Esencialmente, se puede considerar que el álgebra realiza cálculos similares a los de la aritmética pero con objetos matemáticos no numéricos. Sin embargo, hasta el siglo XIX, el álgebra consistió esencialmente en la teoría de ecuaciones . Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra pertenece a la teoría de las ecuaciones y no se considera hoy en día como perteneciente al álgebra (de hecho, toda demostración debe usar la completitud de los números reales , que no es una propiedad algebraica).
Este artículo describe la historia de la teoría de ecuaciones, llamada aquí "álgebra", desde los orígenes hasta el surgimiento del álgebra como un área separada de las matemáticas .
Etimología
La palabra "álgebra" se deriva de la palabra árabe الجبر al-jabr , y esto proviene del tratado escrito en el año 830 por el matemático persa medieval, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī , cuyo título árabe, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala , se puede traducir como El libro compendioso sobre el cálculo por finalización y equilibrio . El tratado preveía la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas . Según una historia, "[i] t no es seguro qué significan los términos al-jabr y muqabalah , pero la interpretación habitual es similar a la implícita en la traducción anterior. La palabra 'al-jabr' supuestamente significaba algo como ' restauración 'o' finalización 'y parece referirse a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación; se dice que la palabra' muqabalah 'se refiere a' reducción 'o' equilibrio ', es decir, la cancelación de términos similares En lados opuestos de la ecuación. La influencia árabe en España mucho después de la época de al-Khwarizmi se encuentra en Don Quijote , donde la palabra 'algebrista' se usa para un fijador de huesos, es decir, un 'restaurador' ". [1] El término es utilizado por al-Khwarizmi para describir las operaciones que introdujo, " reducción " y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares. en lados opuestos de la ecuación. [2]
Etapas del álgebra
Expresión algebraica
El álgebra no siempre hizo uso del simbolismo que ahora es omnipresente en las matemáticas; en cambio, pasó por tres etapas distintas. Las etapas en el desarrollo del álgebra simbólica son aproximadamente las siguientes: [3]
- Álgebra retórica , en la que las ecuaciones se escriben en oraciones completas. Por ejemplo, la forma retórica de x + 1 = 2 es "La cosa más uno es igual a dos" o posiblemente "La cosa más 1 es igual a 2". El álgebra retórica fue desarrollada por primera vez por los antiguos babilonios y siguió siendo dominante hasta el siglo XVI.
- Álgebra sincopada , en la que se utiliza algún simbolismo, pero que no contiene todas las características del álgebra simbólica. Por ejemplo, puede haber una restricción de que la resta puede usarse solo una vez dentro de un lado de una ecuación, lo que no es el caso del álgebra simbólica. Sincopado expresión algebraica apareció por primera vez en Diofanto ' Aritmética (siglo 3 dC), seguido de Brahmagupta ' s Brahma Sphuta Siddhanta (siglo 7).
- Álgebra simbólica , en la que se utiliza el simbolismo completo. Los primeros pasos hacia esto se pueden ver en el trabajo de varios matemáticos islámicos como Ibn al-Banna (siglos XIII-XIV) y al-Qalasadi (siglo XV), aunque el álgebra completamente simbólica fue desarrollado por François Viète (siglo XVI). Más tarde, René Descartes (siglo XVII) introdujo la notación moderna (por ejemplo, el uso de x - ver más abajo ) y demostró que los problemas que ocurren en geometría se pueden expresar y resolver en términos de álgebra ( geometría cartesiana ).
Tan importante como el uso o la falta de simbolismo en álgebra fue el grado de las ecuaciones que se abordaron. Las ecuaciones cuadráticas jugaron un papel importante en el álgebra temprana; ya lo largo de la mayor parte de la historia, hasta el período moderno temprano, todas las ecuaciones cuadráticas se clasificaron como pertenecientes a una de tres categorías.
donde p y q son positivos. Esta tricotomía se produce porque las ecuaciones cuadráticas de la forma, Con p y q positiva, no tienen positivos raíces . [4]
Entre las etapas retórica y sincopada del álgebra simbólica, los matemáticos griegos clásicos e indios védicos desarrollaron un álgebra constructiva geométrica en la que las ecuaciones algebraicas se resolvían a través de la geometría. Por ejemplo, una ecuación de la formafue resuelto mediante la búsqueda del lado de un cuadrado de área A .
