Sistema de Lorenz

El sistema de Lorenz es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias estudiado por primera vez por Edward Lorenz . Destaca por tener soluciones caóticas para determinados valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz es un conjunto de soluciones caóticas del sistema de Lorenz. En los medios populares, el ' efecto mariposa'surge de las implicaciones del atractor de Lorenz en el mundo real, es decir, que en cualquier sistema físico, en ausencia de un conocimiento perfecto de las condiciones iniciales (incluso la minúscula perturbación del aire debido a una mariposa batiendo sus alas), nuestra capacidad para predice que su curso futuro siempre fallará. Esto subraya que los sistemas físicos pueden ser completamente deterministas y, sin embargo, ser intrínsecamente impredecibles incluso en ausencia de efectos cuánticos. La forma del propio atractor de Lorenz, cuando se traza gráficamente, también se puede ver como una mariposa.

Una solución de muestra en el atractor de Lorenz cuando ρ = 28, σ = 10 y β = 8/3

Descripción general

En 1963, Edward Lorenz , con la ayuda de Ellen Fetter , desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica . ^[1] El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocidas como ecuaciones de Lorenz:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

Las ecuaciones relacionan las propiedades de una capa de fluido bidimensional que se calienta uniformemente desde abajo y se enfría desde arriba. En particular, las ecuaciones describen la tasa de cambio de tres cantidades con respecto al tiempo:${\displaystyle x}$ es proporcional a la tasa de convección, ${\displaystyle y}$ a la variación de temperatura horizontal, y ${\displaystyle z}$a la variación de temperatura vertical. ^[2] Las constantes${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$, y ${\displaystyle \beta }$son parámetros del sistema proporcionales al número de Prandtl , al número de Rayleigh y a determinadas dimensiones físicas de la propia capa. ^[2]

Las ecuaciones de Lorenz también surgen en modelos simplificados para láseres , ^[3] dínamos , ^[4] termosifones , ^[5] motores de CC sin escobillas , ^[6] circuitos eléctricos , ^[7] reacciones químicas ^[8] y ósmosis directa . ^[9] Las ecuaciones de Lorenz son también las ecuaciones que gobiernan en el espacio de Fourier para la rueda hidráulica Malkus . ^{[10] [11]} La rueda hidráulica Malkus exhibe un movimiento caótico donde, en lugar de girar en una dirección a una velocidad constante, su rotación aumentará, disminuirá la velocidad, se detendrá, cambiará de dirección y oscilará hacia adelante y hacia atrás entre combinaciones de tales comportamientos en una manera impredecible.

Desde un punto de vista técnico, el sistema de Lorenz es no lineal , no periódico, tridimensional y determinista . Las ecuaciones de Lorenz han sido objeto de cientos de artículos de investigación y de al menos un estudio de la extensión de un libro. ^[2]

Análisis

Normalmente se asume que los parámetros ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$, y ${\displaystyle \beta }$son positivas. Lorenz usó los valores${\displaystyle \sigma =10}$, ${\displaystyle \beta =8/3}$ y ${\displaystyle \rho =28}$. El sistema exhibe un comportamiento caótico para estos valores (y los cercanos). ^[12]

Si ${\displaystyle \rho <1}$entonces solo hay un punto de equilibrio, que está en el origen. Este punto no corresponde a ninguna convección. Todas las órbitas convergen al origen, que es un atractor global , cuando${\displaystyle \rho <1}$. ^[13]

Se produce una bifurcación en horquilla en${\displaystyle \rho =1}$, y para ${\displaystyle \rho >1}$ aparecen dos puntos críticos adicionales en: ${\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)}$ y ${\displaystyle \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}$Estos corresponden a la convección constante. Este par de puntos de equilibrio es estable solo si

${\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}$

que puede sostenerse solo para positivo ${\displaystyle \rho }$ Si ${\displaystyle \sigma >\beta +1}$. En el valor crítico, ambos puntos de equilibrio pierden estabilidad a través de una bifurcación de Hopf subcrítica . ^[14]

Cuándo ${\displaystyle \rho =28}$, ${\displaystyle \sigma =10}$, y ${\displaystyle \beta =8/3}$, el sistema de Lorenz tiene soluciones caóticas (pero no todas las soluciones son caóticas). Casi todos los puntos iniciales tenderán a un conjunto invariante - el atractor de Lorenz - un atractor extraño , un fractal y un atractor autoexcitado con respecto a los tres equilibrios. Su dimensión de Hausdorff se estima desde arriba por la dimensión de Lyapunov (dimensión de Kaplan-Yorke) como 2.06 ± 0.01, ^[15] y la dimensión de correlación se estima en 2.05 ± 0.01. ^[16] La fórmula exacta de la dimensión de Lyapunov del atractor global se puede encontrar analíticamente bajo restricciones clásicas sobre los parámetros: ^{[17] [15] [18]}${\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {(\sigma -1)^{2}+4\sigma \rho }}}}.}$

El atractor de Lorenz es difícil de analizar, pero la acción de la ecuación diferencial sobre el atractor se describe mediante un modelo geométrico bastante simple. ^[19] Demostrar que este es realmente el caso es el decimocuarto problema en la lista de problemas de Smale . Este problema fue el primero en ser resuelto por Warwick Tucker en 2002. ^[20]

Para otros valores de ${\displaystyle \rho }$, el sistema muestra órbitas periódicas anudadas. Por ejemplo, con${\displaystyle \rho =99.96}$se convierte en un nudo toroidal T (3,2) .

Soluciones de ejemplo del sistema de Lorenz para diferentes valores de ρ
ρ = 14, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)	ρ = 13, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)
ρ = 15, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)	ρ = 28, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)
Para valores pequeños de ρ , el sistema es estable y evoluciona a uno de dos atractores de punto fijo. Cuando ρ es mayor que 24,74, los puntos fijos se convierten en repulsores y la trayectoria es repelida por ellos de una forma muy compleja.

Dependencia sensible de la condición inicial.
Tiempo t = 1 (agrandar)	Tiempo t = 2 (agrandar)	Tiempo t = 3 (agrandar)
Estas cifras, hechas usando ρ = 28, σ = 10 y β = 8/3, muestran tres segmentos de tiempo de la evolución 3-D de dos trayectorias (una en azul, la otra en amarillo) en el atractor de Lorenz comenzando en dos puntos que difieren solo en 10 −5 en la coordenada x . Inicialmente, las dos trayectorias parecen coincidentes (solo se puede ver la amarilla, ya que está dibujada sobre la azul) pero, después de un tiempo, la divergencia es obvia.

Conexión al mapa de la tienda

Una recreación de los resultados de Lorenz creados en Mathematica . Los puntos por encima de la línea roja corresponden a los lóbulos de conmutación del sistema.

En la Figura 4 de su artículo, ^[1] Lorenz trazó el valor máximo relativo en la dirección z alcanzado por el sistema contra el máximo relativo anterior en la dirección z. Este procedimiento más tarde se conoció como un mapa de Lorenz (que no debe confundirse con un diagrama de Poincaré , que traza las intersecciones de una trayectoria con una superficie prescrita). La parcela resultante tiene una forma muy similar al mapa de la tienda . Lorenz también descubrió que cuando el valor z máximo está por encima de cierto límite, el sistema cambiará al siguiente lóbulo. Combinando esto con el caos que se sabe exhibe en el mapa de la tienda, mostró que el sistema cambia caóticamente entre los dos lóbulos.

Simulaciones

Simulación MATLAB

% Resolver en el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1]% '' f '' es un conjunto de ecuaciones diferenciales% '' a '' es una matriz que contiene variables x, y y z% '' t '' es variable de tiemposigma = 10 ;  beta = 8 / 3 ;  rho = 28 ;  f = @ ( t , a ) [ - sigma * a ( 1 ) + sigma * a ( 2 ); rho * a ( 1 ) - a ( 2 ) - a ( 1 ) * a ( 3 ); - beta * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )];             [ t , a ] = ode45 ( f , [ 0 100 ], [ 1 1 1 ]); % Runge-Kutta solucionador de ODE de cuarto / quinto orden      plot3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 ))

Simulación de Mathematica

Forma estándar:

tender = 50 ;  eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [ t ]};                        init = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 };          pars = { σ -> 10 , ρ -> 28 , β -> 8 / 3 };    { xs , ys , zs } = NDSolveValue [{ eq /. pars , init }, { x , y , z }, { t , 0 , tend }];              ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , tend }]     

Menos detallado:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }];                       soln [ t_ ] = estado-respuesta [{ Lorenz , { 10 , 10 , 10 }}, { 10 , 28 , 8 / 3 }, { t , 0 , 50 }];           ParametricPlot3D [ soln [ t ], { t , 0 , 50 }]   

Simulación de Python

importar  numpy  como  np importar  matplotlib.pyplot  como  plt de  scipy.integrar  importar  odeint de  mpl_toolkits.mplot3d  importar  Axes3Drho  =  28,0 sigma  =  10,0 beta  =  8,0  /  3,0def  f ( estado ,  t ):  x ,  y ,  z  =  estado  # Desempaquetar el vector de estado  return  sigma  *  ( y  -  x ),  x  *  ( rho  -  z )  -  y ,  x  *  y  -  beta  *  z  # Derivadasestado0  =  [ 1.0 ,  1.0 ,  1.0 ] t  =  np . arango ( 0.0 ,  40.0 ,  0.01 )estados  =  odeint ( f ,  state0 ,  t )fig  =  plt . figura () ax  =  fig . gca ( proyección = "3d" ) ax . plot ( indica [:,  0 ],  indica [:,  1 ],  indica [:,  2 ]) plt . dibujar () plt . mostrar ()

Derivación de las ecuaciones de Lorenz como modelo de convección atmosférica

Las ecuaciones de Lorenz se derivan de la aproximación de Oberbeck-Boussinesq a las ecuaciones que describen la circulación de fluido en una capa poco profunda de fluido, calentado uniformemente desde abajo y enfriado uniformemente desde arriba. ^[1] Esta circulación de fluido se conoce como convección de Rayleigh-Bénard . Se supone que el fluido circula en dos dimensiones (vertical y horizontal) con condiciones de contorno rectangulares periódicas.

