En geometría algebraica y geometría diferencial sintética , una conexión de Grothendieck es una forma de ver las conexiones en términos de datos de descenso de vecindades infinitesimales de la diagonal.
La conexión de Grothendieck es una generalización de la conexión de Gauss-Manin construida de manera análoga a aquella en la que la conexión de Ehresmann generaliza la conexión de Koszul . La construcción en sí debe satisfacer un requisito de invariancia geométrica , que puede considerarse como el análogo de la covarianza para una clase más amplia de estructuras, incluidos los esquemas de geometría algebraica. Así la conexión en cierto sentido debe vivir en un haz natural sobre una topología de Grothendieck . En esta sección, analizamos cómo describir una conexión de Ehresmann en términos de teoría de haces como una conexión de Grothendieck.
Sea M una variedad y π : E → M una inmersión sobreyectiva , de modo que E es una variedad fibrosa sobre M . Sea J 1 ( M , E ) el conjunto de secciones de primer orden de E . Esto puede considerarse como un paquete sobre M o un paquete sobre el espacio total de E. Con la última interpretación, una conexión Ehresmann es una sección del paquete (sobre E ) J 1 ( M , E ) → E. El problema es, pues, obtener una descripción intrínseca del haz de secciones de este haz vectorial.
La solución de Grothendieck es considerar la incrustación diagonal Δ : M → M × M . El haz I de ideales de Δ en M × M consta de funciones en M × M que se anulan a lo largo de la diagonal. Gran parte de la geometría infinitesimal de M se puede realizar en términos de I. Por ejemplo, Δ * ( I / I 2 ) es el haz de secciones del haz cotangente . Se puede definir una vecindad infinitesimal de primer orden M (2) de Δ en M× M para ser el subesquema correspondiente a la gavilla de ideales I 2 . (Consulte a continuación para obtener una descripción de las coordenadas).
Hay un par de proyecciones p 1 , p 2 : M × M → M dadas por proyección los respectivos factores del producto cartesiano, que se restringen para dar proyecciones p 1 , p 2 : M (2) → M . Ahora se puede formar el retroceso del espacio de fibra E a lo largo de uno u otro de p 1 o p 2 . En general, no existe una forma canónica de identificar p 1 * E y p 2* E entre sí. Una conexión de Grothendieck es un isomorfismo especificado entre estos dos espacios. Se puede proceder a definir la curvatura y la curvatura p de una conexión en el mismo idioma.