En el campo matemático de la geometría diferencial , un mapa suave de una variedad de Riemann a otra variedad de Riemann se llama armónico si sus representantes de coordenadas satisfacen una cierta ecuación diferencial parcial no lineal . Esta ecuación diferencial parcial para un mapeo también surge como la ecuación de Euler-Lagrange de una generalización funcional de la energía de Dirichlet (que a menudo se llama "energía de Dirichlet"). Como tal, la teoría de los mapas armónicos abarca tanto la teoría de las geodésicas de velocidad unitaria en la geometría de Riemann como la teoría de las funciones armónicas en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano y en las variedades de Riemann.
De manera informal, la energía Dirichlet de un mapeo f a partir de una variedad de Riemann M a una de Riemann colector de N puede ser pensado como la cantidad total que f "tramos" M en la asignación de cada uno de sus elementos a un punto de N . Por ejemplo, una banda elástica que se estira alrededor de una piedra (lisa) se puede formalizar matemáticamente como un mapeo desde los puntos de la banda sin estirar hasta la superficie de la piedra. La banda y la piedra sin estirar reciben métricas de Riemann como subvariedades incrustadas del espacio euclidiano tridimensional ; la energía de Dirichlet de tal mapeo es entonces una formalización de la noción de la tensión total involucrada. La armonicidad de tal mapeo significa que, dada cualquier forma hipotética de deformar físicamente el tramo dado, la tensión (cuando se considera una función del tiempo) tiene la primera derivada cero cuando comienza la deformación.
La teoría de los mapas armónicos fue iniciada en 1964 por James Eells y Joseph Sampson , quienes demostraron que en ciertos contextos geométricos, los mapas suaves arbitrarios podían deformarse en mapas armónicos. [1] Su trabajo fue la inspiración para el primer trabajo de Richard Hamilton sobre el flujo de Ricci . Los mapas de armónicos y el flujo de calor del mapa de armónicos asociado, en sí mismos, se encuentran entre los temas más estudiados en el campo del análisis geométrico .
El descubrimiento del "burbujeo" de secuencias de mapas armónicos, debido a Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck , [2] ha sido particularmente influyente, ya que los mismos fenómenos se han encontrado en muchos otros contextos geométricos. En particular, el descubrimiento paralelo de Uhlenbeck del burbujeo de los campos de Yang-Mills es importante en el trabajo de Simon Donaldson sobre variedades de cuatro dimensiones, [3] y el descubrimiento posterior de Mikhael Gromov del burbujeo de curvas pseudoholomórficas es significativo en aplicaciones a la geometría simpléctica y cuántica. cohomología . Las técnicas utilizadas por Richard Schoen y Uhlenbeck para estudiar la teoría de la regularidad de los mapas armónicos también han sido la inspiración para el desarrollo de muchos métodos analíticos en el análisis geométrico. [4] [5]
Definición matemática
Aquí la noción de laplaciano de un mapa se considera desde tres perspectivas diferentes. Un mapa se llama armónico si su laplaciano desaparece; se llama totalmente geodésico si su arpillera desaparece.
Formulación integral
Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann. Dado un mapa suave f de M a N , el retroceso f * h es un 2-tensor simétrico en M ; la densidad de energía e ( f ) de f es la mitad de su traza g . Si M está orientado y M es compacto, la energía de Dirichlet de f se define como
donde dμ g es la forma de volumen en M inducida por g . Incluso si M no es compacto, la siguiente definición es significativa: el campo laplaciano o de tensión Δ f de f es el campo vectorial en N a lo largo de f tal que
para cualquier familia de mapas de un parámetro f s : M → N con f 0 = f y para el cual existe un conjunto abierto precompacto K de M tal que f s | M - K = f | M - K para todos los s ; se supone que la familia parametrizada es suave en el sentido de que el mapa asociado (−ε, ε) × M → N dado por ( s , p ) ↦ f s ( p ) es suave.
En caso de que M sea compacto, el laplaciano de f se puede considerar como el gradiente de la energía de Dirichlet funcional.
