Una tractrix (del verbo latino trahere "jalar, arrastrar"; plural: tractrices ) es la curva a lo largo de la cual se mueve un objeto, bajo la influencia de la fricción, cuando es arrastrado en un plano horizontal por un segmento de línea unido a un tractor (tirando) punto que se mueve en ángulo recto con la línea inicial entre el objeto y el tirador a una velocidad infinitesimal . Por tanto, es una curva de persecución . Fue introducido por primera vez por Claude Perrault en 1670 y más tarde estudiado por Isaac Newton (1676) y Christiaan Huygens (1692). [cita requerida ]
Derivación matemática
Suponga que el objeto se coloca en ( a , 0) (o (4,0) en el ejemplo que se muestra a la derecha), y el tirador en el origen , por lo que a es la longitud del hilo de tracción (4 en el ejemplo de la derecha) . Luego, el extractor comienza a moverse a lo largo del eje y en la dirección positiva. En todo momento, el hilo será tangente a la curva y = y ( x ) descrita por el objeto, de modo que quede completamente determinado por el movimiento del tirador. Matemáticamente, si las coordenadas del objeto son ( x , y ) , la coordenada y del extractor es y + signo ( y ) √ a 2 - x 2 , según el teorema de Pitágoras . Escribir que la pendiente del hilo es igual a la de la tangente a la curva conduce a la ecuación diferencial
con la condición inicial y ( a ) = 0 . Su solucion es
donde el signo ± depende de la dirección (positiva o negativa) del movimiento del extractor.
El primer término de esta solución también se puede escribir
donde arsech es la función secante hiperbólica inversa .
El signo antes de la solución depende de si el extractor se mueve hacia arriba o hacia abajo. Ambas ramas pertenecen a la tractriz y se encuentran en el punto de la cúspide ( a , 0) .
Base de la tractrix
La propiedad esencial de la tractriz es la constancia de la distancia entre un punto P en la curva y la intersección de la recta tangente en P con la asíntota de la curva.
La tractriz se puede considerar de muchas formas:
- Es el lugar geométrico del centro de una espiral hiperbólica que rueda (sin patinar) en línea recta.
- Es la involuta de la función catenaria , que describe una cuerda homogénea , inelástica , totalmente flexible unida a dos puntos que está sometida a un campo gravitacional. La catenaria tiene la ecuación y ( x ) = a coshX/a.
- La trayectoria determinada por el centro del eje trasero de un automóvil tirado por una cuerda a una velocidad constante y con una dirección constante (inicialmente perpendicular al vehículo).
- Es una curva (no lineal) en la que un círculo que rueda sobre una línea recta se cruza perpendicularmente en todo momento.
La función admite una asíntota horizontal. La curva es simétrica con respecto al eje y . El radio de curvatura es r = una cuna X/y.
Una gran implicación que tuvo la tractriz fue el estudio de su superficie de revolución sobre su asíntota: la pseudoesfera . Estudiada por Eugenio Beltrami en 1868, [ cita requerida ] como una superficie de curvatura gaussiana negativa constante , la pseudoesfera es un modelo local de geometría hiperbólica . La idea fue llevada más lejos por Kasner y Newman en su libro Mathematics and the Imagination , [ cita requerida ] donde muestran un tren de juguete arrastrando un reloj de bolsillo para generar la tractrix.
Propiedades
- La curva se puede parametrizar mediante la ecuación . [1]
- Debido a la forma geométrica en que fue definida, la tractriz tiene la propiedad de que el segmento de su tangente , entre la asíntota y el punto de tangencia, tiene una longitud constante a .
- La longitud del arco de una rama entre x = x 1 y x = x 2 es un ln x 1/x 2.
- El área entre la tractriz y su asíntota es π a 2/2que se puede encontrar usando la integración o el teorema de Mamikon .
- La envolvente de las normales de la tractriz (es decir, la evolución de la tractriz) es la catenaria (o curva de cadena ) dada por y = a cosh X/a.
- La superficie de revolución creada al hacer girar una tractriz alrededor de su asíntota es una pseudoesfera .
