En matemáticas , el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , llamado así por Friedrich Hirzebruch , Bernhard Riemann y Gustav Roch , es el resultado de 1954 de Hirzebruch que generaliza el teorema clásico de Riemann-Roch en superficies de Riemann a todas las variedades algebraicas complejas de dimensiones superiores. El resultado allanó el camino para el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch probado unos tres años después.
Campo | Geometría algebraica |
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Primera prueba por | Friedrich Hirzebruch |
Primera prueba en | 1954 |
Generalizaciones | Teorema del índice de Atiyah-Singer Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch |
Consecuencias | Teorema de Riemann-Roch Teorema de Riemann-Roch para superficies |
Declaración del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch se aplica a cualquier conjunto de vectores holomórficos E en una variedad compleja compacta X , para calcular la característica de Euler holomórfica de E en cohomología de gavilla , es decir, la suma alterna
de las dimensiones como espacios complejo vector, donde n es la dimensión compleja de X .
El teorema de Hirzebruch establece que χ ( X , E ) es calculable en términos de las clases de Chern c k ( E ) de E , y las clases de Todd de la holomorphic paquete de la tangente de X . Todos estos se encuentran en el anillo de cohomología de X ; mediante el uso de la clase fundamental (o, en otras palabras, la integración sobre X ) podemos obtener números de clases en La fórmula de Hirzebruch afirma que
donde la suma se toma sobre todos los j relevantes (entonces 0 ≤ j ≤ n ), usando el carácter de Chern ch ( E ) en cohomología. En otras palabras, los productos se forman en el anillo de cohomología de todos los grados de 'coincidencia' que suman 2 n . Formulado de manera diferente, da la igualdad
dónde es la clase de Todd del paquete de la tangente de X .
Los casos especiales importantes son cuando E es un conjunto de líneas complejas y cuando X es una superficie algebraica ( fórmula de Noether ). El teorema de Riemann-Roch de Weil para haces de vectores en curvas y el teorema de Riemann-Roch para superficies algebraicas (ver más abajo) están incluidos en su alcance. La fórmula también expresa de manera precisa la vaga noción de que las clases de Todd son en cierto sentido recíprocas de clases características .
Teorema de Riemann Roch para curvas
Para las curvas, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema clásico de Riemann-Roch . Para ver esto, recuerde que para cada divisor D en una curva hay un haz invertible O ( D ) (que corresponde a un haz de líneas) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de O ( D ) . Para curvas, la clase de Todd esy el carácter de Chern de un haz O ( D ) es solo 1+ c 1 (O ( D )), por lo que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch establece que
- (integrado sobre X ).
Pero h 0 (O ( D )) es solo l ( D ), la dimensión del sistema lineal de D , y por la dualidad de Serre h 1 (O ( D )) = h 0 (O ( K - D )) = l ( K - D ) donde K es el divisor canónico . Además, c 1 (O ( D )) integrado sobre X es el grado de D , y c 1 ( T ( X )) integrado sobre X es la clase de Euler 2 - 2 g de la curva X , donde g es el género. Entonces obtenemos el teorema clásico de Riemann Roch
Para los paquetes vectoriales V , el carácter de Chern es rango ( V ) + c 1 ( V ), por lo que obtenemos el teorema de Riemann Roch de Weil para paquetes vectoriales sobre curvas:
Teorema de Riemann Roch para superficies
Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies
combinado con la fórmula de Noether.
Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h 2 (O ( D )) como h 0 (O ( K - D )), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no hay una manera fácil de escribir h 1 ( O ( D )) término en una forma que no involucra la cohomología de la gavilla (aunque en la práctica a menudo desaparece).
Asintótico Riemann-Roch
Sea D un divisor de Cartier amplio en una variedad proyectiva irreducible X de dimensión n . Luego
De manera más general, si es cualquier gavilla coherente en X entonces
Ver también
- Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch : contiene muchos cálculos y ejemplos
- Polinomio de Hilbert - HRR se puede utilizar para calcular polinomios de Hilbert
Referencias
- Friedrich Hirzebruch , Métodos topológicos en geometría algebraica ISBN 3-540-58663-6