La restricción hamiltoniana surge de cualquier teoría que admita una formulación hamiltoniana y sea invariante de reparametrización . La restricción hamiltoniana de la relatividad general es un ejemplo importante no trivial.
En el contexto de la relatividad general, la restricción hamiltoniana se refiere técnicamente a una combinación lineal de restricciones de difeomorfismo espacial y temporal que reflejan la reparametrizabilidad de la teoría tanto en coordenadas espaciales como temporales. Sin embargo, la mayoría de las veces el término restricción hamiltoniana se reserva para la restricción que genera difeomorfismos de tiempo.
El ejemplo más simple: el reloj parametrizado y el sistema de péndulo
Parametrización
En su presentación habitual, la mecánica clásica parece otorgar al tiempo un papel especial como variable independiente. Sin embargo, esto es innecesario. Se pueden formular mecánicas para tratar la variable de tiempo en la misma base que las otras variables en un espacio de fase extendido, mediante la parametrización de las variables temporales en términos de una variable de parámetro común, aunque no especificada. Las variables del espacio de fase están en pie de igualdad.
Digamos que nuestro sistema comprende un péndulo que ejecuta un movimiento armónico simple y un reloj. Mientras que el sistema podría describirse clásicamente por una posición x = x (t), con x definido como una función del tiempo, también es posible describir el mismo sistema como x () y T() donde la relación entre x y t no se especifica directamente. En cambio, x y t están determinados por el parámetro, que es simplemente un parámetro del sistema, posiblemente sin un significado objetivo por derecho propio.
El sistema estaría descrito por la posición de un péndulo desde el centro, denotado , y la lectura en el reloj, denotada . Ponemos estas variables en pie de igualdad introduciendo un parámetro ficticio,
cuya 'evolución' con respecto a nos lleva continuamente a través de todas las correlaciones posibles entre el desplazamiento y la lectura en el reloj. Obviamente la variablepuede ser reemplazado por cualquier función monótona ,. Esto es lo que hace que la reparametrización del sistema sea invariante. Tenga en cuenta que por esta invariancia de reparametrización, la teoría no puede predecir el valor de o por un valor dado de pero solo la relación entre estas cantidades. Entonces, la dinámica está determinada por esta relación.
Dinámica de este sistema invariante de reparametrización
La acción para el oscilador armónico parametrizado es entonces
dónde y son coordenadas canónicas y y son sus momentos conjugados respectivamente y representan nuestro espacio de fase extendido (mostraremos que podemos recuperar las ecuaciones habituales de Newton a partir de esta expresión). Escribiendo la acción como
identificamos el como
Ecuaciones de Hamilton para están
lo que da una restricción,
es nuestra restricción hamiltoniana! También podría obtenerse de la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange, observando que la acción depende de pero no es derivado. Luego, las variables del espacio de fase extendido, , , y están obligados a tomar valores en esta hiperesuperficie de restricción del espacio de fase extendido. Nos referimos a como la restricción hamiltoniana `` manchada '' donde es un número arbitrario. La restricción hamiltoniana `` difuminada '' nos dice cómo evoluciona una variable de espacio de fase extendido (o su función) con respecto a:
(estas son en realidad las otras ecuaciones de Hamilton). Estas ecuaciones describen un flujo u órbita en el espacio de fase. En general tenemos
para cualquier función de espacio de fase . A medida que la restricción hamiltoniana Poisson conmuta consigo misma, se conserva a sí misma y, por lo tanto, a la restricción-hipersuperficie. Las posibles correlaciones entre cantidades medibles como y luego corresponden a las 'órbitas' generadas por la restricción dentro de la superficie de restricción, cada órbita particular se diferencia entre sí por decir también midiendo el valor de digamos junto con y de acuerdo -instante; después de determinar la órbita particular, para cada medición de podemos predecir el valor tomará.
Desparametrización
Las otras ecuaciones de la mecánica hamiltoniana son
Al sustituir nuestra acción, estos dan,
Estos representan las ecuaciones fundamentales que gobiernan nuestro sistema.
En el caso del reloj parametrizado y el sistema de péndulo podemos, por supuesto, recuperar las ecuaciones de movimiento habituales en las que es la variable independiente:
Ahora y puede ser deducido por
Recuperamos la ecuación diferencial habitual para el oscilador armónico simple,
También tenemos o
¡Nuestra restricción hamiltoniana se ve entonces fácilmente como la condición de constancia de la energía! La desparametrización y la identificación de una variable de tiempo con respecto a la cual todo evoluciona es el proceso opuesto a la parametrización. En general, resulta que no todos los sistemas invariantes de reparametrización se pueden desparametrizar. La relatividad general es un excelente ejemplo físico (aquí las coordenadas del espacio-tiempo corresponden a lo no físico y el hamiltoniano es una combinación lineal de restricciones que generan difeomorfismos espaciales y temporales).
Razón por la que podríamos desparametrizarnos aquí
La razón subyacente por la que podríamos desparametrizar (aparte del hecho de que ya sabemos que fue una reparametrización artificial en primer lugar) es la forma matemática de la restricción, a saber,
.
Sustituya la restricción hamiltoniana en la acción original que obtenemos
que es la acción estándar para el oscilador armónico. La relatividad general es un ejemplo de una teoría física en la que la restricción hamiltoniana no es de la forma matemática anterior en general y, por lo tanto, no se puede desparametrizar en general.
Hamiltoniano de la relatividad general clásica
En la formulación ADM de la relatividad general, uno divide el espacio-tiempo en porciones espaciales y el tiempo, las variables básicas se toman como la métrica inducida ,, en el segmento espacial (la métrica inducida en el segmento espacial por la métrica del espacio-tiempo), y su variable de momento conjugado relacionada con la curvatura extrínseca,, (esto nos dice cómo el segmento espacial se curva con respecto al espacio-tiempo y es una medida de cómo la métrica inducida evoluciona en el tiempo). [1] Estas son las coordenadas métricas canónicas .
Las dinámicas como las evoluciones temporales de los campos están controladas por la restricción hamiltoniana .
La identidad de la restricción hamiltoniana es una cuestión abierta importante en la gravedad cuántica , al igual que la extracción de observables físicos de cualquier restricción específica de este tipo.
En 1986 Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, las variables Ashtekar para representar una forma inusual de reescribir las variables métricas canónicas en los cortes espaciales tridimensionales en términos de un campo de calibre SU (2) y su variable complementaria. [2] El hamiltoniano se simplificó mucho en esta reformulación. Esto llevó a la representación en bucle de la relatividad general cuántica [3] y, a su vez, en la gravedad cuántica en bucle .
Dentro de la representación de la gravedad cuántica de bucle, Thiemann formuló un operador matemáticamente riguroso como una propuesta como tal restricción. [4] Aunque este operador define una teoría cuántica completa y consistente, se han planteado dudas en cuanto a la realidad física de esta teoría debido a inconsistencias con la relatividad general clásica (el álgebra de restricción cuántica se cierra, pero no es isomórfica con el álgebra de restricción clásica de RR.GG., que se considera una prueba circunstancial de inconsistencias, no una prueba de inconsistencias), por lo que se han propuesto variantes.
Formulación métrica
La idea era cuantificar las variables canónicas y , convirtiéndolos en operadores que actúan sobre funciones de onda en el espacio de 3 métricas, y luego cuantificar el hamiltoniano (y otras restricciones). Sin embargo, este programa pronto se consideró tremendamente difícil por varias razones, una de las cuales es la naturaleza no polinomial de la restricción hamiltoniana:
dónde es la curvatura escalar de las tres métricas . Al ser una expresión no polinómica en las variables canónicas y sus derivadas, es muy difícil promocionarlo a operador cuántico .
Expresión usando variables de Ashtekar
Las variables de configuración de las variables de Ashtekar se comportan como un campo de calibre o conexión . Su momento canónicamente conjugado es es el campo o tríada "eléctrico" densitizado (densitizado como ). ¿Qué tienen que ver estas variables con la gravedad? Las tríadas densitizadas se pueden utilizar para reconstruir la métrica espacial a través de
.
Las tríadas densitizadas no son únicas, y de hecho se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos.. Este es en realidad el origen de lainvariancia de calibre. La conexión se puede utilizar para reconstruir la curvatura extrínseca. La relación está dada por
dónde está relacionado con la conexión de espín ,, por y .
En términos de las variables de Ashtekar, la expresión clásica de la restricción viene dada por,
.
dónde tensor de intensidad de campo del campo de calibre . Debido al factoresto no es polinomio en las variables de Ashtekar. Desde que imponemos la condición
,
podríamos considerar el hamiltoniano densitizado en su lugar,
.
Este hamiltoniano es ahora el polinomio de las variables de Ashtekar. Este desarrollo generó nuevas esperanzas para el programa canónico de gravedad cuántica. [5] Aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, tiene el problema de que las variables se vuelven complejas. Cuando uno cuantifica la teoría es una tarea difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja. También hubo serias dificultades para promover al hamiltoniano densitizado a un operador cuántico.
Una forma de abordar el problema de las condiciones de realidad era señalar que si tomábamos la firma como , que es euclidiana en lugar de lorentziana, entonces se puede retener la forma simple del hamiltoniano para pero para variables reales. Entonces se puede definir lo que se llama una rotación de Wick generalizada para recuperar la teoría de Lorentz. [6] Generalizado ya que es una transformación de Wick en el espacio de fase y no tiene nada que ver con la continuación analítica del parámetro de tiempo..
Expresión para formulación real de variables Ashtekar
Thomas Thiemann abordó los dos problemas anteriores. [4] Usó la conexión real
En las variables reales de Ashtekar, el hamiltoniano completo es
.
donde la constante es el parámetro Barbero - Immirzi . [7] La constantees -1 para la firma Lorentziana y +1 para la firma Euclidiana. Latienen una relación complicada con las tríadas densitizadas y causan serios problemas en la cuantificación. Las variables de Ashtekar pueden verse como una elección para hacer que el segundo término más complicado se desvaneciera (el primer término se denota porque para la teoría euclidiana este término sigue siendo para la elección real de ). Además, todavía tenemos el problema de la factor.
Thiemann pudo hacer que funcionara de verdad . Primero podría simplificar lo problemático usando la identidad
dónde es el volumen,
.
El primer término de la restricción hamiltoniana se convierte en
al usar la identidad de Thiemann. Este corchete de Poisson se reemplaza por un conmutador en la cuantificación. Resulta que se puede usar un truco similar para estimular el segundo término. ¿Por qué son los dado por las tríadas densitizadas ? En realidad, proviene de la Ley de Gauss.
.
Podemos resolver esto de la misma manera que la conexión Levi-Civita se puede calcular a partir de la ecuación; rotando los distintos índices y luego sumándolos y restándolos. El resultado es complicado y no lineal. Para sortear los problemas introducidos por esta complicada relación, Thiemann primero define la cantidad invariante de calibre de Gauss
dónde , y señala que
.
Entonces podemos escribir
y como tal encontrar una expresión en términos de la variable de configuración y . Obtenemos para el segundo trimestre del Hamiltoniano
.
¿Por qué es más fácil cuantificar? ? Esto se debe a que se puede reescribir en términos de cantidades que ya sabemos cuantificar. Específicamente se puede reescribir como
donde hemos utilizado que la traza densitizada integrada de la curvatura extrínseca es la "derivada del volumen en el tiempo".
Referencias
- ^ Gravitación de Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, publicado por WH Freeman y compañía. Nueva York.
- ↑ Ashtekar, Abhay (3 de noviembre de 1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 57 (18): 2244–2247. doi : 10.1103 / physrevlett.57.2244 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (5 de septiembre de 1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 61 (10): 1155-1158. doi : 10.1103 / physrevlett.61.1155 . ISSN 0031-9007 .
- ^ a b Thiemann, T. (1996). "Formulación libre de anomalías de la gravedad cuántica de Lorentzian cuatridimensional, no perturbativa". Physics Letters B . Elsevier BV. 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc / 9606088 . doi : 10.1016 / 0370-2693 (96) 00532-1 . ISSN 0370-2693 .
- ^ Consulte el libro Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity para obtener más detalles sobre este y el desarrollo posterior. Publicado por primera vez en 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. Limitado.
- ^ Thiemann, T (1 de junio de 1996). "Condiciones de realidad que inducen transformaciones para la teoría del campo de calibre cuántico y la gravedad cuántica". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 13 (6): 1383–1403. arXiv : gr-qc / 9511057 . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/6/012 . ISSN 0264-9381 .
- ^ Barbero G., J. Fernando (15 de mayo de 1995). "Variables reales de Ashtekar para los espacios-tiempos de la firma Lorentziana". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 51 (10): 5507–5510. arXiv : gr-qc / 9410014 . doi : 10.1103 / physrevd.51.5507 . ISSN 0556-2821 .
enlaces externos
- Resumen de Carlo Rovelli
- El artículo de Thiemann en Physics Letters
- Buena información sobre LQG