La acción de Einstein-Hilbert es la base del principio variacional más elemental a partir del cual se pueden definir las ecuaciones de campo de la relatividad general . Sin embargo, el uso de la acción de Einstein-Hilbert es apropiado solo cuando la variedad de espacio-tiempo subyacenteestá cerrado , es decir, un colector que es a la vez compacto y sin límite. En el caso de que el colector tenga un límite, la acción debe complementarse con un término límite para que el principio variacional esté bien definido.
York se dio cuenta primero de la necesidad de tal término límite y luego Gibbons y Hawking la refinaron en menor medida .
Para un colector que no está cerrado, la acción apropiada es
dónde es la acción de Einstein-Hilbert, es el término límite de Gibbons-Hawking-York, es la métrica inducida (consulte la sección siguiente sobre definiciones) en el límite, su determinante, es el rastro de la segunda forma fundamental , es igual a donde lo normal es similar a un espacio y donde lo normal es similar a un tiempo, y son las coordenadas del límite. Variando la acción con respecto a la métrica, sujeto a la condición
da las ecuaciones de Einstein ; la adición del término límite significa que al realizar la variación, la geometría del límite codificada en la métrica transversales fijo (consulte la sección siguiente). Sigue habiendo ambigüedad en la acción hasta un funcional arbitrario de la métrica inducida.
Que se necesite un término límite en el caso gravitacional se debe a que , la densidad gravitacional lagrangiana, contiene segundas derivadas del tensor métrico. Esta es una característica atípica de las teorías de campo, que generalmente se formulan en términos de lagrangianos que involucran primeras derivadas de campos que deben variarse únicamente.
El término GHY es deseable, ya que posee una serie de otras características clave. Al pasar al formalismo hamiltoniano, es necesario incluir el término GHY para poder reproducir la energía Arnowitt-Deser-Misner correcta ( energía ADM ). El término es necesario para garantizar que la integral de trayectoria (a la Hawking) para la gravedad cuántica tenga las propiedades de composición correctas. Al calcular la entropía del agujero negro utilizando el enfoque semiclásico euclidiano, toda la contribución proviene del término GHY. Este término ha tenido aplicaciones más recientes en la gravedad cuántica de bucles para calcular las amplitudes de transición y las amplitudes de dispersión independientes del fondo.
Para determinar un valor finito para la acción, uno puede tener que restar un término de superficie para el espacio-tiempo plano:
dónde es la curvatura extrínseca del espacio-tiempo plano incrustado en la frontera. Como es invariante bajo variaciones de , este término de adición no afecta las ecuaciones de campo; como tal, esto se conoce como el término no dinámico.
Introducción a las hiper-superficies
Definición de hiper-superficies
En una variedad espaciotemporal de cuatro dimensiones, una hipersuperficie es una subvariedad tridimensional que puede ser temporal, espacial o nula.
Una hiper-superficie particular se puede seleccionar imponiendo una restricción en las coordenadas
o dando ecuaciones paramétricas,
dónde son coordenadas intrínsecas a la hiper-superficie.
Por ejemplo, una esfera de dos en el espacio euclidiano tridimensional se puede describir por
dónde es el radio de la esfera, o por
dónde y son coordenadas intrínsecas.
Campos vectoriales ortogonales de hiper-superficie
Tomamos la convención métrica (-, +, ..., +). Comenzamos con la familia de hiper-superficies dada por
donde diferentes miembros de la familia corresponden a diferentes valores de la constante . Considere dos puntos vecinos y con coordenadas y , respectivamente, en la misma hiper-superficie. Entonces tenemos que hacer el primer pedido.
Restando de esta ecuación da
a . Esto implica quees normal a la hiper-superficie. Una unidad normalse puede introducir en el caso de que la hiper-superficie no sea nula. Esto está definido por
y requerimos que apuntar en la dirección de aumentar . A continuación, se puede comprobar fácilmente que es dado por
si la hiper-superficie es espacial o temporal.
Métrica inducida y transversal
Los tres vectores
son tangenciales a la hiper-superficie.
La métrica inducida es el tensor de tres definido por
Esto actúa como un tensor métrico en la hiper-superficie en el coordenadas. Para desplazamientos confinados a la hiper-superficie (de modo que)
Porque los tres vectores son tangenciales a la hiper-superficie,
dónde es el vector unitario) normal a la hiperuperficie.
Introducimos lo que se llama la métrica transversal
Aísla la parte de la métrica que es transversal a la normal. .
