Icosaedro truncado

Archimedean solid

Icosaedro truncado
(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio)
Tipo	Poliedro uniforme sólido de Arquímedes
Elementos	F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2)
Caras por lados	12 {5} +20 {6}
Notación de Conway	tI
Símbolos de Schläfli	t {3,5}
	t 0,1 {3,5}
Símbolo de Wythoff	2 5 | 3
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	I h , H 3 , [5,3], (* 532), orden 120
Grupo de rotacion	I , [5,3] + , (532), orden 60
Ángulo diedro	6-6: 138.189685 ° 6-5: 142.62 °
Referencias	U 25 , C 27 , W 9
Propiedades	semiregular convexa
Caras coloreadas	5.6.6 ( figura de vértice )
Pentakis dodecaedro ( poliedro dual )	Neto

En geometría , el icosaedro truncado es un sólido de Arquímedes , uno de los 13 sólidos no prismáticos isogonales convexos cuyas 32 caras son dos o más tipos de polígonos regulares . Es la única de estas formas que no contiene triángulos ni cuadrados.

Tiene 12 caras pentagonales regulares , 20 caras hexagonales regulares , 60 vértices y 90 aristas.

Es el poliedro de Goldberg GP _V (1,1) o {5 +, 3} _1,1 , que contiene caras pentagonales y hexagonales.

Esta geometría se asocia con balones (pelotas de fútbol) típicamente modelados con hexágonos blancos y pentágonos negros. Las cúpulas geodésicas , como aquellas en cuya arquitectura fue pionera Buckminster Fuller , a menudo se basan en esta estructura. También corresponde a la geometría de la molécula de fullereno C ₆₀ ("buckyball").

Se utiliza en la teselación de relleno de espacio hiperbólico transitivo celular , el panal dodecaédrico bitruncado de orden 5 .

Construcción

Icosaedro

Este poliedro se puede construir a partir de un icosaedro con los 12 vértices truncados (cortados) de manera que un tercio de cada borde esté cortado en cada uno de ambos extremos. Esto crea 12 nuevas caras del pentágono y deja las 20 caras originales del triángulo como hexágonos regulares. Por tanto, la longitud de los bordes es un tercio de la de los bordes originales.

Características

En la teoría de Geometría y Gráficos , hay algunas características de poliedro estándar .

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un icosaedro truncado centrado en el origen son todas permutaciones pares de:

(0, ± 1, ± 3 φ )

(± 1, ± (2 +  φ ), ± 2 φ )

(± φ , ± 2, ± (2 φ  + 1))

donde φ  = 1 + √ 5/2es la media dorada . El circunradio es √ 9 φ + 10 ≈ 4.956 y los bordes tienen una longitud de 2. ^[1]

Proyecciones ortogonales

El icosaedro truncado tiene cinco proyecciones ortogonales especiales , centradas, en un vértice, en dos tipos de aristas y dos tipos de caras: hexagonal y pentagonal. Los dos últimos corresponden a los planos Coxeter A ₂ y H ₂ .

Proyecciones ortogonales

Centrado por	Vértice	Borde 5-6	Borde 6-6	Hexágono de cara	Pentágono de cara
Sólido
Estructura alámbrica
Simetría proyectiva	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Doble

Baldosas esféricas

El icosaedro truncado también se puede representar como un mosaico esférico y proyectar en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.

	centrado en el pentágono	centrado en el hexágono
Proyección ortográfica	Proyecciones estereográficas

Dimensiones

Rectángulos dorados mutuamente ortogonales dibujados en el icosaedro original (antes del corte)

Si la longitud del borde de un icosaedro truncado es a , el radio de una esfera circunscrita (una que toca el icosaedro truncado en todos los vértices) es:

${\displaystyle r_{\mathrm {u} }={\frac {a}{2}}{\sqrt {1+9\varphi ^{2}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}\approx 2.478\,018\,66a}$

donde φ es la proporción áurea .

Este resultado es fácil de obtener utilizando uno de los tres rectángulos áureos ortogonales dibujados en el icosaedro original (antes del corte) como punto de partida para nuestras consideraciones. El ángulo entre los segmentos que unen el centro y los vértices conectados por el borde compartido (calculado sobre la base de esta construcción) es de aproximadamente 23,281446 °.

Área y volumen

El área A y el volumen V del icosaedro truncado de longitud de borde a son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}&&\approx 72.607\,253a^{2}\\V&={\frac {125+43{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}&&\approx 55.287\,7308a^{3}.\end{aligned}}}$

Con los bordes de la unidad, el área de la superficie es (redondeada) 21 para los pentágonos y 52 para los hexágonos, juntos 73 (ver áreas de polígonos regulares ).

El icosaedro truncado demuestra fácilmente la característica de Euler :

32 + 60 - 90 = 2.

Aplicaciones

Los balones utilizados en el fútbol de asociación y el balonmano en equipo son quizás el ejemplo más conocido de un poliedro esférico análogo al icosaedro truncado, que se encuentra en la vida cotidiana. ^[2] La pelota tiene el mismo patrón de pentágonos regulares y hexágonos regulares, pero es más esférica debido a la presión del aire en el interior y la elasticidad de la pelota. Este tipo de pelota se introdujo en la Copa del Mundo en 1970 (a partir de 2006 , este diseño icónico ha sido reemplazado por patrones alternativos ).

Las cúpulas geodésicas se basan típicamente en facetas triangulares de esta geometría con estructuras de ejemplo encontradas en todo el mundo, popularizadas por Buckminster Fuller . ^{[ cita requerida ]}

Se utilizó una variación del icosaedro como base de las ruedas de nido de abeja (hechas de un material polifundido) utilizadas por la Pontiac Motor Division entre 1971 y 1976 en sus Trans Am y Grand Prix . ^{[ cita requerida ]}

Esta forma también fue la configuración de las lentes utilizadas para enfocar las ondas de choque explosivas de los detonadores tanto en el dispositivo como en las bombas atómicas de Fat Man . ^[3]

El icosaedro truncado también se puede describir como un modelo de Buckminsterfullereno (fullereno) (C ₆₀ ), o "buckyball", molécula, un alótropo del carbono elemental, descubierto en 1985. El diámetro del balón de fútbol y la molécula de fullereno son 22 cm. y aproximadamente 0,71  nm , respectivamente, por lo que la relación de tamaño es ≈31.000.000: 1.

En la cultura artesanal popular, se pueden hacer grandes bolas brillantes usando un patrón de icosaedro y vasos de plástico, espuma de poliestireno o papel.

En las artes

• Galería
• El icosaedro truncado (izquierda) comparado con un fútbol de asociación .

• Fullereno C ₆₀ molécula

• Truncado icosaédrica radomo en una estación meteorológica

• Iicosaedro truncado mecanizado en aluminio 6061-T6

• Una obra de arte de icosaedro truncado de madera de George W. Hart .

Poliedros relacionados

Familia de poliedros icosaédricos uniformes
Simetría : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Poliedros duales a uniformes
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

* n 32 mutación de simetría de teselaciones truncadas: n .6.6 v t mi
Sym. * n 42 [n, 3]	Esférico				Euclides.	Compacto		Parac.	Hiperbólico no compacto
	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Figuras truncadas
Config.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
figuras n-kis
Config.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Estos poliedros en estrella uniformes y una estelación icosaédrica tienen cascos convexos de icosaedros truncados no uniformes :

Poliedros uniformes en estrella con cascos convexos icosaedros truncados
Iicosaedro truncado no uniforme 2 5 | 3 U37 25/2| 5 U61 5/2 3 | 5/3 U67 5/33 | 2 U73 25/3 (3/2 5/4) Estelación completa Iicosaedro truncado no uniforme 2 5 | 3 U38 5/25 | 2 U44 5/35 | 3 U56 2 3 (5/45/2) | Iicosaedro truncado no uniforme 2 5 | 3 U32 |5/2 3 3

Gráfico icosaédrico truncado

Gráfico icosaédrico truncado
Diagrama de Schlegel de simetría de 6 pliegues
Vértices	60
Bordes	90
Automorfismos	120
Número cromático	3
Propiedades	Cúbico , hamiltoniano , regular , simétrico cero
Tabla de gráficos y parámetros

