueron investigadas por primera vez por Wilhelm Killing , mientras que la forma Killing se debe a Cartan. ^{[ cita requerida ]}

Álgebras de mentira

Grupos de mentiras
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n )
Grupos de Simple Lie Clásico Un n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Círculo Euclidiana
Álgebras de mentira Correspondencia entre grupos de mentiras y álgebra de mentiras Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matanza Índice Simetría del punto de mentira Álgebra de mentira simple
Álgebra de mentira semimple Diagramas Dynkin Subálgebra de cartan Sistema raíz Grupo Weyl Forma real Complejificación Álgebra de mentira dividida Álgebra de mentira compacta
Teoría de la representación Representación de grupos de mentiras Representación del álgebra de mentiras Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del mayor peso Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de mentiras en física Física de partículas y teoría de la representación. Representaciones del grupo Lorentz Representaciones del grupo Poincaré Representaciones del grupo galileo
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
v t mi

Una matriz de Cartan generalizada (simétrizable) es una matriz cuadrada con entradas integrales tales que${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. Para las entradas diagonales, .${\displaystyle a_{ii}=2}$
2. Para las entradas no diagonales, .${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$ si y solo si ${\displaystyle a_{ji}=0}$
4. ${\displaystyle A}$se puede escribir como , donde es una matriz diagonal y es una matriz simétrica .${\displaystyle DS}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$

Por ejemplo, la matriz de Cartan para G 2 se puede descomponer como tal:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}$

La tercera condición no es independiente, sino que en realidad es una consecuencia de la primera y la cuarta condiciones.

Siempre podemos elegir una D con entradas diagonales positivas. En ese caso, si S en la descomposición anterior es positivo definido , entonces se dice que A es una matriz de Cartan .

La matriz de Cartan de un álgebra de Lie simple es la matriz cuyos elementos son los productos escalares

${\displaystyle a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}}$ ^[1]

(a veces llamados enteros de Cartan ) donde r _i son las raíces simples del álgebra. Las entradas son integrales de una de las propiedades de las raíces . La primera condición se deriva de la definición, la segunda del hecho de que for es una raíz que es una combinación lineal de las raíces simples r _i y r _j con un coeficiente positivo para r _j y, por lo tanto, el coeficiente para r _i tiene que ser no negativo. El tercero es cierto porque la ortogonalidad es una relación simétrica. Y por último, deja y${\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}$${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$. Debido a que las raíces simples abarcan un espacio euclidiano , S es definida positiva.

Por el contrario, dada una matriz de Cartan generalizada, se puede recuperar su álgebra de Lie correspondiente. (Ver álgebra de Kac-Moody para más detalles).

Clasificación

Una matriz A es descomponible si existe un subconjunto propio no vacío tal que siempre y . A es indescomponible si no es descomponible.${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle j\notin I}$

Sea A una matriz de Cartan generalizada e indecomponible. Decimos que A es de tipo finito si todos sus principales menores son positivos, que A es de tipo afín si sus principales menores propios son positivos y A tiene determinante 0, y que A es de tipo indefinido en caso contrario.

Las matrices indecomponibles de tipo finito clasifican las álgebras de Lie simples de dimensión finita (de tipos ), mientras que las matrices indecomponibles de tipo afín clasifican las álgebras de Lie afines (digamos sobre algún campo algebraicamente cerrado de característica 0).${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

Determinantes de las matrices de Cartan de las álgebras de Lie simples

Los determinantes de las matrices de Cartan de las álgebras de Lie simples se dan en la siguiente tabla (junto con A ₁ = B ₁ = C ₁ , B ₂ = C ₂ , D ₃ = A ₃ , D ₂ = A ₁ A ₁ , E ₅ = D ₅ , E ₄ = A ₄ y E ₃ = A ₂ A ₁ ). ^[2]