Etapas conceptuales
Además de las tres etapas de expresión de ideas algebraicas, algunos autores reconocieron cuatro etapas conceptuales en el desarrollo del álgebra que ocurrieron junto con los cambios en la expresión. Estas cuatro etapas fueron las siguientes: [5] [se necesita fuente no primaria ]
- Etapa geométrica , donde los conceptos de álgebra son en gran parte geométricos. Esto se remonta a los babilonios y continuó con los griegos , y luego fue revivido por Omar Khayyám .
- Etapa de resolución de ecuaciones estáticas , donde el objetivo es encontrar números que satisfagan determinadas relaciones. El alejamiento del álgebra geométrica se remonta a Diofanto y Brahmagupta , pero el álgebra no pasó de manera decisiva a la etapa de resolución de ecuaciones estáticas hasta que Al-Khwarizmi introdujo procesos algorítmicos generalizados para resolver problemas algebraicos.
- Etapa de función dinámica , donde el movimiento es una idea subyacente. La idea de una función comenzó a surgir con Sharaf al-Dīn al-Tūsī , pero el álgebra no pasó de manera decisiva a la etapa de función dinámica hasta Gottfried Leibniz .
- Etapa abstracta , donde la estructura matemática juega un papel central. El álgebra abstracta es en gran parte un producto de los siglos XIX y XX.
Babilonia
Los orígenes del álgebra se remontan a los antiguos babilonios , [ cita requerida ] que desarrollaron un sistema numérico posicional que les ayudó enormemente a resolver sus ecuaciones algebraicas retóricas. Los babilonios no estaban interesados en soluciones exactas, sino más bien en aproximaciones, por lo que comúnmente usaban la interpolación lineal para aproximar valores intermedios. [6] Una de las tablillas más famosas es la tablilla Plimpton 322 , creada alrededor de 1900-1600 a. C., que ofrece una tabla de triples pitagóricas y representa algunas de las matemáticas más avanzadas antes de las matemáticas griegas. [7]
El álgebra babilónica estaba mucho más avanzada que el álgebra egipcia de la época; mientras que a los egipcios les preocupaban principalmente las ecuaciones lineales, los babilonios estaban más preocupados por las ecuaciones cuadráticas y cúbicas . [6] Los babilonios habían desarrollado operaciones algebraicas flexibles con las que podían sumar iguales a iguales y multiplicar ambos lados de una ecuación por cantidades iguales para eliminar fracciones y factores. [6] Estaban familiarizados con muchas formas simples de factorización , [6] ecuaciones cuadráticas de tres términos con raíces positivas, [8] y muchas ecuaciones cúbicas, [9] aunque no se sabe si fueron capaces de reducir el valor cúbico general. ecuación. [9]
Antiguo Egipto
El álgebra egipcia antigua se ocupaba principalmente de ecuaciones lineales, mientras que los babilonios consideraban que estas ecuaciones eran demasiado elementales y desarrollaron las matemáticas a un nivel más alto que los egipcios. [6]
El papiro de Rhind, también conocido como el papiro de Ahmes, es un antiguo papiro egipcio escrito c. 1650 a. C. por Ahmes, quien lo transcribió de una obra anterior que databa entre 2000 y 1800 a. C. [10] Es el documento matemático egipcio antiguo más extenso conocido por los historiadores. [11] El papiro de Rhind contiene problemas donde ecuaciones lineales de la forma y se resuelven, donde un , b , y c son conocidos y x , que se conoce como "AHA" o montón, es el desconocido. [12] Posiblemente, pero no es probable, se llegó a las soluciones utilizando el "método de posición falsa", o regula falsi , donde primero se sustituye un valor específico en el lado izquierdo de la ecuación, luego se realizan los cálculos aritméticos requeridos. hecho, en tercer lugar, el resultado se compara con el lado derecho de la ecuación y, finalmente, se encuentra la respuesta correcta mediante el uso de proporciones. En algunos de los problemas, el autor "comprueba" su solución, escribiendo así una de las primeras pruebas sencillas conocidas. [12]
Matemáticas griegas
A veces se alega que los griegos no tenían álgebra, pero esto es inexacto. [14] En la época de Platón , las matemáticas griegas habían experimentado un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica donde los términos estaban representados por lados de objetos geométricos, [15] generalmente líneas, que tenían letras asociadas con ellos, [16] y con esta nueva forma de álgebra pudieron encontrar soluciones a ecuaciones usando un proceso que ellos inventaron, conocido como "la aplicación de áreas". [15] "La aplicación de áreas" es sólo una parte del álgebra geométrica y se trata a fondo en los Elementos de Euclides .
