En matemáticas , el cálculo geométrico amplía el álgebra geométrica para incluir la diferenciación y la integración . El formalismo es poderoso y se puede demostrar que abarca otras teorías matemáticas, incluidas la geometría diferencial y las formas diferenciales . [1]
DiferenciaciónCon un álgebra geométrica dada, sea y ser vectores y dejarser una función multivectorial de un vector. La derivada direccional de a lo largo de a Se define como
siempre que el límite exista para todos , donde se toma el límite para escalar . Esto es similar a la definición habitual de derivada direccional, pero la extiende a funciones que no necesariamente tienen valores escalares.
A continuación, elija un conjunto de vectores base y considere los operadores, denotados , que realizan derivadas direccionales en las direcciones de :
Luego, usando la notación sumatoria de Einstein , considere el operador:
lo que significa
donde el producto geométrico se aplica después de la derivada direccional. Más prolijamente:
Este operador es independiente de la elección del marco y, por lo tanto, se puede utilizar para definir la derivada geométrica :
Esto es similar a la definición habitual de gradiente , pero también se extiende a funciones que no necesariamente tienen valores escalares.
La derivada direccional es lineal con respecto a su dirección, es decir:
De esto se sigue que la derivada direccional es el producto interno de su dirección por la derivada geométrica. Todo lo que debe observarse es que la dirección puede ser escrito , así que eso:
Por esta razón, se nota a menudo .
El orden estándar de operaciones para la derivada geométrica es que actúa solo sobre la función más cercana a su derecha inmediata. Dadas dos funciones y , entonces, por ejemplo, tenemos
Regla del producto
Aunque la derivada parcial exhibe una regla de producto , la derivada geométrica solo hereda parcialmente esta propiedad. Considere dos funciones y :
Dado que el producto geométrico no es conmutativo conen general, necesitamos una nueva notación para continuar. Una solución es adoptar la notación sobrepunto , en la que el alcance de una derivada geométrica con sobrepunto es la función multivector-valorada que comparte el mismo sobrepunto. En este caso, si definimos
entonces la regla del producto para la derivada geométrica es
Derivado interior y exterior
Dejar frijol -grado multivector. Entonces podemos definir un par adicional de operadores, las derivadas interior y exterior,
En particular, si es el grado 1 (función con valores vectoriales), entonces podemos escribir
e identificar la divergencia y el rizo como
A diferencia de la derivada geométrica, ni el operador de la derivada interior ni el operador de la derivada exterior son invertibles.
IntegraciónDejar ser un conjunto de vectores base que abarcan un -espacio vectorial dimensional. A partir del álgebra geométrica, interpretamos el pseudoescalar para ser el volumen firmado de la- Paralelotopo subtendido por estos vectores base. Si los vectores base son ortonormales , entonces esta es la unidad pseudoescalar.
De manera más general, podemos restringirnos a un subconjunto de de los vectores base, donde , para tratar la longitud, el área u otros -volumen de un subespacio en el total -espacio vectorial dimensional. Denotamos estos vectores base seleccionados por. Un general-volumen del -paralelotopo subtendido por estos vectores base es el grado multivector .
Incluso de manera más general, podemos considerar un nuevo conjunto de vectores proporcional a la vectores base, donde cada uno de los es un componente que escala uno de los vectores base. Somos libres de elegir componentes tan infinitesimalmente pequeños como queramos, siempre que sean distintos de cero. Dado que el producto externo de estos términos se puede interpretar como un-volumen, una forma natural de definir una medida es
Por tanto, la medida es siempre proporcional a la unidad pseudoescalar de un -subespacio dimensional del espacio vectorial. Compare la forma volumétrica de Riemann en la teoría de formas diferenciales. La integral se toma con respecto a esta medida:
Más formalmente, considere un volumen dirigido del subespacio. Podemos dividir este volumen en una suma de simples . Dejarser las coordenadas de los vértices. En cada vértice asignamos una medidacomo la medida promedio de los simples que comparten el vértice. Entonces la integral de con respecto a sobre este volumen se obtiene en el límite de una partición más fina del volumen en simplices más pequeños:
Teorema fundamental del cálculo geométrico
La razón para definir la derivada geométrica y la integral como arriba es que permiten una fuerte generalización del teorema de Stokes . Dejar ser una función multivectorial de -Entrada de grado y posición general , lineal en su primer argumento. Entonces el teorema fundamental del cálculo geométrico relaciona la integral de una derivada sobre el volumen a la integral sobre su límite:
Como ejemplo, dejemos para una función con valores vectoriales y un) grado multivector . Encontramos eso
Igualmente,
Así recuperamos el teorema de la divergencia ,
Derivado covarianteSuficientemente suave -superficie en una -El espacio dimensional se considera una variedad . A cada punto del colector, podemos adjuntar un-espada que es tangente a la variedad. En la zona, actúa como un pseudoescalar del -espacio dimensional. Esta hoja define una proyección de vectores sobre la variedad:
Al igual que la derivada geométrica se define sobre todo -espacio dimensional, es posible que deseemos definir una derivada intrínseca , definido localmente en el colector:
(Nota: El lado derecho de lo anterior puede no estar en el espacio tangente al colector. Por lo tanto, no es lo mismo que , que necesariamente se encuentra en el espacio tangente).
Si es un vector tangente a la variedad, entonces, de hecho, tanto la derivada geométrica como la derivada intrínseca dan la misma derivada direccional:
Aunque esta operación es perfectamente válida, no siempre es útil porque en sí mismo no está necesariamente en la variedad. Por lo tanto, definimos la derivada covariante como la proyección forzada de la derivada intrínseca hacia la variedad:
Dado que cualquier multivector general puede expresarse como la suma de una proyección y un rechazo, en este caso
introducimos una nueva función, el tensor de forma , que satisface
dónde es el producto del conmutador . En una base de coordenadas local que abarca la superficie tangente, el tensor de forma viene dado por
Es importante destacar que, en una variedad general, la derivada covariante no conmuta. En particular, el conmutador está relacionado con el tensor de forma por
Claramente el término es de interés. Sin embargo, como el derivado intrínseco, no está necesariamente en la variedad. Por lo tanto, podemos definir el tensor de Riemann como la proyección de regreso a la variedad:
Por último, si es de grado , entonces podemos definir derivadas covariantes interiores y exteriores como
e igualmente para la derivada intrínseca.
Relación con la geometría diferencialRelación con formas diferencialesEn un sistema de coordenadas local (), los diferenciales de coordenadas , ..., Forman un conjunto básico de formas uniformes dentro del gráfico de coordenadas . Dado un índice múltiple con por , podemos definir un -formulario
Alternativamente, podemos introducir un -grado multivector como
y una medida
Aparte de una sutil diferencia de significado para el producto exterior con respecto a las formas diferenciales versus el producto exterior con respecto a los vectores (en el primero los incrementos son cobectores, mientras que en el segundo representan escalares), vemos las correspondencias de la forma diferencial
su derivado
y su Hodge dual
incrustar la teoría de las formas diferenciales en el cálculo geométrico.
HistoriaA continuación se muestra un diagrama que resume la historia del cálculo geométrico.
Historia del cálculo geométrico.
Referencias y lecturas adicionales- ^ David Hestenes , Garrett Sobczyk: Álgebra de Clifford al cálculo geométrico, un lenguaje unificado para matemáticas y física (Dordrecht / Boston: G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN 90-277-2561-6