La navegación de círculo máximo u navegación ortodrómica (relacionada con el rumbo ortodrómico ; del griego ορθóς , ángulo recto y δρóμος , trayectoria) es la práctica de navegar una embarcación (un barco o avión ) a lo largo de un círculo máximo . Tales rutas producen la distancia más corta entre dos puntos del globo. [1]
Curso
La trayectoria del gran círculo se puede encontrar usando trigonometría esférica ; esta es la versión esférica del problema geodésico inverso . Si un navegante comienza en P 1 = (φ 1 , λ 1 ) y planea recorrer el gran círculo hasta un punto en el punto P 2 = (φ 2 , λ 2 ) (ver Fig.1, φ es la latitud, positiva hacia el norte , y λ es la longitud, positiva hacia el este), los cursos inicial y final α 1 y α 2 están dados por fórmulas para resolver un triángulo esférico
donde λ 12 = λ 2 - λ 1 [nota 1] y los cuadrantes de α 1 , α 2 están determinados por los signos del numerador y denominador en las fórmulas de la tangente (por ejemplo, usando la función atan2 ). El ángulo central entre los dos puntos, σ 12 , está dado por
(El numerador de esta fórmula contiene las cantidades que se usaron para determinar tanα 1. ) La distancia a lo largo del círculo máximo será s 12 = R σ 12 , donde R es el radio asumido de la Tierra y σ 12 se expresa en radianes. . Usando el radio medio terrestre , R = R 1 ≈ 6,371 km (3,959 mi) arroja resultados para la distancia s 12 que están dentro del 1% de la distancia geodésica para el elipsoide WGS84 .
Encontrar puntos de paso
Para encontrar los puntos de paso , es decir, las posiciones de los puntos seleccionados en el gran círculo entre P 1 y P 2 , primero extrapolamos el gran círculo a su nodo A , el punto en el que el gran círculo cruza el ecuador en el norte. dirección: sea la longitud de este punto λ 0 - ver Fig 1. El acimut en este punto, α 0 , viene dado por
Deje que las distancias angulares a lo largo del círculo máximo de A a P 1 y P 2 sean σ 01 y σ 02 respectivamente. Luego, usando las reglas de Napier tenemos
- (Si φ 1 = 0 y α 1 = 1 ⁄ 2 π, use σ 01 = 0).
Esto da σ 01 , de donde σ 02 = σ 01 + σ 12 .
La longitud en el nodo se obtiene a partir de
Finalmente, calcule la posición y el acimut en un punto arbitrario, P (ver Fig. 2), mediante la versión esférica del problema geodésico directo . [nota 5] Las reglas de Napier dan
La función atan2 debe usarse para determinar σ 01 , λ y α. Por ejemplo, para encontrar el punto medio de la ruta, sustituya σ = 1 ⁄ 2 (σ 01 + σ 02 ); alternativamente para encontrar el punto a una distancia d desde el punto de partida, tomar σ = σ 01 + d / R . Asimismo, el vértice , el punto del gran círculo con mayor latitud, se encuentra sustituyendo σ = + 1 ⁄ 2 π. Puede ser conveniente parametrizar la ruta en términos de longitud utilizando
Se pueden encontrar latitudes a intervalos regulares de longitud y las posiciones resultantes se pueden transferir a la carta de Mercator, lo que permite aproximar el círculo máximo mediante una serie de líneas de rumbo . La ruta determinada de esta manera da la gran elipse que une los puntos finales, siempre que las coordenadas se interpretan como coordenadas geográficas en el elipsoide.
Estas fórmulas se aplican a un modelo esférico de la tierra. También se utilizan para resolver el gran círculo en la esfera auxiliar que es un dispositivo para encontrar el camino más corto, o geodésico , en un elipsoide de revolución; vea el artículo sobre geodésicas en un elipsoide .