Coordenadas locales
Sea U un subconjunto abierto de ℝ my sea V un subconjunto abierto de ℝ n . Para cada i y j entre 1 y n , sea g ij una función uniforme de valor real en U , tal que para cada p en U , se tenga que la matriz m × m [ g ij ( p )] es simétrica y positiva -definido. Para cada α y β entre 1 y m , sea h αβ una función uniforme de valor real en V , tal que para cada q en V , se tenga que la matriz n × n [ h αβ ( q )] es simétrica y positiva -definido. Denote las matrices inversas por [ g ij ( p )] y [ h αβ ( q )] .
Para cada i , j , k entre 1 y ny cada α , β , γ entre 1 y m defina los símbolos de Christoffel Γ ( g ) k ij : U → ℝ y Γ ( h ) γ αβ : V → ℝ
Dado un mapa uniforme f de U a V , su arpillera define para cada i y j entre 1 y my para cada α entre 1 y n la función de valor real ∇ ( gl ) α ij en U por
Su campo laplaciano o de tensión define para cada α entre 1 yn la función de valor real (∆ f ) α en U por
La densidad de energía de f es la función de valor real en U dada por
Formalismo de paquetes
Deje ( M , g ) y ( N , h ) sean variedades de Riemann . Dado un mapa uniforme f de M a N , se puede considerar su diferencial df como una sección del paquete de vectores T * M ⊗ f * TN sobre M ; todo esto dice es que para cada p en M , uno tiene un mapa lineal df p como T p M → T f (p) N . Las métricas de Riemann en M y N inducen una métrica de paquete en T * M ⊗ f * TN , por lo que se puede definir1/2| df | 2 como una función suave en M , conocida como densidad de energía .
El haz de T * M ⊗ f * TN también tiene una conexión compatible métrica- inducida de las conexiones Levi-Civita en M y N . Por tanto, se puede tomar la derivada covariante ∇ ( df ) , que es una sección del conjunto de vectores T * M ⊗ T * M ⊗ f * TN sobre M ; Esto dice que para cada p en M , uno tiene un mapa bilineal (∇ ( df )) p como T p M × T p M → T f (p) N . Esta sección se conoce como la arpillera de f .
Usando g , se puede trazar la arpillera de f para llegar al campo laplaciano o de tensión de f , que es una sección del haz f * TN sobre M ; este dice que el laplaciano de f asigna a cada p en M un elemento de T f ( p ) N . Está definido por
donde e 1 , ..., e m es un g p base -orthonormal de T p M .
Ejemplos de mapas armónicos
Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades suaves de Riemann. La notación g stan se usa para referirse a la métrica estándar de Riemann en el espacio euclidiano.
- Todo mapa totalmente geodésico ( M , g ) → ( N , h ) es armónico; esto se sigue directamente de las definiciones anteriores. Como casos especiales:
- Para cualquier q en N , el mapa constante ( M , g ) → ( N , h ) valorado en q es armónico.
- El mapa de identidad ( M , g ) → ( M , g ) es armónico.
- Si f : M → N es una inmersión , entonces f : ( M , f * h ) → ( N , h ) es armónica si y solo si f es mínima en relación con h . Como caso especial:
- Si f : ℝ → ( N , h ) es una inmersión de velocidad constante, entonces f : (ℝ, g stan ) → ( N , h ) es armónica si y solo si f resuelve la ecuación diferencial geodésica .
- Recuerde que si M es unidimensional, entonces la minimidad de f es equivalente a que f sea geodésica, aunque esto no implica que sea una parametrización de velocidad constante y, por lo tanto, no implica que f resuelva la ecuación diferencial geodésica.
- Un mapa suave f : ( M , g ) → (ℝ n , g stan ) es armónico si y solo si cada una de sus n funciones componentes son armónicas como mapas ( M , g ) → (ℝ, g stan ) . Esto coincide con la noción de armonicidad proporcionada por el operador Laplace-Beltrami .
- Cada mapa holomórfico entre las variedades de Kähler es armónico.
- Todo morfismo armónico entre variedades de Riemann es armónico.
Flujo de calor del mapa armónico
Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades suaves de Riemann. Un mapa armónico de flujo de calor en un intervalo ( a , b ) asigna a cada t en ( a , b ) un mapa f t doblemente diferenciable : M → N de tal manera que, para cada p en M , el mapa ( a , b ) → N dado por t ↦ f t ( p ) es diferenciable, y su derivada a un valor dado de t es, como vector en T f t ( p ) N , igual a (∆ f t ) p . Esto generalmente se abrevia como:
Eells y Sampson introdujeron el flujo de calor del mapa armónico y demostraron las siguientes propiedades fundamentales:
- Regularidad. Cualquier flujo de calor de mapa armónico es suave como un mapa ( a , b ) × M → N dado por ( t , p ) ↦ f t ( p ) .