Se ve fácilmente que este cuatro tensor
proyecta la parte de un cuatro vector transversal a la normal como
Tenemos
Si definimos ser el inverso de , es fácil de comprobar
dónde
Tenga en cuenta que la variación sujeta a la condición
implica que , la métrica inducida en , se mantiene fijo durante la variación.
Al demostrar el resultado principal
En las siguientes subsecciones, primero calcularemos la variación del término de Einstein-Hilbert y luego la variación del término límite, y mostraremos que su suma da como resultado
dónde es la unidad normal a y , y son coordenadas en el límite. Y dónde dónde , es un elemento de volumen tridimensional invariante en la hiper-superficie. En nuestro caso particular tomamos.
Ahora evaluamos en el límite , teniendo en cuenta que en . Teniendo esto en cuenta tenemos
Es útil notar que
donde en la segunda línea hemos intercambiado y y usó que la métrica es simétrica. Entonces no es difícil hacer ejercicio.
Y ahora
donde en la segunda línea usamos la identidad , y en la tercera línea hemos utilizado la antisimetría en y . Como desaparece por todas partes en el límite sus derivadas tangenciales también deben desaparecer: . Resulta que. Entonces finalmente tenemos
Recogiendo los resultados que obtenemos
A continuación mostramos que el término límite anterior será cancelado por la variación de .
Variación del término límite
Pasemos ahora a la variación de la término. Debido a que la métrica inducida se fija en la única cantidad a variar es es el rastro de la curvatura extrínseca .
Tenemos
donde lo hemos usado implica Entonces la variación de es
donde hemos utilizado el hecho de que las derivadas tangenciales de desaparecer en Hemos obtenido
que cancela la segunda integral en el lado derecho de la Ec. 1. La variación total de la acción gravitacional es:
Esto produce el lado izquierdo correcto de las ecuaciones de Einstein. Esto prueba el resultado principal.
Este resultado se generalizó a las teorías de la gravedad de cuarto orden sobre variedades con límites en 1983 [1] y se publicó en 1985. [2]
El término no dinámico
Elaboramos sobre el papel de
en la acción gravitacional. Como ya se mencionó anteriormente, debido a que este término solo depende de, su variación con respecto a da cero y por lo tanto no afecta las ecuaciones de campo, su propósito es cambiar el valor numérico de la acción. Como tal, nos referiremos a él como el término no dinámico.
Asumamos que es una solución de las ecuaciones de campo de vacío, en cuyo caso el escalar de Ricci desaparece. El valor numérico de la acción gravitacional es entonces
donde estamos ignorando el término no dinámico por el momento. Evaluemos esto para el espacio-tiempo plano. Elige el límite Consistir en dos hiper-superficies de valor de tiempo constante y un gran tres cilindros en (es decir, el producto de un intervalo finito por tres esferas de radio ). Tenemosen las hiper-superficies del tiempo constante. En los tres cilindros, en coordenadas intrínsecas a la hiper-superficie, el elemento de línea es
lo que significa que la métrica inducida es
así que eso . La unidad normal es, entonces . Luego
y diverge como , es decir, cuando el límite espacial se empuja al infinito, incluso cuando el está delimitada por dos hiper-superficies de tiempo constante. Uno esperaría el mismo problema para los espaciotiempo curvos que son asintóticamente planos (no hay problema si el espaciotiempo es compacto). Este problema se soluciona con el término no dinámico. La diferencia estará bien definido en el límite .
Variación de términos de gravedad modificados
Hay muchas teorías que intentan modificar la Relatividad General de diferentes maneras, por ejemplo, la gravedad f (R) reemplaza a R, el escalar de Ricci en la acción de Einstein-Hilbert con una función f (R). Guarnizo y col. encontró el término límite para una teoría f (R) general. [3] Descubrieron que la "acción modificada en el formalismo métrico de la gravedad f (R) más un término límite similar al de Gibbons-York-Hawking debe escribirse como:"
dónde .
Utilizando la descomposición de ADM e introduciendo campos auxiliares adicionales, en 2009 Deruelle et al. encontró un método para encontrar el término límite para las "teorías de la gravedad cuyo lagrangiano es una función arbitraria del tensor de Riemann". [4] Este método se puede utilizar para encontrar los términos del límite GHY para la gravedad derivada infinita . [5]
Un enfoque de trayectoria integral para la gravedad cuántica
Como se mencionó al principio, se requiere el término GHY para asegurar que la integral de trayectoria (a la de Hawking et al.) Para la gravedad cuántica tenga las propiedades de composición correctas.