Un ejemplo de álgebra geométrica sería resolver la ecuación lineal ax = bc . Los antiguos griegos serían resolver esta ecuación con mirarlo como una igualdad de las áreas en lugar de como una igualdad entre las proporciones de un : b y c : x . Los griegos construir un rectángulo con lados de longitud b y c , a continuación, extender un lado del rectángulo a la longitud de un , y, finalmente, que completarían el rectángulo extendido a fin de encontrar el lado del rectángulo que es la solución. [15]
Floración de Thymaridas
Iamblichus en Introductio arithmatica dice que Thymaridas (c. 400 a. C. - c. 350 a. C.) trabajaba con ecuaciones lineales simultáneas. [17] En particular, creó la entonces famosa regla que se conocía como la "flor de Thymaridas" o como la "flor de Thymaridas", que establece que:
Si se da la suma de n cantidades, y también la suma de cada par que contiene una cantidad particular, entonces esta cantidad particular es igual a 1 / ( n - 2) de la diferencia entre las sumas de estos pares y la primera suma dada. [18]
o usando la notación moderna, la solución del siguiente sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas, [17]
x + x 1 + x 2 + ... + x n −1 = s
x + x 1 = metro 1
x + x 2 = metro 2
.
.
.
x + x n −1 = m n −1
es,
Iamblichus continúa describiendo cómo algunos sistemas de ecuaciones lineales que no están en esta forma pueden colocarse en esta forma. [17]
Euclides de Alejandría
Euclides ( griego : Εὐκλείδης ) fue un matemático griego que floreció en Alejandría , Egipto , casi con certeza durante el reinado de Ptolomeo I (323-283 a. C.). [19] [20] No se han establecido ni el año ni el lugar de su nacimiento [19] , ni las circunstancias de su muerte.
Euclides es considerado el "padre de la geometría ". His Elements es el libro de texto de mayor éxito en la historia de las matemáticas . [19] Aunque es uno de los matemáticos más famosos de la historia, no se le atribuyen nuevos descubrimientos; más bien se le recuerda por sus grandes habilidades explicativas. [21] Los Elementos no es, como a veces se piensa, una colección de todo el conocimiento matemático griego hasta su fecha; más bien, es una introducción elemental a él. [22]
Elementos
El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en los Elementos de Euclides , proporcionó el marco para generalizar fórmulas más allá de la solución de problemas particulares en sistemas más generales de enunciado y resolución de ecuaciones.
El Libro II de los Elementos contiene catorce proposiciones, que en la época de Euclides eran extremadamente importantes para hacer álgebra geométrica. Estas proposiciones y sus resultados son los equivalentes geométricos de nuestra moderna trigonometría y álgebra simbólica. [14] Hoy, usando el álgebra simbólica moderna, permitimos que los símbolos representen magnitudes conocidas y desconocidas (es decir, números) y luego aplicamos operaciones algebraicas en ellos, mientras que en el tiempo de Euclides las magnitudes se veían como segmentos de línea y luego los resultados se deducían usando axiomas o teoremas de geometría. [14]
Muchas leyes básicas de suma y multiplicación están incluidas o probadas geométricamente en los Elementos . Por ejemplo, la proposición 1 del Libro II establece:
- Si hay dos líneas rectas, y una de ellas se corta en cualquier número de segmentos, el rectángulo contenido por las dos líneas rectas es igual a los rectángulos contenidos por la línea recta sin cortar y cada uno de los segmentos.
Pero esto no es más que la versión geométrica de la ley distributiva (izquierda) ,; y en los libros V y VII de la Elementos las conmutativas y asociativas se demuestran las leyes para la multiplicación. [14]
Muchas ecuaciones básicas también se probaron geométricamente. Por ejemplo, la proposición 5 del Libro II prueba que, [23] y la proposición 4 del Libro II prueba que. [14]
Además, también se dan soluciones geométricas para muchas ecuaciones. Por ejemplo, la proposición 6 del Libro II da la solución a la ecuación cuadrática ax + x 2 = b 2 , y la proposición 11 del Libro II da una solución a ax + x 2 = a 2 . [24]
Datos
Data es un trabajo escrito por Euclides para su uso en las escuelas de Alejandría y estaba destinado a ser utilizado como volumen complementario de los primeros seis libros de los Elementos . El libro contiene unas quince definiciones y noventa y cinco afirmaciones, de las cuales hay unas dos docenas de afirmaciones que sirven como reglas o fórmulas algebraicas. [25] Algunas de estas afirmaciones son equivalentes geométricos de soluciones de ecuaciones cuadráticas. [25] Por ejemplo, Data contiene las soluciones de las ecuaciones dx 2 - adx + b 2 c = 0 y la conocida ecuación babilónica xy = a 2 , x ± y = b . [25]
Secciones cónicas
Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un cono con un plano . Hay tres tipos principales de secciones cónicas: elipses (incluidos los círculos ), parábolas e hipérbolas . Se dice que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menaecmo [26] (c. 380 a. C. - c. 320 a. C.) y dado que tratar con secciones cónicas es equivalente a tratar con sus respectivas ecuaciones, desempeñaron papeles geométricos equivalentes a ecuaciones cúbicas y otras ecuaciones de orden superior.
Menaechmus sabía que en una parábola, se cumple la ecuación y 2 = l x, donde l es una constante llamada latus recto , aunque no era consciente del hecho de que cualquier ecuación en dos incógnitas determina una curva. [27] Aparentemente, derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras también. Con esta información, ahora era posible encontrar una solución al problema de la duplicación del cubo resolviendo los puntos en los que se cruzan dos parábolas, una solución equivalente a resolver una ecuación cúbica. [27]
Eutocius nos informa que el método que utilizó para resolver la ecuación cúbica se debió a Dionysodorus (250 aC - 190 aC). Dionysodorus resolvió la cúbica mediante la intersección de una hipérbola rectangular y una parábola. Esto se relaciona con un problema de Arquímedes ' Sobre la esfera y el cilindro . Las secciones cónicas serían estudiadas y utilizadas durante miles de años por matemáticos griegos, y más tarde islámicos y europeos. En particular , las famosas cónicas de Apolonio de Perga tratan las secciones cónicas, entre otros temas.
porcelana
Las matemáticas chinas se remontan al menos al año 300 a. C. con el Zhoubi Suanjing , generalmente considerado como uno de los documentos matemáticos chinos más antiguos. [28]
Nueve capítulos sobre el arte matemático
Chiu-chang suan-shu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático , escrito alrededor del 250 a. C., es uno de los libros de matemáticas chinos más influyentes y se compone de unos 246 problemas. El capítulo ocho trata sobre la resolución de ecuaciones lineales simultáneas determinadas e indeterminadas usando números positivos y negativos, con un problema que trata de resolver cuatro ecuaciones en cinco incógnitas. [28]
Medidas del espejo de mar del círculo
Ts'e-yuan hai-ching , o Sea-Mirror of the Circle Measurements , es una colección de unos 170 problemas escritos por Li Zhi (o Li Ye) (1192-1279 EC). Usó fan fa , o el método de Horner , para resolver ecuaciones de grado tan alto como seis, aunque no describió su método para resolver ecuaciones. [29]
Tratado matemático en nueve secciones
Shu-shu chiu-chang , o Tratado matemático en nueve secciones , fue escrito por el rico gobernador y ministro Ch'in Chiu-shao (c. 1202 - c. 1261) y con la invención de un método para resolver congruencias simultáneas , ahora llamado teorema chino del resto , marca el punto más alto en el análisis chino indeterminado. [29]
Cuadrados magicos
Los primeros cuadrados mágicos conocidos aparecieron en China. [30] En Nueve Capítulos, el autor resuelve un sistema de ecuaciones lineales simultáneas colocando los coeficientes y términos constantes de las ecuaciones lineales en un cuadrado mágico (es decir, una matriz) y realizando operaciones de reducción de columnas en el cuadrado mágico. [30] Los primeros cuadrados mágicos conocidos de orden superior a tres se atribuyen a Yang Hui (fl. C. 1261 - 1275), quien trabajó con cuadrados mágicos de orden de hasta diez. [31]
