Restricción hamiltoniana de LQG

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En la formulación de ADM de la relatividad general uno divide el espacio-tiempo en rodajas espaciales y el tiempo, las variables básicas son llevados a ser el inducido métrica , , en la rebanada espacial (la métrica inducida en la rebanada espacial por el espacio-tiempo métrica), y su momento conjugado variable relacionada con la curvatura extrínseca,, (esto nos dice cómo se curva el corte espacial con respecto al espacio-tiempo y es una medida de cómo la métrica inducida evoluciona en el tiempo). ^[1] Estas son las coordenadas métricas canónicas .${\displaystyle q_{ab}(x)}$${\displaystyle K^{ab}(x)}$

Las dinámicas como las evoluciones temporales de los campos están controladas por la restricción hamiltoniana .

La identidad de la restricción hamiltoniana es una cuestión abierta importante en la gravedad cuántica , al igual que la extracción de observables físicos de cualquier restricción específica de este tipo.

En 1986 Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, las variables Ashtekar para representar una forma inusual de reescribir las variables métricas canónicas en los cortes espaciales tridimensionales en términos de un campo de calibre SU (2) y su variable complementaria. ^[2] El hamiltoniano se simplificó mucho en esta reformulación. Esto llevó a la representación en bucle de la relatividad general cuántica ^[3] y, a su vez, en la gravedad cuántica en bucle .

Dentro de la representación de la gravedad cuántica de bucle, Thiemann pudo formular un operador matemáticamente riguroso como una propuesta como tal restricción. ^[4] Aunque este operador define una teoría cuántica completa y consistente, se han planteado dudas en cuanto a la realidad física de esta teoría debido a inconsistencias con la relatividad general clásica (el álgebra de restricción cuántica se cierra, pero no es isomórfica con el álgebra de restricción clásica de RR.GG., que se considera una prueba circunstancial de inconsistencias, no una prueba de inconsistencias), por lo que se han propuesto variantes.

Expresiones clásicas para el hamiltoniano

Formulación métrica

La idea era cuantificar las variables canónicas y convertirlas en operadores que actúan sobre funciones de onda en el espacio de 3 métricas, y luego cuantificar el hamiltoniano (y otras restricciones). Sin embargo, este programa pronto se consideró tremendamente difícil por varias razones, una de las cuales es la naturaleza no polinomial de la restricción hamiltoniana:${\displaystyle q_{ab}}$${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$

${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)}$

donde es la curvatura escalar de las tres métricas . Al ser una expresión no polinómica en las variables canónicas y sus derivadas, es muy difícil promocionarlo a operador cuántico.${\displaystyle \;^{3}R}$${\displaystyle q_{ab}(x)}$

Expresión usando variables de Ashtekar

Las variables de configuración de las variables de Ashtekar se comportan como un campo de calibre o conexión . Su momento canónicamente conjugado es el campo o tríada "eléctrico" densitizado (densitizado como ). ¿Qué tienen que ver estas variables con la gravedad? Las tríadas densitizadas se pueden utilizar para reconstruir la métrica espacial a través de${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}}$.

Las tríadas densitizadas no son únicas y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos . Este es en realidad el origen de la invariancia de calibre. La conexión se puede utilizar para reconstruir la curvatura extrínseca. La relación está dada por${\displaystyle i}$${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

donde se relaciona con la conexión de espín , por e .${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

En términos de variables de Ashtekar , la expresión clásica de la restricción viene dada por

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

donde el tensor de intensidad de campo del campo de calibre . Debido al factor esto en no polinomio en las variables de Ashtekar. Desde que imponemos la condición${\displaystyle F_{ab}^{k}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle H=0}$,

podríamos considerar el hamiltoniano densitizado en su lugar,

${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0}$.

Este hamiltoniano es ahora polinomio en las variables de Ashtekar. Este desarrollo generó nuevas esperanzas para el programa canónico de gravedad cuántica. ^[5] Aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, tiene el problema de que las variables se vuelven complejas. Cuando uno cuantifica la teoría es una tarea difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja. También hubo serias dificultades para promover al hamiltoniano densitizado a un operador cuántico.

Una forma de abordar el problema de las condiciones de realidad fue señalar que si tomamos la firma como euclidiana en lugar de lorentziana, entonces se puede retener la forma simple del hamiltoniano para, pero para variables reales. Entonces se puede definir lo que se llama una rotación de Wick generalizada para recuperar la teoría de Lorentz. ^[6] Generalizado ya que es una transformación de Wick en el espacio de fase y no tiene nada que ver con la continuación analítica del parámetro de tiempo .${\displaystyle (+,+,+,+)}$${\displaystyle t}$

Expresión para formulación real de variables Ashtekar

Thomas Thiemann pudo abordar los dos problemas anteriores. ^[4] Usó la conexión real

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

En las variables reales de Ashtekar, el hamiltoniano completo es

${\displaystyle H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$.

donde la constante es el parámetro de Barbero-Immirzi . ^[7] La constante es -1 para la firma Lorentziana y +1 para la firma Euclidiana. La tienen una relación complicada con las tríadas desitized y causa problemas graves tras la cuantificación. Las variables de Ashtekar se pueden considerar como si se hiciera desaparecer el segundo término más complicado (el primer término se denota porque para la teoría euclidiana este término permanece para la elección real de ). Además, todavía tenemos el problema del factor.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \beta =i}$${\displaystyle H_{E}}$${\displaystyle \beta =\pm 1}$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

Thiemann pudo hacer que funcionara de verdad . Primero, podría simplificar lo problemático usando la identidad${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

donde esta el volumen,${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}|}}}$.

El primer término de la restricción hamiltoniana se convierte en

${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$

al usar la identidad de Thiemann. Este corchete de Poisson se reemplaza por un conmutador en la cuantificación. Resulta que se puede usar un truco similar para estimular el segundo término. ¿Por qué están dados por las tríadas densitizadas ? Proviene de la condición de compatibilidad${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle D_{a}E_{b}^{i}=0}$.

Podemos resolver esto de la misma manera que la conexión Levi-Civita se puede calcular a partir de la ecuación ; rotando los distintos índices y luego sumándolos y restándolos (consulte el artículo Conexión de giro para obtener más detalles sobre la derivación, aunque allí usamos una notación ligeramente diferente). Luego reescribimos esto en términos de la tríada densitizada usando eso . El resultado es complicado y no lineal, sino una función homogénea de de orden cero,${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$${\displaystyle \det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}={1 \over 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b}^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^{l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \over 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{\Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E}})}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}})}{\Big ]}}$.

Para sortear los problemas introducidos por esta complicada relación, Thiemann primero define la cantidad invariante de calibre de Gauss

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

donde , y señala que${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$.

(esto se debe a que surge de que es el generador de la transformación canónica de reescalado constante , y es una función homogénea de orden cero). Entonces podemos escribir${\displaystyle \{\Gamma _{a}^{i},K\}=0}$${\displaystyle \beta K}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_{i}^{a}/\beta }$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$

y como tal encontrar una expresión en términos de la variable de configuración y para el segundo término del hamiltoniano${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}}$.

¿Por qué es más fácil de cuantificar ? Esto se debe a que se puede reescribir en términos de cantidades que ya sabemos cuantificar. Específicamente se puede reescribir como${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}}$

donde hemos utilizado que la traza densitizada integrada de la curvatura extrínseca es la "derivada temporal del volumen".

Acoplamiento a la materia

Acoplamiento al campo escalar

El lagrangiano para un campo escalar en el espacio-tiempo curvo

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -V(\varphi ))}$.

donde están los índices del espacio-tiempo. Definimos el momento conjugado del campo escalar con el habitual , el hamiltoniano se puede reescribir como,${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle {\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}}(q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$,

donde y son el lapso y el cambio. En las variables de Ashtekar, esto dice:${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{a}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

Como es habitual, la restricción de difeomorfismo espacial (manchado) está asociada con la función de desplazamiento y el hamiltoniano (manchado) está asociado con la función de lapso . Así que simplemente leemos el difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana,${\displaystyle N^{a}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

${\displaystyle H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)}$.

Estos deben agregarse (multiplicarse por ) al difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana del campo gravitacional, respectivamente. Esto representa el acoplamiento de la materia escalar a la gravedad.${\displaystyle 8\pi G\beta }$

Acoplamiento al campo fermiónico

Hay problemas para acoplar la gravedad a los campos de espino : no hay representaciones de espino de dimensión finita del grupo de covarianza general. Sin embargo, existen, por supuesto, representaciones espinoriales del grupo de Lorentz . Este hecho se utiliza empleando campos de tétrada que describen un espacio tangente plano en cada punto del espacio-tiempo. Las matrices de Dirac se contraen en vierbiens,${\displaystyle \gamma ^{I}}$

${\displaystyle \gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)}$.

Deseamos construir una ecuación de Dirac generalmente covariante. Bajo un espacio tangente plano, la transformación de Lorentz transforma el espinor como

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi }$

Hemos introducido transformaciones de Lorentz locales en el espacio tangente plano, por lo que es una función del espacio-tiempo. Esto significa que la derivada parcial de un espinor ya no es un tensor genuino. Como es habitual, se introduce un campo de conexión que nos permite calibrar el grupo de Lorentz. La derivada covariante definida con la conexión de espín es,${\displaystyle \epsilon _{IJ}}$${\displaystyle \omega _{\mu }^{IJ}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a}^{IJ}\sigma _{IJ})\psi }$,

y es un tensor genuino y la ecuación de Dirac se reescribe como

${\displaystyle (i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0}$.

La acción de Dirac en forma covariante es

${\displaystyle S_{Dirac}={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]}$

donde es un bi-spinor de Dirac y es su conjugado. La derivada covariante se define para aniquilar la tétrada .${\displaystyle \Psi =(\psi ,\eta )}$${\displaystyle {\overline {\Psi }}=(\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}}$${\displaystyle \nabla _{a}}$${\displaystyle E_{a}^{I}}$

Acoplamiento al campo electromagnético

El lagrangiano para un campo electromagnético en el espacio-tiempo curvo es

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })}$

donde

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu }-\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }}$

es el tensor de intensidad de campo, en componentes

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}}$

y ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}}$

donde el campo eléctrico está dado por

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\mathcal {A}}}_{a}}$

y el campo magnético es.

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}}$.

El análisis clásico con la acción de Maxwell seguido de la formulación canónica utilizando la parametrización del indicador de tiempo da como resultado:

${\displaystyle H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}}$

con y siendo las coordenadas canónicas.${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

Acoplamiento al campo Yang-Mills

${\displaystyle H={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]}$

Hamiltoniano total de materia acoplada a la gravedad

La dinámica del sistema acoplado gravedad-materia se define simplemente agregando términos que definen la dinámica de la materia al hamiltoniano gravitacional. El hamiltoniano completo es descrito por

${\displaystyle H=H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}}$.

Restricción cuántica hamiltoniana

En esta sección discutimos la cuantificación del hamiltoniano de gravedad pura, es decir, en ausencia de materia. El caso de la inclusión de materia se discute en la siguiente sección.

Las restricciones en su forma primitiva son bastante singulares y, por lo tanto, deberían ser "manchadas" por funciones de prueba apropiadas. El hamiltoniano es el escrito como

${\displaystyle H(N)=\int d^{3}xN\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}\epsilon ^{abc}}$.

Para simplificar, solo estamos considerando la parte "euclidiana" de la restricción hamiltoniana, la extensión a la restricción completa se puede encontrar en la literatura. En realidad, hay muchas opciones diferentes para las funciones, por lo que lo que luego termina con restricciones hamiltonianas (manchadas). Exigir que todos desaparezcan es equivalente a la descripción original.

La representación de bucle

El bucle de Wilson se define como

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

donde indica un orden de ruta para que los factores para valores más pequeños de aparezcan a la izquierda, y donde satisfacen el álgebra,${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}}$.

Es fácil ver de esto que,

${\displaystyle Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})}$.

implica eso .${\displaystyle Tr(T^{i})=0}$

Los bucles de Wilson no son independientes entre sí y, de hecho, ciertas combinaciones lineales de ellos, llamadas estados de red de espín, forman una base ortonormal. Como las funciones de red de espín forman una base, podemos expandir formalmente cualquier función invariante de calibre de Gauss como,

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]}$.

A esto se le llama transformación de bucle inverso. La transformación de bucle está dada por

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]}$

y es análogo a lo que se hace cuando se pasa a la representación del momento en la mecánica cuántica,

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$.

La transformación de bucle define la representación de bucle. Dado un operador en la representación de la conexión,${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]}$,

definimos por la transformación de bucle,${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]}$.

Esto implica que uno debe definir el operador correspondiente en en la representación de bucle como${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$,

o

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }s_{\gamma }[A])\Psi [A]}$,

donde nos referimos al operador pero con el orden inverso del factor. Evaluamos la acción de este operador en la red de espín como un cálculo en la representación de la conexión y reordenando el resultado como una manipulación puramente en términos de bucles (se debe recordar que al considerar la acción en la red de espín se debe elegir el operador que se desee transformar con el factor opuesto ordenando al elegido para su acción sobre las funciones de onda ). Esto le da el significado físico del operador . Por ejemplo, si fuera un difeomorfismo espacial, entonces se puede pensar que esto mantiene el campo de conexión del lugar donde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial en su lugar. Por tanto, el significado de${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s_{\gamma }[A]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {O}}'}$es un difeomorfismo espacial sobre , el argumento de .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

El operador de holonomía en la representación de bucle es el operador de multiplicación,

${\displaystyle {\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]}$

Promoción de la restricción hamiltoniana a un operador cuántico

Promovemos la restricción hamiltoniana a un operador cuántico en la representación de bucle. Uno introduce un procedimiento de regularización de celosía. asumimos que el espacio se ha dividido en tetraedros . Se construye una expresión tal que el límite en el que los tetraedros se encogen en tamaño se aproxima a la expresión de la restricción hamiltoniana.${\displaystyle \Delta }$

Para cada tetraedro, elija un vértice y llame . Dejar que con tres aristas que termina en . Ahora construimos un bucle${\displaystyle v(\Delta )}$${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle v(\Delta )}$

${\displaystyle \alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}}$

moviéndose luego a lo largo de la línea que une los puntos y los que no lo son (que hemos denotado ) y luego regresando a lo largo . La holonomia${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle v(\Delta )}$${\displaystyle s_{ij}}$${\displaystyle v(\Delta )}$${\displaystyle s_{j}}$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}}$

a lo largo de una línea en el límite, el tetraedro se contrae se aproxima a la conexión a través de

${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_{k}^{c}}$

donde es un vector en la dirección del borde . Se puede demostrar que${\displaystyle s_{k}^{c}}$${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle \lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij}}=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}}$.

(esto expresa el hecho de que el tensor de intensidad de campo, o curvatura, mide la holonomía alrededor de "bucles infinitesimales"). Estamos llevados a intentar

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{k}}^{-1},V\}{\big )}}$

donde la suma está sobre todos los tetraedros . Sustituyendo las holonomías,${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}(I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_{d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}}$.

La identidad tendrá un corchete de Poisson desaparecido con el volumen, por lo que la única contribución vendrá de la conexión. Como el paréntesis de Poisson ya es proporcional a sólo contribuye la parte de identidad de la holonomía fuera del paréntesis. Finalmente tenemos que la holonomía alrededor ; el término de identidad no contribuye ya que el corchete de Poisson es proporcional a una matriz de Pauli (ya que y la matriz constante se puede tomar fuera del corchete de Poisson) y uno está tomando el trazo. El término restante de produce el . Las tres longitudes que aparecen se combinan con la suma en el límite para producir una integral.${\displaystyle s_{k}^{c}}$${\displaystyle h_{s_{k}}}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle h_{\alpha _{ij}}}$${\displaystyle F_{ab}}$${\displaystyle s}$

Esta expresión se puede promover inmediatamente a un operador en la representación de bucle, tanto las holonomías como el volumen se promueven a operadores bien definidos allí.

La triangulación se elige para adaptarse al estado de la red de espín sobre el que se está actuando eligiendo los vértices y las líneas de manera apropiada. Habrá muchas líneas y vértices de la triangulación que no corresponden a líneas y vértices de la red de espín cuando uno toma el límite. Debido a la presencia del volumen, la restricción hamiltoniana solo contribuirá cuando haya al menos tres líneas no coplanares de un vértice.

Aquí solo hemos considerado la acción de la restricción hamiltoniana sobre los vértices trivalentes. Calcular la acción en vértices de valencia más altos es más complicado. Remitimos al lector al artículo de Borissov, De Pietri y Rovelli. ^[8]

Una teoria finita

El hamiltoniano no es invariante bajo difeomorfismos espaciales y, por lo tanto, su acción solo puede definirse en el espacio cinemático. Se puede transferir su acción a estados invariantes de diffeomprphsm. Como veremos, esto tiene implicaciones para dónde se agrega precisamente la nueva línea. Considere un estado tal que si las redes giran y son difeomórficas entre sí. Tal estado no está en el espacio cinemático sino que pertenece al espacio dual más grande de un subespacio denso del espacio cinemático. Luego definimos la acción de de la siguiente manera,${\displaystyle \langle \Psi |}$${\displaystyle \langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle {\hat {H}}(N)}$

${\displaystyle \langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle =\lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle }$.

La posición de la línea agregada es entonces irrelevante. Cuando uno se proyecta en la posición de la línea no importa porque se está trabajando en el espacio de estados invariantes de difeomorfismo y entonces la línea se puede mover "más cerca" o "más lejos" del vértice sin cambiar el resultado.${\displaystyle \Psi }$

El difeomrfismo espacial juega un papel crucial en la construcción. Si las funciones no fueran invariantes en difeomorfismo, la línea agregada tendría que encogerse hasta el vértice y podrían aparecer posibles divergencias.

La misma construcción se puede aplicar al hamiltoniano de la relatividad general acoplada a la materia: campos escalares, campos de Yang-Mills, fermiones. En todos los casos, la teoría es finita, está libre de anomalías y está bien definida. La gravedad parece actuar como un "regulador fundamental" de las teorías de la materia.

Libre de anomalías

Las anomalías cuánticas ocurren cuando el álgebra de restricciones cuánticas tiene términos adicionales que no tienen contrapartes clásicas. Para recuperar la teoría semiclásica correcta, estos términos adicionales deben desaparecer, pero esto implica restricciones adicionales y reduce el número de grados de libertad de la teoría, haciéndola no física. Se puede demostrar que la restricción hamiltoniana de Theimann está libre de anomalías.

El núcleo de la restricción hamiltoniana

El núcleo es el espacio de estados que aniquila la restricción hamiltoniana. Se puede esbozar una construcción explícita del núcleo completo y riguroso del operador propuesto. Son los primeros con volumen distinto de cero y que no necesitan constante cosmológica distinta de cero.

El espacio completo de soluciones a las diferencias espaciales para todas las limitaciones ya se ha encontrado hace mucho tiempo. ^[9] E incluso estaba equipado con un producto interno natural inducido del espacio cinemático de Hilbert de soluciones a la restricción de Gauss. Sin embargo, no hay posibilidad de definir los operadores de restricción hamiltonianos correspondientes a (densamente) on porque los operadores de restricción hamiltonianos no conservan los estados invariantes de difeomorfismo espacial. Por lo tanto, uno no puede simplemente resolver la restricción de difeomorfismos espaciales y luego la restricción hamiltoniana y, por lo tanto, la estructura interna del producto de${\displaystyle C^{a}(x)=0}$${\displaystyle x\in \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$no puede emplearse en la construcción del producto interior físico. Este problema puede evitarse con el uso de la restricción Master (ver más abajo) que permite los resultados recién mencionados que deben aplicarse para obtener el espacio de Hilbert física de .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

Más por venir aquí ...

Críticas a la restricción hamiltoniana

Recuperación del álgebra de restricciones. Clásicamente tenemos

${\displaystyle \{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})}$

donde

${\displaystyle K^{a}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}M-M\partial _{b}N)/(\det(q))}$

Como sabemos en la representación de bucle un operador autoadjunto que genera difeomorfismos espaciales. Por lo tanto, no es posible implementar la relación en la teoría cuántica con infinitesimal , como mucho es posible con difeomofismos espaciales finitos.${\displaystyle \{H(N),H(M)\}}$${\displaystyle {\vec {C}}}$

Ultra localidad del hamiltoniano: el hamiltoniano solo actúa en los vértices y actúa "vistiendo" el vértice con líneas. No interconecta vértices ni cambia las valencias de las líneas (fuera del "aderezo"). Las modificaciones que realiza el operador de restricción hamiltoniano en un vértice dado no se propagan por todo el gráfico, sino que se limitan a una vecindad del vértice. De hecho, la acción repetida del hamiltoniano genera más y más aristas nuevas cada vez más cercanas al vértice que nunca se cruzan entre sí. En particular, no hay acción en los nuevos vértices creados. Esto implica, por ejemplo, que para superficies que encierran un vértice (definido de manera difeomórfica invariablemente) el área de tales superficies conmutaría con el hamiltoniano, lo que implica que no hay "evolución".de estas áreas ya que es el hamiltoniano el que genera "evolución". Esto insinúa que la teoría "no se propaga". Sin embargo, Thiemann señala que el hamiltoniano actúa en todas partes.

Existe la cuestión algo sutil de que , aunque se definen en el espacio de Hilbert, no se conocen explícitamente (se conocen hasta un difeomorfismo espacial; existen por el axioma de elección ).${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

Estas dificultades podrían abordarse con un nuevo enfoque: el programa de restricciones Master.

Extensión de la cuantificación a la inclusión de campos de materia

Materia fermiónica

Teoría de Maxwell

Tenga en cuenta que ambos tienen un peso de densidad 1. Como es habitual, antes de la cuantificación, necesitamos expresar las restricciones (y otros observables) en términos de holonomías y flujos.${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}}$

Tenemos un factor común de . Como antes, introducimos una descomposición celular y notamos,${\displaystyle q_{ab}/{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {q_{ab} \over {\sqrt {q}}}(x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}}$.

Yang-Mills

Aparte de la naturaleza no abeliana del campo gauge, en la forma, las expresiones proceden de la misma manera que en el caso de Maxwell.

Campo escalar - Campo de Higgs

Los operadores de configuración elemental son análogos al operador de holonomía para las variables de conexión y actúan por multiplicación como

${\displaystyle {\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi }$.

Estos se llaman holonomías puntuales. La variable conjugada a la holonomía puntual que se promueve a un operador en la teoría cuántica, se toma como el momento de campo difuminado.

${\displaystyle P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)}$

donde es el campo de momento conjugado y es una función de prueba. Su paréntesis de Poisson viene dado por${\displaystyle \pi _{\varphi }}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f(x)h(x,\lambda )}$.

En la teoría cuántica se busca una representación del corchete de Poisson como conmutador de los operadores elementales,

${\displaystyle [{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )}$.

Finitud de la teoría con inclusión de la materia

Thiemann ha ilustrado cómo las divergencias ultravioleta de la teoría cuántica ordinaria pueden interpretarse directamente como una consecuencia de la aproximación que ignora la naturaleza cuantificada y discreta de la geometría cuántica. Por ejemplo, Thiemann muestra cómo el operador para la participación hamiltoniana de Yang-mills está bien definido siempre que lo tratemos como un operador, pero se vuelve infinito tan pronto como lo reemplazamos con un campo de fondo uniforme.${\displaystyle E_{a}^{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

El programa maestro de restricciones

Artículo principal: Restricción maestra de LQG

La restricción maestra

El Programa Maestro de Restricciones ^[10] para la Gravedad Cuántica de Bucles (LQG) se propuso como una forma clásicamente equivalente de imponer el número infinito de ecuaciones de restricción hamiltonianas.

${\displaystyle H(x)=0}$

en términos de una única restricción maestra,

${\displaystyle M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}}$.

que involucra el cuadrado de las restricciones en cuestión. Tenga en cuenta que fueron infinitos mientras que la restricción Maestra es solo una. Está claro que si se desvanece, también lo hacen los infinitos . Por el contrario, si todos desaparecen, entonces también lo hace , por lo tanto, son equivalentes.${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle M}$

La restricción maestra implica un promedio apropiado sobre todo el espacio y, por lo tanto, es invariante bajo difeomorfismos espaciales (es invariante bajo "cambios" espaciales, ya que es una suma de todos los "cambios" espaciales de una cantidad que se transforma en un escalar). Por lo tanto, su soporte de Poisson con la restricción de difeomorfismo espacial (difuminado) , es simple:${\displaystyle M}$${\displaystyle C({\vec {N}})}$

${\displaystyle \{M,C({\vec {N}})\}=0}$.

(también es invariante). Además, obviamente, como cualquier cantidad Poisson conmuta consigo misma, y ​​la restricción maestra es una restricción única, satisface${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle \{M,M\}=0}$.

También tenemos el álgebra habitual entre difeomorfismos espaciales. Esto representa una simplificación espectacular de la estructura de soporte de Poisson.

Promoción a operador cuántico

Artículo principal: extensión de Friedrichs

Escribamos la expresión clásica en la forma

${\displaystyle M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x)}=\int d^{3}x({H \over [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)({H \over [\det(q)]^{1/4}})(y)}$.

Esta expresión está regulada por una función de un parámetro tal que y . Definir${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,y)}$${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)}$${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,x)=1}$

${\displaystyle V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)}$.

Ambos términos serán similares a la expresión de la restricción hamiltoniana, excepto que ahora involucrará en lugar de lo que proviene del factor adicional . Eso es,${\displaystyle \{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}}$${\displaystyle \{A,V\}}$${\displaystyle [\det(q)]^{1/4}}$

${\displaystyle M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\{A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)}$.

Por lo tanto, procedemos exactamente como para la restricción hamiltoniana e introducimos una partición en tetraedros, dividiendo ambas integrales en sumas,

${\displaystyle M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')}$.

donde el significado de es similar al de . Esta es una simplificación enorme, ya que se puede cuantificar con precisión con un simple cambio en la potencia del operador de volumen. Sin embargo, se puede demostrar que los operadores invariantes de difeomorfismo espacialmente cambiante de gráfico, como la restricción maestra, no se pueden definir en el espacio cinemático de Hilbert . La salida es definir no sobre sino sobre .${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$${\displaystyle H_{\Delta }}$${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$${\displaystyle H_{\Delta }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

Lo que se hace primero es que podemos calcular los elementos de la matriz del posible operador , es decir, calculamos la forma cuadrática . Nos gustaría que hubiera un operador único, positivo y autoadjunto cuyos elementos de matriz se reproduzcan . Se ha demostrado que tal operador existe y viene dado por la extensión de Friedrichs . ^{[11] [12]}${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$

Resolver la restricción maestra e inducir el espacio físico de Hilbert

Como se mencionó anteriormente, uno no puede simplemente resolver la restricción de difeomorfismo espacial y luego la restricción hamiltoniana, induciendo un producto interno físico del producto interno de difeomorfismo espacial, porque la restricción hamiltoniana mapea estados invariantes de difeomorfismo espacial en estados invariantes de difeomorfismo no espacial. Sin embargo, como la restricción maestra es espacialmente invariante de difeomorfismo, se puede definir en . Por lo tanto, finalmente podemos aprovechar todo el poder de los resultados mencionados anteriormente para obtener de . ^[9]${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

Referencias

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5. Consulte el libro Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity para obtener más detalles sobre este y el desarrollo posterior. Publicado por primera vez en 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. Limitado.
6. Thiemann, T (1 de junio de 1996). "Condiciones de realidad que inducen transformaciones para la teoría del campo de calibre cuántico y la gravedad cuántica". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 13 (6): 1383–1403. arXiv : gr-qc / 9511057 . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/6/012 . ISSN 0264-9381 . 
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11. Thiemann, Thomas (14 de marzo de 2006). "Dinámica de espín cuántico: VIII. La restricción maestra". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 23 (7): 2249–2265. doi : 10.1088 / 0264-9381 / 23/7/003 . hdl : 11858 / 00-001M-0000-0013-4B4E-7 . ISSN 0264-9381 . 
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enlaces externos

• Resumen de Carlo Rovelli
• El artículo de Thiemann en Physics Letters
• Buena información sobre LQG