En teoría de números , el teorema de irreductibilidad de Hilbert , concebido por David Hilbert en 1892, establece que todo conjunto finito de polinomios irreducibles en un número finito de variables y que tiene coeficientes de números racionales admite una especialización común de un subconjunto propio de las variables a números racionales de manera que todos los polinomios permanecen irreductibles. Este teorema es un teorema destacado en la teoría de números.
Formulación del teorema
Teorema de irreductibilidad de Hilbert. Dejar
ser polinomios irreducibles en el anillo
Entonces existe una r -tupla de números racionales ( a 1 , ..., a r ) tal que
son irreductibles en el ring
Observaciones.
- Se deduce del teorema que hay infinitas tuplas r . De hecho, el conjunto de todas las especializaciones irreductibles, llamado conjunto de Hilbert, es grande en muchos sentidos. Por ejemplo, este conjunto es Zariski denso en
- Siempre hay (infinitas) especializaciones de enteros, es decir, la afirmación del teorema es válida incluso si exigimos que ( a 1 , ..., a r ) sean números enteros.
- Hay muchos campos de Hilbert , es decir, campos que satisfacen el teorema de irreductibilidad de Hilbert. Por ejemplo, los campos numéricos son hilbertianos. [1]
- La propiedad de especialización irreducible establecida en el teorema es la más general. Hay muchas reducciones, por ejemplo, basta con tomaren la definición. Un resultado de Bary-Soroker muestra que para que un campo K sea Hilbertiano es suficiente considerar el caso de y absolutamente irreducible , es decir, irreducible en el anillo K alg [ X , Y ], donde K alg es el cierre algebraica de K .
Aplicaciones
El teorema de irreductibilidad de Hilbert tiene numerosas aplicaciones en teoría de números y álgebra . Por ejemplo:
- El problema de Galois inverso , la motivación original de Hilbert. El teorema implica casi de inmediato que si un grupo finito G puede realizarse como el grupo de Galois de una extensión de Galois N de
- entonces puede especializarse en una extensión de Galois N 0 de los números racionales con G como su grupo de Galois. [2] (Para ver esto, elija un polinomio mónico irreducible f ( X 1 , ..., X n , Y ) cuya raíz genera N sobre E. Si f ( a 1 , ..., a n , Y ) es irreductible para algún a i , entonces una raíz generará el N 0 afirmado ).
- Construcción de curvas elípticas de gran rango. [2]
- El teorema de irreductibilidad de Hilbert se usa como un paso en la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat .
- Si un polinomio es un cuadrado perfecto para todos los valores enteros grandes de x , entonces g (x) es el cuadrado de un polinomio en Esto se sigue del teorema de irreductibilidad de Hilbert con y
- (Existen pruebas más elementales). El mismo resultado es cierto cuando "cuadrado" se reemplaza por "cubo", "cuarta potencia", etc.
Generalizaciones
Ha sido reformulado y generalizado extensamente, utilizando el lenguaje de la geometría algebraica . Ver capa delgada (Serre) .
Referencias
- D. Hilbert, "Uber die Irreducibilitat ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten", J. reine angew. Matemáticas. 110 (1892) 104–129.
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
- JP Serre, Conferencias sobre el teorema de Mordell-Weil , Vieweg, 1989.
- MD Fried y M. Jarden, Aritmética de campo , Springer-Verlag, Berlín, 2005.
- H. Völklein, Grupos como grupos de Galois , Cambridge University Press, 1996.
- G. Malle y BH Matzat, Teoría de Galois inversa , Springer, 1999.