Gavilla (matemáticas)
En matemáticas , un haz es una herramienta para rastrear sistemáticamente datos (como conjuntos, grupos abelianos, anillos) adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico y definidos localmente con respecto a ellos. Por ejemplo, para cada conjunto abierto, los datos podrían ser el anillo de funciones continuas definidas en ese conjunto abierto. Dichos datos se comportan bien porque pueden restringirse a conjuntos abiertos más pequeños, y también los datos asignados a un conjunto abierto son equivalentes a todas las colecciones de datos compatibles asignadas a colecciones de conjuntos abiertos más pequeños que cubren el conjunto abierto original. (Intuitivamente, cada dato es la suma de sus partes).
Las gavillas se entienden conceptualmente como objetos generales y abstractos. Su correcta definición es bastante técnica. Se definen específicamente como haces de conjuntos o haces de anillos, por ejemplo, según el tipo de datos asignados a los conjuntos abiertos.
También hay mapas (o morfismos ) de una gavilla a otra; las gavillas (de un tipo específico, como las gavillas de grupos abelianos ) con sus morfismos en un espacio topológico fijo forman una categoría . Por otro lado, a cada mapa continuo se le asocia tanto un functor de imagen directo , que toma haces y sus morfismos en el dominio de haces y morfismos en el codominio , como un functor de imagen inverso que opera en la dirección opuesta. Estos functores , y ciertas variantes de ellos, son partes esenciales de la teoría de la gavilla.
Por su carácter general y versatilidad, las poleas tienen varias aplicaciones en topología y especialmente en geometría algebraica y diferencial . Primero, las estructuras geométricas como la de una variedad diferenciable o un esquema pueden expresarse en términos de un haz de anillos en el espacio. En tales contextos, varias construcciones geométricas, como haces de vectores o divisores , se especifican naturalmente en términos de haces. En segundo lugar, las gavillas proporcionan el marco para una teoría de cohomología muy general , que abarca también las teorías de cohomología topológica "habituales", como la cohomología singular.. Especialmente en la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , la cohomología de gavillas proporciona un vínculo poderoso entre las propiedades topológicas y geométricas de los espacios. Las poleas también proporcionan la base para la teoría de los módulos D , que proporcionan aplicaciones a la teoría de ecuaciones diferenciales . Además, las generalizaciones de haces a entornos más generales que los espacios topológicos, como la topología de Grothendieck , han proporcionado aplicaciones a la lógica matemática y la teoría de números .
En muchas ramas matemáticas, varias estructuras definidas en un espacio topológico (por ejemplo, una variedad diferenciable ) se pueden localizar de forma natural o restringir a subconjuntos abiertos : los ejemplos típicos incluyen funciones continuas de valor real o de valor complejo , tiempos diferenciables (de valor real o complejo -valuadas), funciones acotadas de valor real, campos vectoriales y secciones de cualquier paquete de vectores en el espacio. La capacidad de restringir los datos a subconjuntos abiertos más pequeños da lugar al concepto de pre-oleadas. Hablando en términos generales, las poleas son entonces esas capas previas, donde los datos locales se pueden pegar a los datos globales.
Sea un espacio topológico. Un prefabricado de conjuntos consta de los siguientes datos:
