En geometría algebraica, un esquema de Gorenstein es un esquema localmente noetheriano cuyos anillos locales son todos de Gorenstein . [1] El paquete de líneas canónicas se define para cualquier esquema de Gorenstein sobre un campo , y sus propiedades son muy parecidas a las del caso especial de esquemas suaves .
Propiedades relacionadas
Para un esquema de Gorenstein X de tipo finito sobre un campo, f : X → Spec ( k ), el complejo dualizante f ! ( k ) en X es un paquete de líneas (llamado paquete canónico K X ), visto como un complejo en grado −dim ( X ). [2] Si X es liso de dimensión n sobre k , el paquete canónico K X puede identificarse con el paquete de líneas Ω n de formas diferenciales de grado superior . [3]
Usando el paquete canónico, la dualidad de Serre toma la misma forma para los esquemas de Gorenstein que para los esquemas suaves.
Sea X un esquema normal de tipo finito sobre un campo k . Entonces X es regular fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2. Sea U el subconjunto abierto donde X es regular; entonces el paquete canónico K U es un paquete de líneas. La restricción del grupo de clase divisor Cl ( X ) a Cl ( U ) es un isomorfismo y (dado que U es suave) Cl ( U ) puede identificarse con el grupo Picard Pic ( U ). Como resultado, K U define un lineal equivalencia clase de divisores de Weil en X . Cualquiera de tales divisor se llama el divisor canónico K X . Para un esquema normal X , se dice que el divisor canónico K X es Q-Cartier si algún múltiplo positivo del divisor de Weil K X es Cartier . (Esta propiedad no depende de la elección del divisor de Weil en su clase de equivalencia lineal). Alternativamente, a veces se dice que los esquemas normales X con K X Q -Cartier son Q-Gorenstein .
También es útil considerar los esquemas normales X para los cuales el divisor canónico K X es Cartier . A veces se dice que tal esquema es Q-Gorenstein de índice 1 . (Algunos autores usan "Gorenstein" para esta propiedad, pero eso puede generar confusión.) Un esquema normal X es Gorenstein (como se definió anteriormente) si y solo si K X es Cartier y X es Cohen-Macaulay . [4]
Ejemplos de
- Una variedad algebraica con singularidades locales de intersección completa , por ejemplo, cualquier hipersuperficie en una variedad suave, es Gorenstein. [5]
- Una variedad X con singularidades de cociente sobre un campo de característica cero es Cohen-Macaulay y K X es Q- Cartier. La variedad del cociente de un espacio vectorial V por una acción lineal de un grupo finito G es Gorenstein si G se mapea en el subgrupo SL ( V ) de transformaciones lineales del determinante 1. Por el contrario, si X es el cociente de C 2 por el cíclico grupo de orden n actuando por escalares, entonces K X no es Cartier (y entonces X no es Gorenstein) para n ≥ 3.
- Generalizando el ejemplo anterior, cada variedad X con singularidades klt (terminal logarítmico de Kawamata) sobre un campo de característica cero es Cohen-Macaulay, y K X es Q -Cartier. [6]
- Si una variedad X tiene singularidades canónicas logarítmicas , entonces K X es Q -Cartier, pero no es necesario que X sea Cohen-Macaulay. Por ejemplo, cualquier cono afín X sobre una variedad abeliana Y es log canónico y K X es Cartier, pero X no es Cohen-Macaulay cuando Y tiene una dimensión de al menos 2. [7]
Notas
Referencias
- Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality , Lecture Notes in Mathematics, 20 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6, MR 0222093
- Kollár, János (2013), Singularities of the Minimal Model Program , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950
- Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , ISBN 0-521-63277-3, MR 1658959
enlaces externos
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks