Progresión armónica (matemáticas)

Los primeros diez miembros de la secuencia armónica .

{\ Displaystyle a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}}}

En matemáticas , una progresión armónica (o secuencia armónica ) es una progresión formada tomando los recíprocos de una progresión aritmética .

De manera equivalente, una secuencia es una progresión armónica cuando cada término es la media armónica de los términos vecinos.

Como tercera caracterización equivalente, es una secuencia infinita de la forma

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,

donde a no es cero y - a / d no es un número natural , o una secuencia finita de la forma

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,\ {\frac {1}{a+kd}},

donde a no es cero, k es un número natural y - a / d no es un número natural o es mayor que k .

Ejemplos [ editar ]

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, a veces denominado secuencia armónica
12, 6, 4, 3 , 2,… ,,… ${\tfrac {12}{5}}$ ${\tfrac {12}{n}}$
30, −30, −10, −6, - ,…, ${\tfrac {30}{7}}$ ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2n}{3}}}}$
10, 30, −30, −10, −6, -,…, ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2(n-1)}{3}}}}$

Sumas de progresiones armónicas [ editar ]

Las progresiones armónicas infinitas no son sumables (suma hasta el infinito).

No es posible que una progresión armónica de distintas fracciones unitarias (que no sea el caso trivial donde a = 1 y k = 0) sume a un número entero . La razón es que, necesariamente, al menos un denominador de la progresión será divisible por un número primo que no divide a ningún otro denominador. ^[1]

Usar en geometría [ editar ]

Si los puntos colineales A, B, C y D son tales que D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B, entonces las distancias desde cualquiera de estos puntos a los tres puntos restantes forman una progresión armónica. ^[2]^[3] Específicamente, cada una de las secuencias AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; y DA, DC, DB son progresiones armónicas, donde cada una de las distancias se firma según una orientación fija de la línea.

En un triángulo, si las altitudes están en progresión aritmética , entonces los lados están en progresión armónica.

Torre inclinada de Lire [ editar ]

Un excelente ejemplo de progresión armónica es la torre inclinada de liras . En él, los bloques uniformes se apilan unos encima de otros para lograr la máxima distancia recorrida lateral o lateralmente. Los bloques se apilan 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, ... distancia lateralmente debajo del bloque original. Esto asegura que el centro de gravedad esté justo en el centro de la estructura para que no colapse. Un ligero aumento de peso sobre la estructura hace que se vuelva inestable y se caiga.

Ver también [ editar ]

Referencias [ editar ]

^ Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása" [Generalización de un teorema elemental de teoría de números de Kürschák] (PDF) , Mat. Fiz. Lapok (en húngaro), 39 : 17-24 CS1 maint: discouraged parameter (link). Según lo citado por Graham, Ronald L. (2013), "Paul Erdős y las fracciones egipcias", Erds centennial , Bolyai Soc. Matemáticas. Stud., 25 , János Bolyai Math. Soc., Budapest, págs. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , doi : 10.1007 / 978-3-642-39286-3_9 , ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600 CS1 maint: discouraged parameter (link).
^ Capítulos sobre la geometría moderna del punto, la línea y el círculo, Vol. II de Richard Townsend (1865) p. 24
^ Geometría moderna del punto, la línea recta y el círculo: un tratado elemental de John Alexander Third (1898) p. 44

Dominio de las matemáticas técnicas por Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221
Tablas matemáticas estándar de Chemical Rubber Company (1974) p. 102
Fundamentos de álgebra para escuelas secundarias por Webster Wells (1897) p. 307

[1] Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása" [Generalización de un teorema elemental de teoría de números de Kürschák] (PDF) , Mat. Fiz. Lapok (en húngaro), 39 : 17-24 CS1 maint: discouraged parameter (link). Según lo citado por Graham, Ronald L. (2013), "Paul Erdős y las fracciones egipcias", Erds centennial , Bolyai Soc. Matemáticas. Stud., 25 , János Bolyai Math. Soc., Budapest, págs. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , doi : 10.1007 / 978-3-642-39286-3_9 , ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600 CS1 maint: discouraged parameter (link).

[2] Capítulos sobre la geometría moderna del punto, la línea y el círculo, Vol. II de Richard Townsend (1865) p. 24

[3] Geometría moderna del punto, la línea recta y el círculo: un tratado elemental de John Alexander Third (1898) p. 44

[1]