Ahora suponga que M es una variedad cerrada y ( N , h ) es geodésicamente completa.
- Existencia. Dado un mapa continuamente diferenciable f de M a N , existe un número positivo T y un flujo de calor de mapa armónico f t en el intervalo (0, T ) tal que f t converge af en la topología C 1 cuando t disminuye a 0 . [6]
- Unicidad. Si { f t : 0 < t < T } y { f t : 0 < t < T } son dos flujos de calor del mapa armónico como en el teorema de existencia, entonces f t = f t siempre que 0 < t
T , T ) .
Como consecuencia del teorema de unicidad, existe un flujo de calor de mapa armónico máximo con datos iniciales f , lo que significa que uno tiene un flujo de calor de mapa armónico { f t : 0 < t < T } como en el enunciado del teorema de existencia, y se define de forma única bajo el criterio adicional de que T toma su valor máximo posible, que podría ser infinito.
Teorema de Eells y Sampson
El resultado principal del artículo de 1964 de Eells y Sampson es el siguiente:
Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades riemannianas suaves y cerradas, y suponga que la curvatura seccional de ( N , h ) no es positiva. Entonces, para cualquier mapa continuamente diferenciable f de M a N , el flujo de calor del mapa armónico máximo { f t : 0 < t < T } con los datos iniciales f tiene T = ∞ , y cuando t aumenta a ∞ , los mapas f t convergen subsecuentemente en la topología C ∞ a un mapa armónico.
En particular, esto muestra que, bajo los supuestos de ( M , g ) y ( N , h ) , cada mapa continuo es homotópico a un mapa armónico. La mera existencia de un mapa armónico en cada clase de homotopía, que se afirma implícitamente, es parte del resultado. En 1967, Philip Hartman extendió sus métodos para estudiar la unicidad de los mapas armónicos dentro de las clases de homotopía, mostrando además que la convergencia en el teorema de Eells-Sampson es fuerte, sin la necesidad de seleccionar una subsecuencia. [7] El resultado de Eells y Sampson fue adaptado a la configuración del problema del valor límite de Dirichlet , cuando M es en cambio compacto con límite no vacío, por Richard Hamilton en 1975. [8]
Durante muchos años después del trabajo de Eells y Sampson, no estaba claro hasta qué punto era necesaria la suposición de curvatura seccional en ( N , h ) . Siguiendo el trabajo de Kung-Ching Chang, Wei-Yue Ding y Rugang Ye en 1992, está ampliamente aceptado que el tiempo máximo de existencia de un flujo de calor de mapa armónico no puede "normalmente" esperarse que sea infinito. [9] Sus resultados sugieren fuertemente que hay flujos de calor de mapa armónico con "explosión de tiempo finito" incluso cuando tanto ( M , g ) como ( N , h ) se toman como la esfera bidimensional con su métrica estándar. Dado que las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas son particularmente suaves cuando el dominio es de dos dimensiones, el resultado de Chang-Ding-Ye se considera indicativo del carácter general del flujo.
La fórmula y la rigidez de Bochner
El principal punto de cálculo en la demostración del teorema de Eells y Sampson es una adaptación de la fórmula de Bochner a la configuración de un flujo de calor de mapa armónico { f t : 0 < t < T } . Esta fórmula dice
Esto también es de interés en el análisis de mapas armónicos en sí mismos; suponga que f : M → N es armónico. Cualquier mapa armónico puede ser vista como una constante-in- t solución del mapa de flujo de calor armónico, y así se obtiene de la fórmula anterior que
Si la curvatura de Ricci de g es positiva y la curvatura de sección de h no es positiva, esto implica que ∆ e ( f ) no es negativa. Si M es cerrado, entonces la multiplicación por e ( f ) y una sola integración por partes muestra que e ( f ) debe ser constante y, por tanto, cero; por tanto, f debe ser constante. Richard Schoen y Shing-Tung Yau (1976) señalan que esto puede extenderse a la M no compacta haciendo uso del teorema de Yau que afirma que las funciones subarmónicas no negativas que están limitadas a L 2 deben ser constantes. En resumen, según Eells & Sampson (1964) y Schoen & Yau (1976), se tiene:
Let ( M , g ) y ( N , h ) sean suaves y variedades de Riemann completos, y dejar que f sea un mapa armónico de M a N . Suponga que la curvatura de Ricci de g es positiva y la curvatura de sección de h no es positiva.