Aplicación práctica
En 1927, P. G. A. H. Voigt patentó un diseño de altavoz de bocina basado en la suposición de que un frente de onda que viaja a través de la bocina es esférico de radio constante. La idea es minimizar la distorsión causada por el reflejo interno del sonido dentro de la bocina. La forma resultante es la superficie de revolución de una tractriz. [2]
Una aplicación importante es la tecnología de conformado de chapa. En particular, se utiliza un perfil tractrix para la esquina de la matriz en la que se dobla la chapa durante la embutición profunda. [3]
Un diseño de polea de correa dentada proporciona una eficiencia mejorada para la transmisión de potencia mecánica utilizando una forma de catenaria de tracto para sus dientes. [4] Esta forma minimiza la fricción de los dientes de la correa que se acoplan a la polea, porque los dientes en movimiento se acoplan y se desconectan con un contacto deslizante mínimo. Los diseños originales de correas de distribución utilizaban formas de dientes trapezoidales o circulares más simples, que provocan un deslizamiento y una fricción significativos.
Máquinas de dibujo
- En octubre-noviembre de 1692, Christiaan Huygens describió tres máquinas trefiladoras de tractores. [ cita requerida ]
- En 1693, Gottfried Wilhelm Leibniz ideó una "máquina de tracción universal" que, en teoría, podría integrar cualquier ecuación diferencial. [5] El concepto era un mecanismo de computación analógica que implementaba el principio de tracción. El dispositivo no fue práctico de construir con la tecnología de la época de Leibniz y nunca se realizó.
- En 1706, John Perks construyó una máquina de tracción para realizar la cuadratura hiperbólica . [6]
- En 1729, Johann Poleni construyó un dispositivo de tracción que permitía dibujar funciones logarítmicas . [7]
Se puede ver una historia de todas estas máquinas en un artículo de HJM Bos [8]
Ver también
- Superficie de Dini
- Funciones hiperbólicas para tanh , sech , csch , arcosh
- Logaritmo natural para ln
- Función de señal para sgn
- Función trigonométrica para sin , cos , tan , arccot , csc
Notas
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Tractrix" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- ^ Diseño de altavoz de bocina págs. 4-5. (Reimpreso de Wireless World, marzo de 1974)
- ^ Lange, Kurt (1985). Manual de conformado de metales . Compañía de libros de McGraw Hill. pag. 20,43.
- ^ "Manual de diseño de accionamientos Gates Powergrip GT3" (PDF) . Gates Corporation . 2014. p. 177 . Consultado el 17 de noviembre de 2017 .
El perfil del diente GT se basa en la función matemática del tracto. Los manuales de ingeniería describen esta función como un sistema "sin fricción". Este desarrollo temprano de Schiele se describe como una forma involuta de una catenaria.
- ^ Milici, Pietro (2014). Lolli, Gabriele (ed.). De la lógica a la práctica: estudios italianos en filosofía de las matemáticas . Saltador.
... dispositivos mecánicos estudiados ... para resolver ecuaciones diferenciales particulares ... Debemos recordar la 'máquina de tracción universal' de Leibniz
- ^ Beneficios, John (1706). "La construcción y propiedades de una nueva cuadratriz a la hipérbola". Transacciones filosóficas . 25 : 2253–2262. doi : 10.1098 / rstl.1706.0017 . JSTOR 102681 .
- ^ Poleni, Juan (1729). Epistolarum mathicanim fasciculus . pag. carta no. 7.
- ^ Bos, H. J. M. (1989). "Reconocimiento y asombro - Huygens, movimiento de tracción y algunas reflexiones sobre la historia de las matemáticas" (PDF) . Euclides . 63 : 65–76.
Referencias
- Kasner, Edward; Newman, James (1940). Matemáticas e imaginación . Simon y Schuster . pag. 141-143 .
- Lawrence, J. Dennis (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 5, 199 . ISBN 0-486-60288-5.
enlaces externos
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Tractrix" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- "Tractrix" . PlanetMath .
- "Curvas famosas en el avión" . PlanetMath .
- Tractrix en MathWorld
- Módulo: ODE del reloj de bolsillo de Leibniz en PHASER