El teorema de Goldberg-Sachs es un resultado de la teoría de la relatividad general de Einstein sobre las soluciones al vacío de las ecuaciones de campo de Einstein que relacionan la existencia de un cierto tipo de congruencia con las propiedades algebraicas del tensor de Weyl .
Más precisamente, el teorema establece que una solución al vacío de las ecuaciones de campo de Einstein admitirá una congruencia geodésica nula libre de cizalladura si y solo si el tensor de Weyl es algebraicamente especial .
El teorema se usa a menudo cuando se buscan soluciones de vacío algebraicamente especiales.
Rayos sin cizallamiento
Un rayo es una familia de curvas geodésicas parecidas a la luz. Ese es el campo vectorial tangente es nulo y geodésico: y . En cada punto, hay un segmento espacial 2D (no único) del espacio tangente ortogonal a. Está dividido en un vector nulo complejo. y su complejo conjugado . Si la métrica es positiva en el tiempo, la métrica proyectada en el segmento es. Goldberg y Sachs consideraron la proyección del gradiente en este segmento.
Un rayo no se corta si . Intuitivamente, esto significa que una pequeña sombra proyectada por el rayo conservará su forma. La sombra puede rotar y crecer / encogerse, pero no se distorsionará.
El teorema
Una métrica de vacío , es algebraicamente especial si y solo si contiene una congruencia geodésica nula sin cortante; el vector tangente obedece. [1]
Este es el teorema originalmente establecido por Goldberg y Sachs. Si bien lo expresaron en términos de vectores tangentes y el tensor de Weyl , la demostración es mucho más simple en términos de espinores. Las ecuaciones de campo de Newman-Penrose [2] proporcionan un marco natural para investigar las clasificaciones de Petrov, ya que en lugar de probar, uno puede probar . Para estas pruebas, suponga que tenemos un marco giratorio con tener el mástil de su bandera alineado con el rayo libre de cizallamiento .
Prueba de que un rayo sin cizallamiento implica una especialidad algebraica : si un rayo es geodésico y sin cizallamiento, entonces. Una rotación compleja no afecta y puede configurar para simplificar los cálculos. La primera ecuación NP útil es, que inmediatamente da .
Para mostrar que , aplicar el conmutador lo. La identidad Bianchi da las fórmulas necesarias: y . [3] Trabajar con el álgebra de este conmutador mostrará, que completa esta parte de la demostración.
Prueba de que la especialidad algebraica implica un rayo sin cizallamiento : suponga es un factor degenerado de . Si bien esta degeneración podría ser n veces mayor (n = 2..4) y la prueba será funcionalmente la misma, considérelo una degeneración doble. Entonces la proyección. La identidad Bianchi en un espacio-tiempo vacío es, por lo que aplicar una derivada a la proyección dará , que es equivalente a Por lo tanto, la congruencia es libre de cizalladura y casi geodésica: . Un reajuste adecuado deexiste lo que hará que esta congruencia sea geodésica y, por lo tanto, un rayo libre de cizallamiento. La cizalla de un campo vectorial es invariante bajo el cambio de escala, por lo que permanecerá libre de cizalla.
Importancia y ejemplos
En los espaciotiempos de Petrov tipo D, hay dos degeneraciones algebraicas. Según el teorema de Goldberg-Sachs, hay dos rayos libres de cizallamiento que apuntan a lo largo de estas direcciones degeneradas. Dado que las ecuaciones de Newman-Penrose se escriben sobre una base con dos vectores nulos reales, existe una base natural que simplifica las ecuaciones de campo. Ejemplos de tales espaciotiempo de vacío son la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kerr , que describe un agujero negro no giratorio y uno giratorio, respectivamente. Es precisamente esta simplificación algebraica la que hace posible resolver manualmente la métrica de Kerr.
En el caso de Schwarzschild con coordenadas simétricas en el tiempo, los dos rayos libres de cizallamiento son
Bajo la transformación de coordenadas dónde es la coordenada de la tortuga , esto se simplifica a.
Gravedad linealizada
Dain y Moreschi [4] han demostrado que un teorema correspondiente no se mantendrá en la gravedad linealizada , es decir, dada una solución de las ecuaciones de campo de Einstein linealizadas que admitan una congruencia nula libre de cizalla, entonces esta solución no necesita ser algebraicamente especial. .
Ver también
Referencias
- ^ Goldberg, JN ; Sachs, RK (1962). "Un teorema sobre tipos de Petrov (republicado en enero de 2009)". Relatividad general y gravitación . 41 (2): 433–444. doi : 10.1007 / s10714-008-0722-5 .; publicado originalmente en Acta Phys. Pol. 22 , 13-23 (1962).
- ^ Penrose, Roger (1984). Espinores y espacio-tiempo Volumen 1 Cálculo de dos espinos y campos relativistas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-24527-3.
- ^ Newman, Ezra (1962). "Una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de giro". Revista de Física Matemática . 3 (3): 566. doi : 10.1063 / 1.1724257 . S2CID 121898444 .
- ^ Dain, Sergio (2000). "El teorema de Goldberg-Sachs en gravedad linealizada". Revista de Física Matemática . 41 (9): 6296–6299. arXiv : gr-qc / 0203057 . doi : 10.1063 / 1.1288249 .