Este enfoque más antiguo de la gravedad cuántica de trayectoria integral tenía una serie de dificultades y problemas sin resolver. El punto de partida de este enfoque es la idea de Feynman de que se puede representar la amplitud
ir del estado con métrica y campos de materia en una superficie a un estado con métrica y campos de materia en una superficie , como una suma de todas las configuraciones de campo y que toman los valores límite de los campos en las superficies y . Nosotros escribimos
dónde es una medida en el espacio de todas las configuraciones de campo y , es la acción de los campos, y la integral se toma sobre todos los campos que tienen los valores dados en y .
Se argumenta que solo es necesario especificar la métrica inducida tridimensional en el límite.
Ahora considere la situación en la que se hace la transición de métrica , en una superficie , a una métrica , en una superficie y luego a una métrica en una superficie posterior
A uno le gustaría tener la regla de composición habitual
expresando que la amplitud para pasar del estado inicial al final se obtiene sumando todos los estados en la superficie intermedia .
Dejar ser la métrica entre y y ser la métrica entre y . Aunque la métrica inducida de y estará de acuerdo en , la derivada normal de a no será en general igual a la de a . Teniendo en cuenta las implicaciones de esto, se puede demostrar que la regla de composición se mantendrá si y solo si incluimos el término límite GHY. [6]
En la siguiente sección se demuestra cómo este enfoque integral de trayectoria de la gravedad cuántica conduce al concepto de temperatura del agujero negro y entropía mecánica cuántica intrínseca.
Calcular la entropía de un agujero negro utilizando el enfoque semiclásico euclidiano
Aplicación en la gravedad cuántica de bucles
Amplitudes de transición y función principal de Hamilton
En la teoría cuántica, el objeto que corresponde a la función principal de Hamilton es la amplitud de transición . Considere la gravedad definida en una región compacta del espacio-tiempo, con la topología de una bola de cuatro dimensiones. El límite de esta región es un espacio tridimensional con la topología de tres esferas, que llamamos. En la gravedad pura sin constante cosmológica, dado que el escalar de Ricci desaparece en las soluciones de las ecuaciones de Einstein, la acción global desaparece y la función principal de Hamilton se da completamente en términos del término límite,
dónde es la curvatura extrínseca del límite, es la métrica de tres inducida en el límite, y son coordenadas en el límite.
El funcional es una función altamente no trivial de calcular; esto se debe a que la curvatura extrínsecaestá determinada por la solución a granel señalada por la geometría intrínseca del límite. Como talno es local. Conociendo la dependencia general de de equivale a conocer la solución general de las ecuaciones de Einstein.
Amplitudes de dispersión independientes del fondo
La gravedad cuántica de bucles está formulada en un lenguaje independiente del fondo. No se asume el espacio-tiempo a priori, sino que está construido por los propios estados de la teoría; sin embargo, las amplitudes de dispersión se derivan defunciones de puntos (función de correlación (teoría cuántica de campos) ) y estas, formuladas en la teoría cuántica de campos convencional, son funciones de puntos de un espacio-tiempo de fondo. La relación entre el formalismo independiente del fondo y el formalismo convencional de la teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo dado está lejos de ser obvia, y está lejos de ser obvio cómo recuperar cantidades de baja energía a partir de la teoría completa independiente del fondo. Uno quisiera derivar elfunciones puntuales de la teoría a partir del formalismo independiente del fondo, para compararlas con la expansión perturbativa estándar de la relatividad general cuántica y, por lo tanto, comprobar que la gravedad cuántica de bucle produce el límite correcto de baja energía.
Se ha sugerido una estrategia para abordar este problema; [7] la idea es estudiar la amplitud del límite, o amplitud de transición de una región compacta del espacio-tiempo, es decir, una integral de trayectoria sobre una región finita del espacio-tiempo, vista como una función del valor límite del campo. [8] [9] En la teoría cuántica de campos convencional, esta amplitud límite está bien definida [10] [11] y codifica la información física de la teoría; también lo hace en gravedad cuántica, pero de una manera totalmente independiente del fondo. [12] Una definición generalmente covariante deLas funciones de puntos pueden basarse en la idea de que la distancia entre puntos físicos - argumentos de la La función de punto está determinada por el estado del campo gravitacional en el límite de la región del espacio-tiempo considerada.
La observación clave es que, en la gravedad, los datos de los límites incluyen el campo gravitacional, por lo tanto, la geometría del límite y, por lo tanto, todas las distancias relativas y separaciones de tiempo relevantes. En otras palabras, la formulación de los límites realiza de manera muy elegante en el contexto cuántico la identificación completa entre la geometría del espacio-tiempo y los campos dinámicos.