- Si M y N son ambos cerrados, entonces f debe ser constante.
- Si N es cerrado y f tiene energía de Dirichlet finita, entonces debe ser constante.
En combinación con el teorema de Eells-Sampson, esto muestra (por ejemplo) que si ( M , g ) es una variedad Riemanniana cerrada con curvatura Ricci positiva y ( N , h ) es una variedad Riemanniana cerrada con curvatura seccional no positiva, entonces cada El mapa de M a N es homotópico a una constante.
La idea general de deformar un mapa general en un mapa armónico, y luego mostrar que tal mapa armónico debe ser automáticamente de una clase muy restringida, ha encontrado muchas aplicaciones. Por ejemplo, Yum-Tong Siu (1980) encontró una importante versión analítica compleja de la fórmula de Bochner, afirmando que un mapa armónico entre variedades de Kähler debe ser holomórfico, siempre que la variedad objetivo tenga una curvatura negativa apropiada. [10] Como aplicación, al hacer uso del teorema de existencia de Eells-Sampson para mapas armónicos, pudo demostrar que si ( M , g ) y ( N , h ) son variedades de Kähler suaves y cerradas, y si la curvatura de ( N , h ) es apropiadamente negativo, entonces M y N deben ser biholomorfos o anti-biholomorfos si son homotópicos entre sí; el biholomorfismo (o anti-biholomorfismo) es precisamente el mapa armónico producido como límite del flujo de calor del mapa armónico con los datos iniciales dados por la homotopía. Mediante una formulación alternativa del mismo enfoque, Siu pudo probar una variante de la conjetura de Hodge aún sin resolver , aunque en el contexto restringido de la curvatura negativa.
Kevin Corlette (1992) dio una extensión significativa de la fórmula de Bochner de Siu y la usó para probar nuevos teoremas de rigidez para celosías en ciertos grupos de Lie . [11] Después de esto, Mikhael Gromov y Richard Schoen ampliaron gran parte de la teoría de mapas armónicos para permitir que ( N , h ) sea reemplazado por un espacio métrico . [12] Mediante una extensión del teorema de Eells-Sampson junto con una extensión de la fórmula de Siu-Corlette Bochner, fueron capaces de demostrar nuevos teoremas de rigidez para celosías.
Problemas y aplicaciones
- Los resultados de existencia en mapas armónicos entre variedades tienen consecuencias para su curvatura .
- Una vez que se conoce la existencia, ¿cómo se puede construir explícitamente un mapa armónico? (Un método fructífero utiliza la teoría de twistor ).
- En física teórica , una teoría cuántica de campos cuya acción está dada por la energía de Dirichlet se conoce como modelo sigma . En tal teoría, los mapas armónicos corresponden a instantones .
- Una de las ideas originales en los métodos de generación de cuadrículas para la dinámica de fluidos computacional y la física computacional fue utilizar mapeo conformal o armónico para generar cuadrículas regulares.
Mapas de armónicos entre espacios métricos
La integral de energía se puede formular en un entorno más débil para las funciones u : M → N entre dos espacios métricos ( Jost 1995 ) . El integrando de energía es en cambio una función de la forma
en el cual με
xes una familia de medidas unidos a cada punto de M .
Referencias
- ^ Eells, James, Jr .; Sampson, JH Mapeos armónicos de variedades de Riemann. Amer. J. Math. 86 (1964), 109-160. doi: 10.2307 / 2373037 , JSTOR 2373037
- ^ Sacos, J .; Uhlenbeck, K. La existencia de inmersiones mínimas de 2 esferas. Ana. de Matemáticas. (2) 113 (1981), núm. 1, 1–24.
- ^ Uhlenbeck, Karen. Mapas armónicos en grupos de Lie: soluciones clásicas del modelo quiral. J. Geom diferencial. 30 (1989), núm. 1, 1–50.