Precioso Espejo de los Cuatro Elementos
Ssy-yüan yü-chien《四 元 玉 鑒》, o Espejo Precioso de los Cuatro Elementos , fue escrito por Chu Shih-chieh en 1303 y marca el pico en el desarrollo del álgebra china. Los cuatro elementos , llamados cielo, tierra, hombre y materia, representaban las cuatro cantidades desconocidas en sus ecuaciones algebraicas. El Ssy-yüan yü-chien trata con ecuaciones simultáneas y con ecuaciones de grados tan altos como catorce. El autor utiliza el método de fan fa , hoy llamado método de Horner , para resolver estas ecuaciones. [32]
El Espejo Precioso se abre con un diagrama del triángulo aritmético ( el triángulo de Pascal ) usando un símbolo de cero redondo, pero Chu Shih-chieh niega crédito por ello. Un triángulo similar aparece en la obra de Yang Hui, pero sin el símbolo cero. [33]
Hay muchas ecuaciones de suma que se dan sin prueba en el Espejo Precioso . Algunas de las sumas son: [33]
Diofanto
Diofanto fue un matemático helenístico que vivió c. 250 d.C., pero la incertidumbre de esta fecha es tan grande que puede estar desfasada en más de un siglo. Es conocido por haber escrito Arithmetica , un tratado que originalmente era de trece libros pero del cual solo han sobrevivido los primeros seis. [34] La aritmética tiene muy poco en común con la matemática griega tradicional ya que está divorciada de los métodos geométricos, y es diferente de la matemática babilónica en que Diofanto se ocupa principalmente de soluciones exactas, tanto determinadas como indeterminadas, en lugar de simples aproximaciones. [35]
Por lo general, es bastante difícil saber si una ecuación diofántica dada se puede resolver. No hay evidencia que sugiera que Diofanto se haya dado cuenta de que podría haber dos soluciones para una ecuación cuadrática. También consideró ecuaciones cuadráticas simultáneas. [36] Además, no se puede abstraer ningún método general de todas las soluciones de Diofanto. [37]
En Arithmetica , Diofanto es el primero en usar símbolos para números desconocidos, así como abreviaturas para potencias de números, relaciones y operaciones; [35] así usó lo que ahora se conoce como álgebra sincopada . La principal diferencia entre el álgebra sincopada diofántica y la notación algebraica moderna es que la primera carecía de símbolos especiales para operaciones, relaciones y exponenciales. [38] Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos como
Diofanto habría escrito como
- Κ Υ α̅ς ι̅ ⫛ Δ Υ β̅ Μ α̅ ἴσ Μ ε̅
donde los símbolos representan lo siguiente: [39] [40]
Símbolo | Representación |
---|---|
α̅ | representa 1 |
β̅ | representa 2 |
ε̅ | representa 5 |
ι̅ | representa 10 |
ς | representa la cantidad desconocida (es decir, la variable) |
ἴσ | (abreviatura de ἴσος ) representa "igual" |
⫛ | representa la resta de todo lo que le sigue hasta ἴσ |
Μ | representa la potencia cero de la variable (es decir, un término constante) |
Δ Υ | representa el segundo poder de la variable, del griego δύναμις , que significa fuerza o poder |
Κ Υ | representa la tercera potencia de la variable, del griego κύβος , que significa un cubo |
Δ Υ Δ | representa la cuarta potencia de la variable |
ΔΚ Υ | representa la quinta potencia de la variable |
Κ Υ Κ | representa la sexta potencia de la variable |
Los coeficientes vienen después de las variables y la suma se representa mediante la yuxtaposición de términos. Una traducción literal símbolo por símbolo de la ecuación sincopada de Diofanto en una ecuación simbólica moderna sería la siguiente: [39]
y, para aclarar, si se utilizan los paréntesis modernos y el signo más, la ecuación anterior se puede reescribir como: [39]
Arithmetica es una colección de unos 150 problemas resueltos con números específicos y no hay desarrollo postulacional ni se explica explícitamente un método general, aunque puede que se haya pretendido generalizar el método y no se intenta encontrar todas las soluciones a las ecuaciones. [35] Arithmetica contiene problemas resueltos que involucran varias cantidades desconocidas, que se resuelven, si es posible, expresando las cantidades desconocidas en términos de solo una de ellas. [35] Arithmetica también hace uso de las identidades: [41]
India
Los matemáticos indios estaban activos en el estudio de los sistemas numéricos. Los primeros documentos matemáticos indios conocidos datan de alrededor de mediados del primer milenio antes de Cristo (alrededor del siglo VI a. C.). [42]