^Barth, NH (1 de julio de 1985). "La acción gravitacional de cuarto orden para variedades con límites" . Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 2 (4): 497–513. doi : 10.1088 / 0264-9381 / 2/4/015 . ISSN 0264-9381 .
^Guarnizo, Alejandro; Castaneda, Leonardo; Tejeiro, Juan M. (2010). "Término límite en métrica f (R) Gravedad: ecuaciones de campo en el formalismo métrico". Relatividad general y gravitación . 42 (11): 2713–2728. arXiv : 1002.0617 . Código Bibliográfico : 2010GReGr..42.2713G . doi : 10.1007 / s10714-010-1012-6 .
^Deruelle, Nathalie ; Sasaki, Misao; Sendouda, Yuuiti; Yamauchi, Daisuke (2009). "Formulación hamiltoniana de las teorías de la gravedad f (Riemann)". Progreso de la Física Teórica . 123 : 169-185. arXiv : 0908.0679 . Código Bibliográfico : 2010PThPh.123..169D . doi : 10.1143 / PTP.123.169 .
^Teimouri, Ali; Talaganis, Spyridon; Edholm, James; Mazumdar, Anupam (2016). "Términos de frontera generalizados para teorías de la gravedad derivadas superiores". Revista de Física de Altas Energías . 2016 (8). arXiv : 1606.01911 . Código bibliográfico : 2016JHEP ... 08..144T . doi : 10.1007 / JHEP08 (2016) 144 .
^ Véase, por ejemplo, el libro "Hawking sobre el big bang y los agujeros negros" de Stephen Hawking, capítulo 15.
^Modesto, Leonardo; Rovelli, Carlo (1 de noviembre de 2005). "Dispersión de partículas en bucle de gravedad cuántica". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 95 (19): 191301. arXiv : gr-qc / 0502036 . doi : 10.1103 / physrevlett.95.191301 . ISSN 0031-9007 .
^Oeckl, Robert (2003). "Una formulación de" límite general "para la mecánica cuántica y la gravedad cuántica" . Physics Letters B . Elsevier BV. 575 (3–4): 318–324. doi : 10.1016 / j.physletb.2003.08.043 . ISSN 0370-2693 .
^Oeckl, Robert (3 de noviembre de 2003). "El gato de Schrödinger y el reloj: lecciones de gravedad cuántica". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 20 (24): 5371–5380. arXiv : gr-qc / 0306007 . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 20/24/009 . ISSN 0264-9381 .
^Conrady, Florian; Rovelli, Carlo (30 de septiembre de 2004). "Ecuación de Schrödinger generalizada en la teoría de campo euclidiana". International Journal of Modern Physics A . World Scientific Pub Co Pte Lt. 19 (24): 4037–4068. arXiv : hep-th / 0310246 . doi : 10.1142 / s0217751x04019445 . ISSN 0217-751X .
^Doplicher, Luisa (24 de septiembre de 2004). "Ecuación generalizada de Tomonaga-Schwinger a partir de la fórmula de Hadamard". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 70 (6): 064037. arXiv : gr-qc / 0405006 . doi : 10.1103 / physrevd.70.064037 . ISSN 1550-7998 .
^Conrady, Florian; Doplicher, Luisa; Oeckl, Robert; Rovelli, Carlo; Testa, Massimo (18 de marzo de 2004). "Vacío de Minkowski en la gravedad cuántica independiente de fondo". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 69 (6): 064019. arXiv : gr-qc / 0307118 . doi : 10.1103 / physrevd.69.064019 . ISSN 1550-7998 .
Referencias
York, JW (1972). "Papel de la geometría tridimensional conforme en la dinámica de la gravitación". Cartas de revisión física . 28 (16): 1082. Código Bibliográfico : 1972PhRvL..28.1082Y . doi : 10.1103 / PhysRevLett.28.1082 .
Gibbons, GW ; Hawking, SW (1977). "Integrales de acción y funciones de partición en gravedad cuántica". Physical Review D . 15 (10): 2752. Código Bibliográfico : 1977PhRvD..15.2752G . doi : 10.1103 / PhysRevD.15.2752 .
Hawking, SW; Horowitz, Gary T (1 de junio de 1996). "El hamiltoniano gravitacional, acción, entropía y términos de superficie". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 13 (6): 1487–1498. arXiv : gr-qc / 9501014 . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/6/017 . ISSN 0264-9381 .
Brown, J. David; York, James W. (15 de febrero de 1993). "Integral funcional microcanónica para el campo gravitacional". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 47 (4): 1420-1431. arXiv : gr-qc / 9209014 . doi : 10.1103 / physrevd.47.1420 . ISSN 0556-2821 .