- ^ Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen. Una teoría de regularidad para mapas armónicos. J. Geom diferencial. 17 (1982), núm. 2, 307–335.
- ^ Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen. Regularidad de límites y el problema de Dirichlet para mapas armónicos. J. Geom diferencial. 18 (1983), núm. 2, 253–268.
- ^ Esto significa que, en relación con cualquier gráfico de coordenadas locales, se tiene una convergencia uniforme en conjuntos compactos de funciones y sus primeras derivadas parciales.
- ^ Hartman, Philip. En mapas armónicos homotópicos. Canadian J. Math. 19 (1967), 673–687.
- ^ Hamilton, Richard S. Mapas armónicos de variedades con límite. Lecture Notes in Mathematics, vol. 471. Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1975. i + 168 págs.
- ^ Chang, Kung-Ching; Ding, Wei Yue; Sí, Rugang. Ampliación en tiempo finito del flujo de calor de mapas armónicos de superficies. J. Geom diferencial. 36 (1992), núm. 2, 507–515.
- ^ Siu, Yum Tong. La analiticidad compleja de los mapas armónicos y la fuerte rigidez de los colectores compactos de Kähler. Ana. de Matemáticas. (2) 112 (1980), núm. 1, 73-111.
- ^ Corlette, Kevin. Superrigidez de Arquímedes y geometría hiperbólica. Ana. de Matemáticas. (2) 135 (1992), núm. 1, 165-182.
- ^ Gromov, Mikhail; Schoen, Richard. Mapas de armónicos en espacios singulares y superrigidez p-ádica para celosías en grupos de rango uno. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas. No. 76 (1992), 165–246.
- Schoen, Richard; Yau, Shing Tung. Mapas de armónicos y topología de hipersuperficies estables y variedades con curvatura de Ricci no negativa. Comentario. Matemáticas. Helv. 51 (1976), núm. 3, 333–341.
- Hildebrandt, Stéfan; Kaul, Helmut; Widman, Kjell-Ove. Un teorema de existencia para mapeos armónicos de variedades de Riemann. Acta Math. 138 (1977), núm. 1-2, 1-16.
- Schoen, R .; Yau, Shing Tung. Existencia de superficies mínimas incompresibles y topología de variedades tridimensionales con curvatura escalar no negativa. Ana. de Matemáticas. (2) 110 (1979), núm. 1, 127-142.
- Baird, P .; Eells, J. Una ley de conservación para mapas armónicos. Simposio de geometría, Utrecht 1980 (Utrecht, 1980), págs. 1-25, Lecture Notes in Math., 894, Springer, Berlín-Nueva York, 1981.
- Giaquinta, Mariano; Giusti, Enrico. Sobre la regularidad de los mínimos de integrales variacionales. Acta Math. 148 (1982), 31–46.
- Simón, León. Asintótica para una clase de ecuaciones de evolución no lineal, con aplicaciones a problemas geométricos. Ana. de Matemáticas. (2) 118 (1983), núm. 3, 525–571.
- Schoen, Richard M. Aspectos analíticos del problema del mapa armónico. Seminario sobre ecuaciones diferenciales parciales no lineales (Berkeley, Calif., 1983), 321–358, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 2, Springer, Nueva York, 1984.
- Struwe, Michael. Sobre la evolución de los mapeos armónicos de superficies riemannianas. Comentario. Matemáticas. Helv. 60 (1985), núm. 4, 558–581.
- Brezis, Haïm; Coron, Jean-Michel; Lieb, Elliott H. Mapas armónicos con defectos. Comm. Matemáticas. Phys. 107 (1986), núm. 4, 649–705.
- Struwe, Michael. Sobre la evolución de mapas armónicos en dimensiones superiores. J. Geom diferencial. 28 (1988), núm. 3, 485–502.
- Chen, Yun Mei; Struwe, Michael. Resultados de existencia y regularidad parcial del flujo de calor para mapas armónicos. Matemáticas. 201 (1989), núm. 1, 83-103.
- Evans, Lawrence C. Regularidad parcial para mapas armónicos estacionarios en esferas. Arco. Mech racional. Anal. 116 (1991), núm. 2, 101-113.