Los temas recurrentes en las matemáticas indias son, entre otros, ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas e indeterminadas, medición simple y triples pitagóricas. [43]
Aryabhata
Aryabhata (476-550) fue un matemático indio autor de Aryabhatiya . En él dio las reglas, [44]
y
Brahma Sphuta Siddhanta
Brahmagupta (fl. 628) fue un matemático indio que fue el autor de Brahma Sphuta Siddhanta . En su trabajo, Brahmagupta resuelve la ecuación cuadrática general para raíces tanto positivas como negativas. [45] En un análisis indeterminado, Brahmagupta da las tríadas pitagóricas, , , pero esta es una forma modificada de una antigua regla babilónica con la que Brahmagupta puede haber estado familiarizado. [46] Fue el primero para dar una solución general de la ecuación lineal Diophantine ax + por = c , donde a , b , y c son números enteros . A diferencia de Diofanto, que solo dio una solución a una ecuación indeterminada, Brahmagupta dio todas las soluciones enteras; pero que Brahmagupta usó algunos de los mismos ejemplos que Diofanto ha llevado a algunos historiadores a considerar la posibilidad de una influencia griega en la obra de Brahmagupta, o al menos una fuente babilónica común. [47]
Como el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta estaba sincopado. La suma se indicó colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación moderna pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaron mediante abreviaturas de términos apropiados. [47] Se desconoce el alcance de la influencia griega en esta síncopa, si la hay, y es posible que tanto la síncopa griega como la india se deriven de una fuente babilónica común. [47]
Bhāskara II
Bhāskara II (1114 - c. 1185) fue el principal matemático del siglo XII. En Álgebra, dio la solución general de la ecuación de Pell . [47] Es el autor de Lilavati y Vija-Ganita , que contienen problemas relacionados con ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas e indeterminadas, y triples pitagóricas [43] y no distingue entre enunciados exactos y aproximados. [48] Muchos de los problemas en Lilavati y Vija-Ganita se derivan de otras fuentes hindúes, por lo que Bhaskara está en su mejor momento al tratar con análisis indeterminados. [48]
Bhaskara usa los símbolos iniciales de los nombres de los colores como símbolos de variables desconocidas. Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos hoy como
Bhaskara habría escrito como
- . _ .
- ya 1 ru 1
- .
- ya 2 ru 8
- .
- Sum ya 1 ru 9
donde ya indica la primera sílaba de la palabra negra , y ru se toma de la palabra especie . Los puntos sobre los números indican resta.
Mundo islámico
El primer siglo del Imperio Árabe Islámico no vio casi ningún logro científico o matemático ya que los árabes, con su imperio recién conquistado, aún no habían ganado ningún impulso intelectual y la investigación en otras partes del mundo se había desvanecido. En la segunda mitad del siglo VIII, el Islam tuvo un despertar cultural y aumentó la investigación en matemáticas y ciencias. [49] Se dice que el califa musulmán abasí al-Mamun (809-833) tuvo un sueño en el que se le apareció Aristóteles y, como consecuencia, al-Mamun ordenó que se tradujera al árabe tantas obras griegas como fuera posible, entre ellas El Almagesto de Ptolomeo y los Elementos de Euclides . Las obras griegas serían entregadas a los musulmanes por el Imperio bizantino a cambio de tratados, ya que los dos imperios mantenían una paz incómoda. [49] Muchas de estas obras griegas fueron traducidas por Thabit ibn Qurra (826–901), quien tradujo libros escritos por Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio. [50]
Los matemáticos árabes establecieron el álgebra como una disciplina independiente y le dieron el nombre de "álgebra" ( al-jabr ). Fueron los primeros en enseñar álgebra en una forma elemental y por sí misma. [51] Hay tres teorías sobre los orígenes del álgebra árabe. El primero enfatiza la influencia hindú, el segundo enfatiza la influencia mesopotámica o persa-siríaca y el tercero enfatiza la influencia griega. Muchos estudiosos creen que es el resultado de una combinación de las tres fuentes. [52]
A lo largo de su tiempo en el poder, los árabes utilizaron un álgebra completamente retórica, donde a menudo incluso los números se deletreaban con palabras. Los árabes eventualmente reemplazarían los números escritos (por ejemplo, veintidós) con números arábigos (por ejemplo, 22), pero los árabes no adoptaron ni desarrollaron un álgebra sincopada o simbólica [50] hasta el trabajo de Ibn al-Banna , quien desarrolló un álgebra simbólica en el siglo XIII, seguida por Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī en el siglo XV.