Un n	B n	C n	D n n ≥ 3	E n 3 ≤ n ≤ 8	F 4	G 2
n + 1	2	2	4	9 - n	1	1

Otra propiedad de este determinante es que es igual al índice del sistema de raíces asociado, es decir, es igual a donde P, Q denotan la celosía de peso y la celosía de raíz, respectivamente.${\displaystyle |P/Q|}$

Representaciones de álgebras de dimensión finita

En la teoría de la representación modular , y más generalmente en la teoría de las representaciones de álgebras asociativas A de dimensión finita que no son semisimples , una matriz de Cartan se define considerando un conjunto (finito) de módulos principales indecomponibles y escribiendo series de composición para ellos en términos de módulos irreductibles , lo que produce una matriz de números enteros que cuentan el número de apariciones de un módulo irreducible.

Matrices de Cartan en la teoría M

En la teoría M , se puede considerar una geometría con dos ciclos que se cruzan entre sí en un número finito de puntos, en el límite donde el área de los dos ciclos llega a cero. En este límite, aparece un grupo de simetría local . Se conjetura que la matriz de números de intersección de una base de los dos ciclos es la matriz de Cartan del álgebra de Lie de este grupo de simetría local. ^[3]

Esto se puede explicar de la siguiente manera. En la teoría M, uno tiene solitones que son superficies bidimensionales llamadas membranas o 2-branas . Una 2-brana tiene una tensión y, por lo tanto, tiende a encogerse, pero puede envolver alrededor de dos ciclos, lo que evita que se encoja a cero.

Se puede compactar una dimensión que es compartida por todos los dos ciclos y sus puntos de intersección, y luego tomar el límite donde esta dimensión se reduce a cero, obteniendo así una reducción dimensional sobre esta dimensión. Luego, se obtiene la teoría de cuerdas tipo IIA como límite de la teoría M, con 2 branas que envuelven dos ciclos que ahora se describen mediante una cuerda abierta estirada entre D-branas . Hay un grupo de simetría local U (1) para cada D-brana, que se asemeja al grado de libertad de moverlo sin cambiar su orientación. El límite donde los dos ciclos tienen área cero es el límite donde estas D-branas están una encima de la otra, de modo que se obtiene un grupo de simetría local mejorado.

Ahora, una cuerda abierta estirada entre dos D-branas representa un generador de álgebra de Lie, y el conmutador de dos de tales generadores es un tercero, representado por una cuerda abierta que se obtiene pegando los bordes de dos cuerdas abiertas. La última relación entre diferentes cadenas abiertas depende de la forma en que las 2-branas pueden cruzarse en la teoría M original, es decir, en los números de intersección de dos ciclos. Por tanto, el álgebra de Lie depende enteramente de estos números de intersección. La relación precisa con la matriz de Cartan se debe a que esta última describe los conmutadores de las raíces simples , que se relacionan con los dos ciclos en la base que se elige.

Los generadores en la subálgebra de Cartan están representados por cuerdas abiertas que se estiran entre una D-brana y ella misma.

Ver también

• Diagrama de Dynkin
• Álgebra de Jordan excepcional
• Representación fundamental
• Forma de matanza
• Grupo de mentira simple

Notas

1. Georgi, Howard (22 de octubre de 1999). Lie Algebras in Particle Physics (2 ed.). Westview Press. pag. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
2. Determinantes de Cartan-Gram para los grupos de mentiras simples Alfred CT Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, noviembre de 1982
3. Sen, Ashoke (1997). "Una nota sobre las simetrías de calibre mejoradas en M- y la teoría de cuerdas". Revista de Física de Altas Energías . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th / 9707123 . doi : 10.1088 / 1126-6708 / 1997/09/001 . S2CID 15444381 . 

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas . 129 . Springer-Verlag. pag. 334. ISBN 0-387-97495-4.
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas . 9 . Springer-Verlag. págs. 55–56. doi : 10.1007 / 978-1-4612-6398-2 . ISBN 0-387-90052-7.
• Kac, Victor G. (1990). Álgebras de Mentiras Infinitas (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-46693-6..

enlaces externos

• "Matriz de Cartan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Matriz de Cartan" . MathWorld .