En física matemática , el álgebra del espacio-tiempo (STA) es un nombre para el álgebra de Clifford Cl 1,3 ( R ), o equivalentemente el álgebra geométrica G ( M 4 ) . Según David Hestenes , el álgebra del espacio-tiempo puede estar particularmente asociado con la geometría de la relatividad especial y el espacio-tiempo relativista .
Es un espacio vectorial que permite combinar no solo vectores , sino también bivectores (cantidades dirigidas asociadas con planos particulares, como áreas o rotaciones) o álabes (cantidades asociadas con hipervolúmenes particulares), así como rotarlos , reflejarlos. , o Lorentz impulsado . También es el álgebra parental natural de los espinores en la relatividad especial. Estas propiedades permiten que muchas de las ecuaciones más importantes de la física se expresen en formas particularmente simples y pueden ser muy útiles para una comprensión más geométrica de sus significados.
Estructura
El álgebra del espacio-tiempo se puede construir a partir de una base ortogonal de un vector similar al tiempo y tres vectores espaciales, , con la regla de la multiplicación
dónde es la métrica de Minkowski con firma (+ - - -) .
Por lo tanto, , , de lo contrario .
Vectores de base comparten estas propiedades con las matrices de Dirac , pero no es necesario utilizar una representación de matriz explícita en STA.
Esto genera una base de un escalar , cuatro vectores , seis bivectores , cuatro pseudovectores y un pseudoescalar , dónde .
Marco recíproco
Asociado con la base ortogonal es la base recíproca por , satisfaciendo la relación
Estos vectores de trama recíprocos se diferencian sólo por un signo, con , y por .
Un vector se puede representar en coordenadas de índice superior o inferior con la suma sobre , según la notación de Einstein , donde las coordenadas se pueden extraer tomando productos escalares con los vectores base o sus recíprocos.
Gradiente de espacio-tiempo
El gradiente del espacio-tiempo, como el gradiente en un espacio euclidiano, se define de manera que se satisfaga la relación de derivada direccional :
Esto requiere que la definición del gradiente sea
Escrito explícitamente con , estos parciales son
División del espacio-tiempo
División del espacio-tiempo - ejemplos: |
[1] |
[1] |
dónde es el factor de Lorentz |
[2] |
En el álgebra del espacio-tiempo, una división del espacio-tiempo es una proyección desde un espacio de cuatro dimensiones en un espacio (3 + 1) -dimensional con un marco de referencia elegido por medio de las siguientes dos operaciones:
- un colapso del eje de tiempo elegido, produciendo un espacio 3D atravesado por bivectores, y
- una proyección del espacio 4D sobre el eje de tiempo elegido, produciendo un espacio 1D de escalares. [3]
Esto se logra mediante la multiplicación previa o posterior mediante el vector base similar al tiempo , que sirve para dividir un vector de cuatro en un componente escalar de tipo temporal y uno bivector espacial. Con tenemos
Como estos bivectores cuadradas a la unidad, sirven como base espacial. Utilizando la notación matricial de Pauli , estos se escriben. Los vectores espaciales en STA se indican en negrita; luego con la -espacio-tiempo dividido y su reverso están:
División multivectorial
El álgebra del espacio-tiempo no es un álgebra de división , porque contiene elementos idempotentes y divisores de cero distintos de cero :. Estos pueden interpretarse como proyectores sobre las relaciones de cono de luz y ortogonalidad para dichos proyectores, respectivamente. Pero en algunos casos es posible dividir una cantidad multivector por otra y darle sentido al resultado: así, por ejemplo, un área dirigida dividida por un vector en el mismo plano da otro vector, ortogonal al primero.
Descripción del álgebra del espacio-tiempo de la física no relativista
Mecánica cuántica no relativista
El álgebra del espacio-tiempo permite la descripción de la partícula de Pauli en términos de una teoría real en lugar de una teoría matricial. La descripción de la teoría matricial de la partícula de Pauli es: [4]
dónde es la unidad imaginaria sin interpretación geométrica, son las matrices de Pauli (con la notación 'sombrero' que indica que es un operador matricial y no un elemento en el álgebra geométrica), y es el hamiltoniano de Schrödinger. En el álgebra del espacio-tiempo, la partícula de Pauli se describe mediante la ecuación real de Pauli-Schrödinger: [4]
donde ahora es la unidad pseudoescalar , y y son elementos del álgebra geométrica, con incluso un multivector; es de nuevo el hamiltoniano de Schrödinger. Hestenes se refiere a esto como la teoría real de Pauli-Schrödinger para enfatizar que esta teoría se reduce a la teoría de Schrödinger si se elimina el término que incluye el campo magnético.
Descripción del álgebra del espacio-tiempo de la física relativista
Mecánica cuántica relativista
La función de onda cuántica relativista a veces se expresa como un campo espinor , es decir, [ cita requerida ]
dónde es un bivector, y [5] [6]
donde, según su derivación por David Hestenes , es incluso una función multivectorial en el espacio-tiempo, es un espinor unimodular (o "rotor" [7] ), y y son funciones con valores escalares. [5]
Esta ecuación se interpreta como la conexión del espín con el pseudoescalar imaginario. [8] se ve como una rotación de Lorentz en la que un marco de vectores en otro marco de vectores por la operación , [7] donde el símbolo de tilde indica el reverso (el reverso a menudo también se indica con el símbolo de la daga, ver también Rotaciones en álgebra geométrica ).
Esto se ha ampliado para proporcionar un marco para observables con valores escalares y vectoriales que varían localmente y soporte para la interpretación de Zitterbewegung de la mecánica cuántica propuesta originalmente por Schrödinger .
