En geometría, la configuración Grünbaum-Rigby es una configuración simétrica que consta de 21 puntos y 21 líneas, con cuatro puntos en cada línea y cuatro líneas a través de cada punto. Originalmente estudiado por Felix Klein en el plano proyectivo complejo en conexión con el cuartico de Klein , fue realizado por primera vez en el plano euclidiano por Branko Grünbaum y John F. Rigby .
Historia y notación
Felix Klein , William Burnside y HSM Coxeter conocían la configuración Grünbaum-Rigby . [1] Su descripción original por Klein en 1879 marcó la primera aparición en la literatura matemática de una configuración de 4, un sistema de puntos y líneas con cuatro puntos por línea y cuatro líneas por punto. [2] En la descripción de Klein, estos puntos y líneas pertenecen al plano proyectivo complejo , un espacio cuyas coordenadas son números complejos en lugar de las coordenadas de números reales del plano euclidiano.
La realización geométrica de esta configuración como puntos y líneas en el plano euclidiano , basada en la superposición de tres heptagramas regulares , fue establecida mucho más tarde, por Branko Grünbaum y JF Rigby ( 1990 ). Su artículo sobre él se convirtió en el primero de una serie de trabajos sobre configuraciones de Grünbaum, y contenía la primera representación gráfica publicada de una configuración en 4. [3]
En la notación de configuraciones, se indican configuraciones con 21 puntos, 21 líneas, 4 puntos por línea y 4 líneas por punto (21 4 ). Sin embargo, la notación no especifica la configuración en sí, solo su tipo (el número de puntos, líneas e incidencias). Tampoco especifica si la configuración es puramente combinatoria (un patrón de incidencia abstracto de líneas y puntos) o si los puntos y líneas de la configuración son realizables en el plano euclidiano o en otra geometría estándar. El tipo (21 4 ) es muy ambiguo: hay un número desconocido pero grande de configuraciones (combinatorias) de este tipo, 200 de las cuales fueron enumeradas por Di Paola y Gropp (1989) . [4]
Construcción
La configuración Grünbaum-Rigby se puede construir a partir de los siete puntos de un heptágono regular y sus 14 diagonales interiores. Para completar los 21 puntos y líneas de la configuración, estos deben aumentarse en 14 puntos más y siete líneas más. Los 14 puntos restantes de la configuración son los puntos donde se cruzan pares de diagonales de igual longitud del heptágono. Estos forman dos heptágonos más pequeños, uno para cada una de las dos longitudes de la diagonal; los lados de estos heptágonos más pequeños son las diagonales del heptágono exterior. Cada uno de los dos heptágonos más pequeños tiene 14 diagonales, siete de las cuales se comparten con el otro heptágono más pequeño. Las siete diagonales compartidas son las siete líneas restantes de la configuración. [5]
La construcción original de la configuración Grünbaum-Rigby de Klein consideraba que sus puntos y líneas pertenecían al plano proyectivo complejo , en lugar del plano euclidiano. En este espacio, los puntos y las líneas forman los centros y ejes de perspectiva de las transformaciones de perspectiva del cuartico de Klein . [6] Tienen el mismo patrón de intersecciones de líneas de puntos que la versión euclidiana de la configuración.
El plano proyectivo finito tiene 57 puntos y 57 líneas, y se le pueden dar coordenadas basadas en los números enteros módulo 7. En este espacio, cada cónica (el conjunto de soluciones a una ecuación cuadrática de dos variables módulo 7) tiene 28 rectas secantes a través de pares de sus puntos, 8 rectas tangentes a través de un solo punto y 21 rectas no secuenciantes que son disjuntas de. Dualmente, hay 28 puntos donde se encuentran pares de rectas tangentes, 8 puntos eny 21 puntos interiores que no pertenecen a ninguna recta tangente. Las 21 líneas no secuenciales y los 21 puntos interiores forman una instancia de la configuración Grünbaum-Rigby, lo que significa que nuevamente estos puntos y líneas tienen el mismo patrón de intersecciones. [7]
Propiedades
El dual proyectivo de esta configuración, un sistema de puntos y líneas con un punto para cada línea de la configuración y una línea para cada punto, y con las mismas incidencias punto-línea, es la misma configuración. El grupo de simetría de la configuración incluye simetrías que llevan cualquier par incidente de puntos y líneas a cualquier otro par incidente. [8] La configuración Grünbaum-Rigby es un ejemplo de configuración policíclica, es decir, una configuración con simetría cíclica , tal que cada órbita de puntos o líneas tiene el mismo número de elementos. [9]
Notas
- ↑ Grünbaum (2009 , p. 156); Klein (1879) ; Burnside (1907) ; Coxeter (1983) .
- ^ Grünbaum (2009) , p. 156.
- ^ Grünbaum (2009) , p. 13.
- ^ Grünbaum (2009) , p. 53.
- ^ Grünbaum y Rigby (1990) .
- ^ Klein (1879) . Ver transl. pag. 297.
- ^ Coxeter (1983) .
- ^ Grünbaum (2009) , p. 363.
- ^ Boben y Pisanski (2003) .
Referencias
- Boben, Marko; Pisanski, Tomaž (2003), "Configuraciones policíclicas", European Journal of Combinatorics , 24 (4): 431–457, doi : 10.1016 / S0195-6698 (03) 00031-3 , ISSN 0195-6698 , MR 1975946
- Burnside, W. (1907), "Sobre la configuración de Hesse y su conexión con el grupo de colinaciones de 360 planos" , Actas de la London Mathematical Society , Segunda serie, 4 : 54–71, doi : 10.1112 / plms / s2-4.1 0.54 , MR 1576105
- Coxeter, HSM (1983), "My graph", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 46 (1): 117-136, doi : 10.1112 / plms / s3-46.1.117 , MR 0684825
- Di Paola, Jane W .; Gropp, Harald (1989), "Gráficos hiperbólicos de planos hiperbólicos", Congressus Numerantium , 68 : 23–43, MR 0995852. Como lo cita Grünbaum (2009) .
- Grünbaum, Branko (2009), Configuraciones de puntos y líneas , Estudios de posgrado en matemáticas , 103 , Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / gsm / 103 , ISBN 978-0-8218-4308-6, MR 2510707
- Grünbaum, Branko ; Rigby, JF (1990), "The real configuration (21 4 )", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 41 (2): 336–346, doi : 10.1112 / jlms / s2-41.2.336 , MR 1067273
- Klein, Felix (1879), "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" , Mathematische Annalen , 14 (3): 428–471, doi : 10.1007 / BF01677143. Traducido al inglés por Silvio Levy como Klein, Felix (1999), "Sobre la transformación de las funciones elípticas en el orden siete", The Eightfold Way , Mathematical Sciences Research Institute Publications, 35 , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, págs. 287–331, MR 1722419