En matemáticas, un morfismo armónico es un mapa (suave)entre variedades de Riemann que retrae funciones armónicas de valor real en el codominio a funciones armónicas en el dominio. Los morfismos armónicos forman una clase especial de mapas armónicos, es decir, aquellos que son horizontalmente (débilmente) conformes. [1]
En coordenadas locales, en y en , la armonicidad dese expresa mediante el sistema no lineal
dónde y son los símbolos de Christoffel en y , respectivamente. La conformidad horizontal está dada por
donde el factor conforme es una función continua llamada dilatación . Los morfismos armónicos son, por tanto, soluciones a sistemas sobredeterminados no lineales de ecuaciones diferenciales parciales , determinados por los datos geométricos de las variedades implicadas. Por esta razón, son difíciles de encontrar y no tienen una teoría de existencia general, ni siquiera a nivel local.
Análisis complejo
Cuando el codominio dees una superficie , el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que estamos tratando, es invariante bajo cambios conformes de la métrica. Esto significa que, al menos para estudios locales, el codominio se puede elegir para que sea el plano complejo con su métrica plana estándar. En esta situación, una función de valor complejo es un morfismo armónico si y solo si
y
Esto significa que buscamos dos funciones armónicas de valor real con gradientes que sean ortogonales y de la misma norma en cada punto. Esto muestra que los morfismos armónicos de valor complejode las variedades de Riemann generalizan funciones holomorfas de las variedades Kähler y poseen muchas de sus propiedades muy interesantes. Por tanto, la teoría de los morfismos armónicos puede verse como una generalización del análisis complejo . [1]
Superficies mínimas
En geometría diferencial , uno está interesado en construir subvariedades mínimas de un espacio ambiental dado. Los morfismos armónicos son herramientas útiles para este propósito. Esto se debe al hecho de que cada fibra regular de tal mapa con valores en una superficie es una subvariedad mínima del dominio con codimensión 2. [1] Esto proporciona un método atractivo para fabricar familias enteras de superficies mínimas en variedades de 4 dimensiones , en particular, espacios homogéneos , como grupos de Lie y espacios simétricos . [ cita requerida ]
Ejemplos de
- Los mapas de identidad y constantes son morfismos armónicos.
- Las funciones holomórficas en el plano complejo son morfismos armónicos.
- Funciones holomorfas en el espacio vectorial complejo son morfismos armónicos.
- Los mapas holomórficos de variedades de Kähler con valores en una superficie de Riemann son morfismos armónicos.
- Los mapas de Hopf , y son morfismos armónicos.
- Para grupos de Lie compactos la fibración estándar de Riemann es un morfismo armónico.
- Las inmersiones de Riemann con fibras mínimas son morfismos armónicos.
Referencias
- ^ a b c "Morfismos armónicos entre colectores de Riemann" . Prensa de la Universidad de Oxford .
enlaces externos
- La bibliografía de morfismos armónicos , ofrecida por Sigmundur Gudmundsson