- Hélein, Frédéric. Régularité des applications faiblement harmoniques entre une surface et une variété riemannienne. CR Acad. Sci. Paris Sér. Yo matemáticas. 312 (1991), núm. 8, 591–596.
- Bethuel, Fabrice. En el conjunto singular de mapas armónicos estacionarios. Manuscripta Math. 78 (1993), núm. 4, 417–443.
- Korevaar, Nicholas J .; Schoen, Richard M. Sobolev espacios y mapas armónicos para objetivos espaciales métricos. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), núm. 3-4, 561–659.
- Jost, Jürgen (1994), "Mapas de equilibrio entre espacios métricos", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 2 (2): 173-204, doi : 10.1007 / BF01191341 , ISSN 0944-2669 , MR 1385525.
- Ding, Weiyue; Tian, Gang. Identidad energética para una clase de mapas armónicos aproximados de superficies. Comm. Anal. Geom. 3 (1995), núm. 3-4, 543–554.
- Dorfmeister, J .; Pedit, F .; Wu, H. Weierstrass tipo de representación de mapas armónicos en espacios simétricos. Comm. Anal. Geom. 6 (1998), núm. 4, 633–668.
Libros y encuestas
- Aubin, Thierry. Algunos problemas no lineales en geometría riemanniana. Springer Monografías en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 1998. xviii + 395 págs. ISBN 3-540-60752-8
- Eells, J .; Lemaire, L. Un informe sobre mapas armónicos. Toro. London Math. Soc. 10 (1978), núm. 1, 1-68.
- Eells, James; Lemaire, Luc. Temas seleccionados en mapas armónicos. Serie de Conferencias Regionales de CBMS en Matemáticas, 50. Publicado para la Junta de Conferencias de Ciencias Matemáticas, Washington, DC; por la American Mathematical Society, Providence, RI, 1983. v + 85 pp. ISBN 0-8218-0700-5
- Eells, J .; Lemaire, L. Otro informe sobre mapas armónicos. Toro. London Math. Soc. 20 (1988), núm. 5, 385–524. doi: 10.1112 / blms / 20.5.385
- Eells, James; Lemaire, Luc. Dos informes sobre mapas de armónicos. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, 1995. xii + 216 págs. ISBN 981-02-1466-9 [ Publicación de Eells & Lemaire (1978, 1988) en forma de libro]
- Giaquinta, Mariano; Martinazzi, Luca. Una introducción a la teoría de la regularidad para sistemas elípticos, mapas armónicos y gráficos mínimos. Segunda edicion. Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Serie Nuova), 11. Edizioni della Normale, Pisa, 2012. xiv + 366 págs. ISBN 978-88-7642-442-7 , 978-88-7642-443-4
- Hélein, Frédéric. Mapas armónicos, leyes de conservación y marcos móviles. Traducido del original francés de 1996. Con un prólogo de James Eells. Segunda edicion. Cambridge Tracts in Mathematics, 150. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xxvi + 264 pp. ISBN 0-521-81160-0
- Jost, Jürgen. Curvatura no positiva: aspectos geométricos y analíticos. Conferencias de Matemáticas ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1997. viii + 108 págs. ISBN 3-7643-5736-3
- Jost, Jürgen. Geometría riemanniana y análisis geométrico. Séptima edición. Universitext. Springer, Cham, 2017. xiv + 697 págs. ISBN 978-3-319-61859-3 , 978-3-319-61860-9
- Schoen, R .; Yau, ST Conferencias sobre mapas armónicos. Actas de conferencias y notas de conferencias en geometría y topología, II. International Press, Cambridge, MA, 1997. vi + 394 págs. ISBN 1-57146-002-0
- Simón, León. Teoremas sobre regularidad y singularidad de mapas de minimización de energía. Basado en notas de conferencia de Norbert Hungerbühler. Conferencias de Matemáticas ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1996. viii + 152 págs. ISBN 3-7643-5397-X
- Yau, Shing Tung. Encuesta sobre ecuaciones diferenciales parciales en geometría diferencial. Seminario sobre geometría diferencial, págs. 3-71, Ann. de Matemáticas. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Princeton, Nueva Jersey, 1982.
enlaces externos
- MathWorld: mapa armónico
- Bibliografía de mapas armónicos
- La bibliografía de morfismos armónicos