Las ecuaciones diferenciales parciales que modelan la función de la corriente y la temperatura del sistema se someten a una aproximación espectral de Galerkin : los campos hidrodinámicos se expanden en series de Fourier, que luego se truncan severamente a un solo término para la función de la corriente y dos términos para la temperatura. Esto reduce las ecuaciones del modelo a un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales acopladas. Se puede encontrar una derivación detallada, por ejemplo, en textos de dinámica no lineal. ^[21] El sistema de Lorenz es una versión reducida de un sistema más grande estudiado anteriormente por Barry Saltzman. ^[22]

Resolución del problema número 14 de Smale

El decimocuarto problema de Smale dice "¿Las propiedades del atractor de Lorenz exhiben las de un atractor extraño ?", Fue respondido afirmativamente por Warwick Tucker en 2002. ^[20] Para probar este resultado, Tucker usó métodos numéricos rigurosos como aritmética de intervalos y formas normales. . Primero, Tucker definió una sección transversal${\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}$que se corta transversalmente por las trayectorias de flujo. A partir de esto, se puede definir el mapa de primer retorno.${\displaystyle P}$, que asigna a cada ${\displaystyle x\in \Sigma }$ el punto ${\displaystyle P(x)}$ donde la trayectoria de ${\displaystyle x}$ primero se cruza ${\displaystyle \Sigma }$.

Luego, la prueba se divide en tres puntos principales que se prueban e implican la existencia de un atractor extraño. ^[23] Los tres puntos son:

• Existe una región ${\displaystyle N\subset \Sigma }$ invariante bajo el mapa de primer retorno, lo que significa ${\displaystyle P(N)\subset N}$
• El mapa de retorno admite un campo de cono invariante hacia adelante
• Los vectores dentro de este campo de cono invariante se expanden uniformemente por la derivada ${\displaystyle DP}$ del mapa de regreso.

Para probar el primer punto, notamos que la sección transversal ${\displaystyle \Sigma }$ está cortado por dos arcos formados por ${\displaystyle P(\Sigma )}$(ver ^[23] ). Tucker cubre la ubicación de estos dos arcos mediante pequeños rectángulos${\displaystyle R_{i}}$, la unión de estos rectángulos da ${\displaystyle N}$. Ahora, el objetivo es demostrar que para todos los puntos en${\displaystyle N}$, el flujo traerá de vuelta los puntos en ${\displaystyle \Sigma }$, en ${\displaystyle N}$. Para hacer eso, tomamos un plan${\displaystyle \Sigma '}$ debajo ${\displaystyle \Sigma }$ A una distancia ${\displaystyle h}$ pequeño, luego tomando el centro ${\displaystyle c_{i}}$ de ${\displaystyle R_{i}}$ y utilizando el método de integración de Euler, se puede estimar dónde traerá el flujo ${\displaystyle c_{i}}$ en ${\displaystyle \Sigma '}$ que nos da un nuevo punto ${\displaystyle c_{i}'}$. Entonces, uno puede estimar donde los puntos en${\displaystyle \Sigma }$ será mapeado en ${\displaystyle \Sigma '}$ usando la expansión de Taylor, esto nos da un nuevo rectángulo ${\displaystyle R_{i}'}$ centrado en ${\displaystyle c_{i}}$. Por lo tanto, sabemos que todos los puntos en${\displaystyle R_{i}}$ será mapeado en ${\displaystyle R_{i}'}$. El objetivo es hacer este método de forma recursiva hasta que el flujo vuelva a${\displaystyle \Sigma }$ y obtenemos un rectángulo ${\displaystyle Rf_{i}}$ en ${\displaystyle \Sigma }$ tal que sepamos que ${\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}$. El problema es que nuestra estimación puede volverse imprecisa después de varias iteraciones, así que lo que hace Tucker es dividir${\displaystyle R_{i}'}$ en rectángulos más pequeños ${\displaystyle R_{i,j}}$y luego aplicar el proceso de forma recursiva. Otro problema es que a medida que aplicamos este algoritmo, el flujo se vuelve más 'horizontal' (ver ^[23] ), lo que lleva a un aumento dramático en la imprecisión. Para evitar esto, el algoritmo cambia la orientación de las secciones transversales, convirtiéndose en horizontales o verticales.

Contribuciones

Lorenz agradece las contribuciones de Ellen Fetter en su artículo, quien es responsable de las simulaciones numéricas y las cifras. ^[1] Además, Margaret Hamilton ayudó en los cálculos numéricos iniciales que llevaron a los hallazgos del modelo de Lorenz. ^[24]

Galería

• 

  Una solución en el atractor de Lorenz trazada a alta resolución en el plano xz.

• 

  Una solución en el atractor de Lorenz representada como SVG.

• "> Reproducir medios

  Una animación que muestra trayectorias de múltiples soluciones en un sistema de Lorenz.