Hestenes ha comparado su expresión para con la expresión de Feynman para ello en la formulación integral de camino:
dónde es la acción clásica a lo largo del -camino. [5]
El álgebra del espacio-tiempo permite una descripción de la partícula de Dirac en términos de una teoría real en lugar de una teoría matricial. La descripción de la teoría matricial de la partícula de Dirac es: [9]
dónde son las matrices de Dirac. En el álgebra del espacio-tiempo, la partícula de Dirac se describe mediante la ecuación: [9]
Aquí, y son elementos del álgebra geométrica, y es la derivada del vector del espacio-tiempo.
Una nueva formulación de la relatividad general
Lasenby, Doran y Gull de la Universidad de Cambridge han propuesto una nueva formulación de la gravedad, denominada gravedad de la teoría de gauge (GTG), en la que el álgebra del espacio-tiempo se usa para inducir la curvatura en el espacio de Minkowski mientras se admite una simetría de gauge bajo una "reasignación arbitraria y suave de eventos en el espacio-tiempo "(Lasenby, et al.); una derivación no trivial conduce a la ecuación geodésica,
y la derivada covariante
dónde es la conexión asociada con el potencial gravitacional, y es una interacción externa como un campo electromagnético.
La teoría muestra cierta promesa para el tratamiento de los agujeros negros, ya que su forma de la solución de Schwarzschild no se descompone en las singularidades; la mayoría de los resultados de la relatividad general se han reproducido matemáticamente, y la formulación relativista de la electrodinámica clásica se ha extendido a la mecánica cuántica y la ecuación de Dirac .
Ver también
- Álgebra geométrica
- Álgebra de Dirac
- Ecuación de Dirac
- Relatividad general
Referencias
- Lasenby, A .; Doran, C .; Gull, S. (1998), "Gravedad, teorías de gauge y álgebra geométrica", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A , 356 (1737): 487–582, arXiv : gr-qc / 0405033 , Bibcode : 1998RSPTA.356..487L , doi : 10.1098 / rsta.1998.0178
- Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Álgebra geométrica para físicos , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48022-2
- Hestenes, David (2015) [1966], Álgebra espacio-temporal (2ª ed.), Birkhäuser
- Hestenes, David; Sobczyk (1984), Álgebra de Clifford al cálculo geométrico , Springer Verlag, ISBN 978-90-277-1673-6
- Hestenes, David (1973), "Observables locales en la teoría de Dirac", Journal of Mathematical Physics , 14 (7): 893–905, Bibcode : 1973JMP .... 14..893H , CiteSeerX 10.1.1.412.7214 , doi : 10.1063 / 1.1666413
- Hestenes, David (1967), "Real Spinor Fields", Journal of Mathematical Physics , 8 (4): 798–808, Bibcode : 1967JMP ..... 8..798H , doi : 10.1063 / 1.1705279
- ^ a b Lasenby, AN; Doran, CJL (2002). "Álgebra geométrica, funciones de onda de Dirac y agujeros negros". En Bergmann, PG; De Sabbata, Venzo (eds.). Avances en la interacción entre la física cuántica y de la gravedad . Saltador. págs. 256–283, véase pág. 257 . ISBN 978-1-4020-0593-0.
- ^ Lasenby y Doran 2002 , p. 259
- ^ Arthur, John W. (2011). Comprensión del álgebra geométrica para la teoría electromagnética . Serie de prensa IEEE sobre teoría de ondas electromagnéticas. Wiley. pag. 180. ISBN 978-0-470-94163-8.
- ^ a b Véanse las ecuaciones. (75) y (81) en: Hestenes & Oersted Medal Lecture 2002
- ^ a b c Ver ec. (3.1) y de manera similar eq. (4.1), y páginas subsiguientes, en: Hestenes, D. (2012) [1990]. "Sobre el desacoplamiento de la probabilidad de la cinemática en la mecánica cuántica" . En Fougère, PF (ed.). Entropía máxima y métodos bayesianos . Saltador. págs. 161-183. ISBN 978-94-009-0683-9.( PDF )
- ^ Ver también eq. (5.13) de Gaviota, S .; Lasenby, A .; Doran, C. (1993). "Los números imaginarios no son reales - el álgebra geométrica del espacio-tiempo" (PDF) .
- ^ a b Véase la ec. (205) en Hestenes, D. (junio de 2003). "Física del espacio-tiempo con álgebra geométrica" (PDF) . Revista estadounidense de física . 71 (6): 691–714. Código bibliográfico : 2003AmJPh..71..691H . doi : 10.1119 / 1.1571836 .
- ^ Hestenes, David (2003). "Oersted Medal Lecture 2002: Reforma del lenguaje matemático de la física" (PDF) . Revista estadounidense de física . 71 (2): 104. Código Bibliográfico : 2003AmJPh..71..104H . CiteSeerX 10.1.1.649.7506 . doi : 10.1119 / 1.1522700 .
- ^ a b Véanse las ecuaciones. (3.43) y (3.44) en: Doran, Chris; Lasenby, Anthony; Gaviota, Stephen; Somaroo, Shyamal; Challinor, Anthony (1996). Hawkes, Peter W. (ed.). Álgebra del espacio-tiempo y física de electrones . Avances en imágenes y física electrónica. 95 . Prensa académica. págs. 272–386, 292 . ISBN 0-12-014737-8.
enlaces externos
- Los números imaginarios no son reales: el álgebra geométrica del espacio-tiempo , una introducción tutorial a las ideas del álgebra geométrica, por S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
- Apuntes del curso de Aplicaciones Físicas de Álgebra Geométrica , ver especialmente la parte 2.
- Grupo de álgebra geométrica de la Universidad de Cambridge
- Investigación y desarrollo de cálculo geométrico