Discriminante de un campo numérico algebraico
En matemáticas , el discriminante de un campo numérico algebraico es un invariante numérico que, en términos generales, mide el tamaño del ( anillo de números enteros del) campo numérico algebraico. Más concretamente, es proporcional al volumen al cuadrado del dominio fundamental del anillo de los números enteros y regula qué números primos se ramifican .
El discriminante es uno de los invariantes más básicos de un campo numérico y aparece en varias fórmulas analíticas importantes , como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y la fórmula numérica de clase analítica para K . Un teorema de Hermite establece que solo hay un número finito de campos numéricos de discriminante acotado, sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y el tema de la investigación actual. [1]
El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo de una extensión K / L de campos numéricos. Este último es un ideal en el anillo de los enteros de L , y como el discriminante absoluto indica qué primos están ramificados en K / L . Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L = Q , el discriminante relativo de K /Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K .
Sea K un campo numérico algebraico y sea O K su anillo de enteros . Sea b 1 , ..., b n una base integral de O K (es decir, una base como módulo Z ), y sea {σ 1 , ..., σ n } el conjunto de incrustaciones de K en el números complejos (es decir , homomorfismos de anillos inyectivos K → C ). El discriminante de K es el cuadrado de la determinante de la matriz B n por n cuya entrada ( i , j ) es σ i ( b j ). Simbólicamente,
De manera equivalente, se puede usar la traza de K a Q. Específicamente, defina la forma de seguimiento como la matriz cuya entrada ( i , j ) es Tr K / Q ( b i b j ). Esta matriz es igual a B T B , por lo que el discriminante de K es el determinante de esta matriz.
La definición del discriminante de un cuerpo numérico algebraico general, K , fue dada por Dedekind en 1871. [15] En este punto, ya conocía la relación entre el discriminante y la ramificación. [dieciséis]