Ejemplo
Calcule la ruta del gran círculo desde Valparaíso , φ 1 = −33 °, λ 1 = −71.6 °, a Shanghai , φ 2 = 31.4 °, λ 2 = 121.8 °.
Las fórmulas para el rumbo y la distancia dan λ 12 = −166,6 °, [nota 8] α 1 = −94,41 °, α 2 = −78,42 ° y σ 12 = 168,56 °. Tomando el radio de la Tierra como R = 6371 km, la distancia es s 12 = 18743 km.
Para calcular puntos a lo largo de la ruta, primero encuentre α 0 = −56.74 °, σ 1 = −96.76 °, σ 2 = 71.8 °, λ 01 = 98.07 ° y λ 0 = −169.67 °. Luego, para calcular el punto medio de la ruta (por ejemplo), tome σ = 1 ⁄ 2 (σ 1 + σ 2 ) = −12.48 °, y resuelva para φ = −6.81 °, λ = −159.18 ° y α = −57.36 °.
Si la geodésica se calcula con precisión en el elipsoide WGS84 , [4] los resultados son α 1 = −94,82 °, α 2 = −78,29 ° y s 12 = 18752 km. El punto medio de la geodésica es φ = −7.07 °, λ = −159.31 °, α = −57.45 °.
Carta gnomónica
Una línea recta dibujada en una carta gnomónica sería una gran trayectoria circular. Cuando se transfiere a un gráfico de Mercator , se convierte en una curva. Las posiciones se transfieren en un intervalo de longitud conveniente y esto se traza en el gráfico de Mercator.
Ver también
- Rosa de los vientos
- Gran circulo
- Distancia del gran círculo
- Gran elipse
- Geodésicas en un elipsoide
- Distancia geográfica
- Isoazimutal
- Navegación loxodrómica
- Mapa
- Reloj de arena marino
- Línea de rumbo
- Trigonometría esférica
- Red Windrose
Notas
- ^ En el artículo sobre distancias de círculo máximo,se utilizala notación Δλ = λ 12 y Δσ = σ 12 . La notación en este artículo es necesaria para tratar las diferencias entre otros puntos, por ejemplo, λ 01 .
- ^ Una fórmula más simple es
- ^ Estas ecuaciones para α 1 , α 2 , σ 12 son adecuadas para su implementación en calculadoras y computadoras modernas. Para los cálculos manuales con logaritmos,se utilizaron habitualmente lasanalogías de Delambre [2] :
- ^ Una fórmula más simple es
- ^ El problema geodésico directo, encontrar la posición de P 2 dado P 1 , α 1 y s 12 , también se puede resolver mediante fórmulas para resolver un triángulo esférico , como sigue,
- ^ Una fórmula más simple es
- ^ Se utiliza lo siguiente:
- ^ λ 12 se reduce al rango [−180 °, 180 °] agregando o restando 360 ° según sea necesario
Referencias
- ^ Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7 de junio de 2011). Métodos y algoritmos de navegación: navegación marítima y seguridad del transporte marítimo . Prensa CRC . págs. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
- ^ Todhunter, I. (1871). Trigonometría esférica (3ª ed.). MacMillan. pag. 26 .
- ^ McCaw, GT (1932). "Largas filas en la Tierra". Revisión de la encuesta Empire . 1 (6): 259–263. doi : 10.1179 / sre.1932.1.6.259 .
- ^ Karney, CFF (2013). "Algoritmos para geodésicas" . J. Geodesy . 87 (1): 43–55. doi : 10.1007 / s00190-012-0578-z .
enlaces externos
- Great Circle: de la descripción, figuras y ecuaciones de MathWorld Great Circle. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
- Great Circle Mapper Herramienta interactiva para trazar grandes rutas circulares.
- Great Circle Calculator que deriva el rumbo (inicial) y la distancia entre dos puntos.
- Great Circle Distance Herramienta gráfica para dibujar grandes círculos sobre mapas. También muestra la distancia y el acimut en una tabla.
- Programa de asistencia de Google para navegación ortodrómica