En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , los objetos de grupo son ciertas generalizaciones de grupos que se construyen sobre estructuras más complicadas que los conjuntos . Un ejemplo típico de un objeto de grupo es un grupo topológico , un grupo cuyo conjunto subyacente es un espacio topológico tal que las operaciones del grupo son continuas .
Definición
Formalmente, comenzamos con una categoría C con productos finitos (es decir, C tiene un objeto terminal 1 y dos objetos cualesquiera de C tienen un producto ). Un objeto de grupo en C es un objeto G de C junto con morfismos
- m : G × G → G (considerado como la "multiplicación de grupos")
- e : 1 → G (pensado como la "inclusión del elemento de identidad")
- inv : G → G (pensado como la "operación de inversión")
tal que se satisfagan las siguientes propiedades (modeladas en los axiomas de grupo, más precisamente, en la definición de un grupo usada en el álgebra universal )
- m es asociativo, es decir, m ( m × id G ) = m (id G × m ) como morfismos G × G × G → G , y donde, por ejemplo, m × id G : G × G × G → G × G ; Aquí identificamos G × ( G × G ) de una forma canónica con ( G × G ) x G .
- e es una unidad de dos caras de m , es decir, m (id G × e ) = p 1 , donde p 1 : G × 1 → G es la proyección canónica, y m ( e × id G ) = p 2 , donde p 2 : 1 × G → G es la proyección canónica
- inv es una inversa de dos lados para m , es decir, si d : G → G × G es el mapa diagonal, y e G : G → G es la composición del morfismo único G → 1 (también llamado cuenta) con e , entonces m (id G × inv ) d = e G y m ( inv × Identificación G ) d = e G .
Tenga en cuenta que esto se indica en términos de mapas - el producto y el inverso deben ser mapas en la categoría - y sin ninguna referencia a los "elementos" subyacentes del objeto de grupo - las categorías en general no tienen elementos de sus objetos.
Otra forma de enunciar lo anterior es decir que G es un objeto de grupo en una categoría C si para cada objeto X en C , hay una estructura de grupo en los morfismos Hom ( X , G ) de X a G tal que la asociación de X a Hom ( X , G ) es un (contravariant) funtor de C a la categoría de los grupos .
Ejemplos de
- Cada conjunto G para el que se puede definir una estructura de grupo ( G , m , u , -1 ) puede considerarse un objeto de grupo en la categoría de conjuntos . El mapa m es la operación de grupo, el mapa e (cuyo dominio es un singleton ) selecciona el elemento de identidad u de G , y el mapa inv asigna a cada elemento de grupo su inverso. e G : G → G es el mapa que envía cada elemento de G al elemento de identidad.
- Un grupo topológico es un objeto de grupo en la categoría de espacios topológicos con funciones continuas .
- Un grupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de variedades suaves con mapas suaves .
- Un supergrupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de supervariedades .
- Un grupo algebraico es un objeto de grupo en la categoría de variedades algebraicas . En la geometría algebraica moderna , se consideran los esquemas de grupo más generales , objetos de grupo en la categoría de esquemas .
- Un grupo local es un objeto de grupo en la categoría de locales .
- Los objetos de grupo en la categoría de grupos (o monoides ) son los grupos abelianos . La razón de esto es que, si se asume que inv es un homomorfismo, entonces G debe ser abeliano. Más precisamente: si A es un grupo abeliano y denotamos por m la multiplicación grupal de A , por e la inclusión del elemento identidad y por inv la operación de inversión en A , entonces ( A , m , e , inv ) es un objeto de grupo en la categoría de grupos (o monoides). Por el contrario, si ( A , m , e , inv ) es un objeto de grupo en una de esas categorías, entonces m necesariamente coincide con la operación dada en A , e es la inclusión del elemento de identidad dado en A , inv es la operación de inversión y A con la operación dada es un grupo abeliano. Véase también el argumento de Eckmann-Hilton .
- El 2-grupo estricto es el objeto de grupo en la categoría de categorías pequeñas .
- Dada una categoría C con coproductos finitos , un objeto cogrupo es un objeto G de C junto con una "comultiplicación" m : G → G G, una "coidentidad" e : G → 0, y una "coinversión" inv : G → G que satisfacen las versiones duales de los axiomas para objetos grupales. Aquí 0 es el objeto inicial de C . Los objetos de cogrupo ocurren naturalmente en la topología algebraica .
Teoría de grupos generalizada
Gran parte de la teoría de grupos se puede formular en el contexto de los objetos de grupo más generales. Las nociones de homomorfismo grupo , subgrupo , subgrupo normal y los teoremas de isomorfismo son ejemplos típicos. [ cita requerida ] Sin embargo, los resultados de la teoría de grupos que hablan de elementos individuales, o el orden de elementos o subgrupos específicos, normalmente no se pueden generalizar a objetos de grupo de una manera sencilla. [ cita requerida ]
Ver también
- Las álgebras de Hopf pueden verse como una generalización de objetos de grupo a categorías monoidales .
- Objeto grupoide
Referencias
- Awodey, Steve (2010), Teoría de categorías , Oxford University Press, ISBN 9780199587360
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001