En matemáticas , la conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz es un principio local-global para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales , relacionado con la teoría diferencial de Galois y, en un sentido amplio, análogo al resultado del teorema de densidad de Chebotarev considerado como el caso polinomial . Es una conjetura de Alexander Grothendieck de finales de la década de 1960, y aparentemente no la publicó de ninguna forma.
El caso general sigue sin resolverse, a pesar de los avances recientes; se ha relacionado con investigaciones geométricas que involucran foliaciones algebraicas .
Formulación
En el enunciado más simple posible, la conjetura se puede enunciar en su esencia para un sistema vectorial escrito como
para un vector v de tamaño n , y una matriz A n × n de funciones algebraicas con coeficientes numéricos algebraicos . La cuestión es dar un criterio para cuando hay un conjunto completo de soluciones de funciones algebraicas, es decir, una matriz fundamental (es decir, n soluciones vectoriales colocadas en una matriz de bloques ). Por ejemplo, una pregunta clásica era para la ecuación hipergeométrica : ¿cuándo tiene un par de soluciones algebraicas, en términos de sus parámetros? La respuesta se conoce clásicamente como lista de Schwarz . En términos de monodromía , la cuestión es identificar los casos de grupo de monodromía finito.
Al reformular y pasar a un sistema más grande, el caso esencial es para funciones racionales en A y coeficientes de números racionales. Entonces, una condición necesaria es que para casi todos los números primos p , el sistema definido por el módulo de reducción p también debe tener un conjunto completo de soluciones algebraicas, sobre el campo finito con p elementos.
La conjetura de Grothendieck es que estas condiciones necesarias, para casi todo p , deberían ser suficientes. La conexión con la curvatura p es que la condición mod p establecida es lo mismo que decir que la curvatura p , formada por una operación de recurrencia en A , [1] es cero; entonces otra forma de decirlo es que p -curvatura de 0 para casi todo p implica suficientes soluciones algebraicas de la ecuación original.
Formulación de Katz para el grupo Galois
Nicholas Katz ha aplicado técnicas de categorías tannakianas para mostrar que esta conjetura es esencialmente lo mismo que decir que el grupo G de Galois diferencial (o estrictamente hablando el álgebra g de Lie del grupo algebraico G , que en este caso es el cierre de Zariski del grupo de monodromía ) se puede determinar mediante información mod p , para una cierta clase amplia de ecuaciones diferenciales. [2]
Progreso
Benson Farb y Mark Kisin han probado una amplia clase de casos ; [3] estas ecuaciones están en una variedad X simétrica localmente sujeta a algunas condiciones teóricas de grupo. Este trabajo se basa en los resultados anteriores de Katz para las ecuaciones de Picard-Fuchs (en el sentido contemporáneo de la conexión Gauss-Manin ), amplificados en la dirección tannakiana por André. También aplica una versión de superrigidez particular a los grupos aritméticos . Otro progreso ha sido por métodos aritméticos. [4]
Historia
Nicholas Katz relacionó algunos casos con la teoría de la deformación en 1972, en un artículo donde se publicó la conjetura. [5] Desde entonces, se han publicado reformulaciones. Se ha propuesto un q-análogo para ecuaciones en diferencias . [6]
En respuesta a la charla de Kisin sobre este trabajo en el Colloque Grothendieck de 2009, [7] Katz dio un breve relato a partir del conocimiento personal de la génesis de la conjetura. Grothendieck lo presentó en una discusión pública en la primavera de 1969, pero no escribió nada sobre el tema. Fue llevado a la idea por intuiciones fundacionales en el área de la cohomología cristalina , en ese momento desarrollada por su alumno Pierre Berthelot . De alguna manera, deseando equiparar la noción de "nilpotencia" en la teoría de las conexiones, con la técnica de la estructura de poder dividida que se convirtió en estándar en la teoría cristalina, Grothendieck produjo la conjetura como un subproducto.
Notas
- ^ Daniel Bertrand, Seminario Bourbaki 750, 1991-2 , sección 5.
- ^ Katz, Nicholas M. (1982). "Una conjetura en la teoría aritmética de ecuaciones diferenciales" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 110 (2): 203–239. doi : 10.24033 / bsmf.1960 .
- ^ Farb, Benson; Kisin, Mark (2009). "Rigidez, variedades localmente simétricas y la conjetura de Grothendieck-Katz" (PDF) . Avisos Int Math Res . 2009 (22): 4159–4167. CiteSeerX 10.1.1.158.3198 . doi : 10.1093 / imrn / rnp082 .
- ^ Chambert-Loir, Antoine (2002). "Théorèmes d'algébrisation en géométrie diophantienne". arXiv : matemáticas / 0103192 .
- ^ Katz, Nicholas M. (1972). "Soluciones algebraicas de ecuaciones diferenciales (p-curvatura y la filtración de Hodge)". Inventar. Matemáticas. 18 (1–2): 1–118. Código Bibliográfico : 1972InMat..18 .... 1K . doi : 10.1007 / BF01389714 .
- ^ Di Vizio, Lucia (2002). "Teoría aritmética de q-ecuaciones de diferencia". Inventar. Matemáticas . 150 (3): 517–578. arXiv : matemáticas / 0104178 . Código bibliográfico : 2002InMat.150..517D . doi : 10.1007 / s00222-002-0241-z .
- ^ Grabación de video.
Referencias
- Nicholas M. Katz, Sistemas locales rígidos , Capítulo 9.
Otras lecturas
- Jean-Benoît Bost, Hojas algebraicas de foliaciones algebraicas sobre campos numéricos , Publicaciones Mathématiques de L'IHÉS, Volumen 93, Número 1, septiembre de 2001
- Yves André, Sur la conjecture des p-courbures de Grothendieck – Katz et un problème de Dwork , en Geometric Aspects of Dwork Theory (2004), editores Alan Adolphson, Francesco Baldassarri, Pierre Berthelot, Nicholas Katz, François Loeser
- Anand Pillay (2006), Álgebra diferencial y generalizaciones de la conjetura de Grothendieck sobre la aritmética de ecuaciones diferenciales lineales