En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo icosaédrico truncado es el gráfico de vértices y aristas del icosaedro truncado , uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 60 vértices y 90 aristas, y es un grafo de Arquímedes cúbico . ^{[4] [5] [6] [7]}

Proyección ortográfica

Simetría quíntuple

Diagrama de Schlegel quíntuple

Historia

Imagen de Piero della Francesca de un icosaedro truncado de su libro De quinque corporibus regularibus

El icosaedro truncado era conocido por Arquímedes , quien clasificó los 13 sólidos de Arquímedes en una obra perdida. Todo lo que sabemos de su trabajo sobre estas formas proviene de Pappus de Alejandría , quien simplemente enumera el número de caras para cada una: 12 pentágonos y 20 hexágonos, en el caso del icosaedro truncado. La primera imagen conocida y descripción completa de un icosaedro truncado es de un redescubrimiento por Piero della Francesca , en su libro del siglo XV De quinque corporibus regularibus , ^[8] que incluía cinco de los sólidos de Arquímedes (los cinco truncamientos de los poliedros regulares) . La misma forma fue representada por Leonardo da Vinci , en sus ilustraciones para Luca Pacioli.plagio del libro de della Francesca en 1509. Aunque Alberto Durero omitió esta forma de los otros sólidos de Arquímedes enumerados en su libro de 1525 sobre poliedros, Underweysung der Messung , se encontró una descripción en sus artículos póstumos, publicados en 1538. Johannes Kepler más tarde redescubrió la lista completa de los 13 sólidos de Arquímedes, incluido el icosaedro truncado, y los incluyó en su libro de 1609, Harmonices Mundi . ^[9]

Ver también

• Fullereno
• Balón de fútbol hiperbólico
• Proyección de áreas iguales de Snyder

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Grupo icosaédrico" . MathWorld .
2. Kotschick, Dieter (2006). "La topología y combinatoria de balones de fútbol". Científico estadounidense . 94 (4): 350–357. doi : 10.1511 / 2006.60.350 .
3. Rhodes, Richard (1996). Dark Sun: La fabricación de la bomba de hidrógeno . Libros Touchstone. págs.  195 . ISBN 0-684-82414-0.
4. Leer, RC; Wilson, RJ (1998). Un Atlas de Gráficos . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 268.
5. Weisstein, Eric W. "Gráfico icosaédrico truncado" . MathWorld .
6. Godsil, C. y Royle, G. Teoría de grafos algebraicos Nueva York: Springer-Verlag, p. 211, 2001
7. Kostant, B. El gráfico del icosaedro truncado y la última letra de Galois. Avisos Amer. Matemáticas. Soc. 42, 1995, págs. 959-968 PDF
8. Katz, Eugene A. (2011). "Puentes entre matemáticas, ciencias naturales, arquitectura y arte: caso de fullerenos". Arte, ciencia y tecnología: interacción entre tres culturas, actas de la Primera Conferencia Internacional . págs. 60–71.
9. Campo, JV (1997). "Redescubriendo los poliedros de Arquímedes: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Daniele Barbaro y Johannes Kepler". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 50 (3–4): 241–289. doi : 10.1007 / BF00374595 (inactivo 2021-01-13). JSTOR 41134110 . Señor 1457069 .  

Referencias

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
• Cromwell, P. (1997). "Sólidos de Arquímedes". Poliedros: "Uno de los capítulos más encantadores de la geometría" . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 79–86. ISBN 0-521-55432-2. OCLC  180091468 .

Enlaces externos

Busque icosaedro truncado en Wikcionario, el diccionario gratuito.

• Eric W. Weisstein , icosaedro truncado ( sólido de Arquímedes ) en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Gráfico icosaédrico truncado" . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3x5o - ti" .
• Red imprimible editable de un icosaedro truncado con vista 3D interactiva
• Los poliedros uniformes
• "Poliedros de realidad virtual" - La enciclopedia de poliedros
• Visualización de datos en papel 3D Bola de la Copa del Mundo