Al-jabr wa'l muqabalah
El matemático persa musulmán [53] Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī era un miembro de la facultad de la " Casa de la Sabiduría " ( Bait al-Hikma ) en Bagdad, que fue establecida por Al-Mamun. Al-Khwarizmi, quien murió alrededor del 850 EC, escribió más de media docena de trabajos matemáticos y astronómicos , algunos de los cuales se basaron en el indio Sindhind . [49] Uno de los libros más famosos de al-Khwarizmi se titula Al-jabr wa'l muqabalah o The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , y ofrece una descripción exhaustiva de la resolución de polinomios hasta el segundo grado . [54] El libro también introdujo el concepto fundamental de " reducción " y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que Al-Khwarizmi describió originalmente como al-jabr . [55] El nombre "álgebra" proviene del " al-jabr " en el título de su libro.
R. Rashed y Angela Armstrong escriben:
"El texto de Al-Khwarizmi puede verse como distinto no sólo de las tablillas babilónicas , sino también de la Arithmetica de Diofanto . Ya no se refiere a una serie de problemas por resolver, sino a una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otra parte, la idea de una ecuación por sí misma aparece desde el principio y, se podría decir, de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que se le pide específicamente que defina una clase infinita de problemas ". [56]
Al-Jabr está dividido en seis capítulos, cada uno de los cuales trata de un tipo diferente de fórmula. El primer capítulo de Al-Jabr trata de ecuaciones cuyos cuadrados son iguales a sus raíces ( ax 2 = bx ), el segundo capítulo trata de cuadrados iguales a un número ( ax 2 = c ), el tercer capítulo trata de raíces iguales a un número ( bx = c ), el cuarto capítulo trata sobre cuadrados y raíces iguales a un número ( ax 2 + bx = c ), el quinto capítulo trata sobre cuadrados y raíces iguales numéricas ( ax 2 + c = bx ), y el sexto y último capítulo trata con raíces y número igual a cuadrados ( bx + c = ax 2 ). [57]
En Al-Jabr , al-Khwarizmi usa demostraciones geométricas, [16] no reconoce la raíz x = 0, [57] y solo trata con raíces positivas. [58] También reconoce que el discriminante debe ser positivo y describió el método para completar el cuadrado , aunque no justifica el procedimiento. [59] La influencia griega se muestra en los cimientos geométricos de Al-Jabr [52] [60] y en un problema tomado de Heron. [61] Hace uso de diagramas con letras, pero todos los coeficientes en todas sus ecuaciones son números específicos ya que no tenía forma de expresar con parámetros lo que podía expresar geométricamente; aunque se pretende la generalidad del método. [dieciséis]
Es muy probable que Al-Khwarizmi no conociera la Arithmetica de Diofanto , [62] que los árabes conocieron en algún momento antes del siglo X. [63] Y aunque es muy probable que al-Khwarizmi supiera del trabajo de Brahmagupta, Al-Jabr es completamente retórico y los números incluso están escritos con palabras. [62] Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos como
Diofanto habría escrito como [64]
- Δ Υ α̅ ςι̅ 'ίσ Μ λ̅θ̅
Y al-Khwarizmi habría escrito como [64]
- Un cuadrado y diez raíces de la misma cantidad equivalen a treinta y nueve dirhems ; es decir, ¿cuál debe ser el cuadrado que, aumentado por diez de sus propias raíces, asciende a treinta y nueve?
Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas
'Abd al-Hamīd ibn Turk es el autor de un manuscrito titulado Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas , que es muy similar al Al-Jabr de al-Khwarzimi y se publicó aproximadamente al mismo tiempo, o incluso posiblemente antes, que Al-Jabr . [63] El manuscrito da exactamente la misma demostración geométrica que se encuentra en Al-Jabr , y en un caso el mismo ejemplo que se encuentra en Al-Jabr , e incluso va más allá de Al-Jabr al dar una prueba geométrica de que si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática no tiene solución. [63] La similitud entre estas dos obras ha llevado a algunos historiadores a concluir que el álgebra árabe puede haber sido bien desarrollada en la época de al-Khwarizmi y 'Abd al-Hamid. [63]
Abu Kamil y al-Karkhi
Los matemáticos árabes trataron los números irracionales como objetos algebraicos. [65] El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850-930) fue el primero en aceptar números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada , raíz cúbica o cuarta raíz ) como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. [66] También fue el primero en resolver tres ecuaciones simultáneas no lineales con tres variables desconocidas . [67]
Al-Karkhi (953-1029), también conocido como Al-Karaji, fue el sucesor de Abū al-Wafā 'al-Būzjānī (940-998) y descubrió la primera solución numérica para ecuaciones de la forma ax 2 n + bx n = c . [68] Al-Karkhi solo consideró raíces positivas. [68] Al-Karkhi también es considerado como la primera persona en liberar el álgebra de las operaciones geométricas y reemplazarlas con el tipo de operaciones aritméticas que son el núcleo del álgebra actual. Su trabajo sobre álgebra y polinomios dio las reglas para las operaciones aritméticas para manipular polinomios. El historiador de las matemáticas F. Woepcke, en Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi ( París , 1853), elogió a Al-Karaji por ser "el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico". A partir de esto, Al-Karaji investigó los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal . [69]
Omar Khayyám, Sharaf al-Dīn y al-Kashi
Omar Khayyám (c. 1050-1123) escribió un libro sobre álgebra que fue más allá de Al-Jabr para incluir ecuaciones de tercer grado. [70] Omar Khayyám proporcionó soluciones aritméticas y geométricas para ecuaciones cuadráticas, pero solo dio soluciones geométricas para ecuaciones cúbicas generales , ya que creía erróneamente que las soluciones aritméticas eran imposibles. [70] Menaechmus , Arquímedes e Ibn al-Haytham (Alhazen) habían utilizado su método para resolver ecuaciones cúbicas utilizando cónicas intersecantes , pero Omar Khayyám generalizó el método para cubrir todas las ecuaciones cúbicas con raíces positivas. [70] Solo consideró las raíces positivas y no pasó del tercer grado. [70] También vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra. [70]
En el siglo XII, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213) escribió el Al-Mu'adalat ( Tratado de ecuaciones ), que trataba de ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que no pueden tener soluciones positivas. Usó lo que más tarde se conocería como el " método Ruffini - Horner " para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También desarrolló los conceptos de máximos y mínimos de curvas para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. [71] Entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica y usó una versión temprana de la fórmula de Cardano [72] para encontrar soluciones algebraicas para ciertos tipos de ecuaciones cúbicas. Algunos eruditos, como Roshdi Rashed, argumentan que Sharaf al-Din descubrió la derivada de polinomios cúbicos y se dio cuenta de su significado, mientras que otros eruditos conectan su solución con las ideas de Euclides y Arquímedes. [73]
Sharaf al-Din también desarrolló el concepto de función . [ cita requerida ] En su análisis de la ecuación por ejemplo, comienza cambiando la forma de la ecuación a . Luego afirma que la cuestión de si la ecuación tiene una solución depende de si la "función" en el lado izquierdo alcanza o no el valor. Para determinar esto, encuentra un valor máximo para la función. Demuestra que el valor máximo se da cuando, que le da el valor funcional . Sharaf al-Din luego afirma que si este valor es menor que, no hay soluciones positivas; si es igual a, entonces hay una solución en ; y si es mayor que, entonces hay dos soluciones, una entre y y uno entre y . [74]
A principios del siglo XV, Jamshīd al-Kāshī desarrolló una forma temprana del método de Newton para resolver numéricamente la ecuación para encontrar raíces de . [75] Al-Kāshī también desarrolló fracciones decimales y afirmó haberlas descubierto él mismo. Sin embargo, J. Lennart Berggrenn señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes que él por el matemático de Bagdadi Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. [67]
Al-Hassār, Ibn al-Banna y al-Qalasadi
Al-Hassār , un matemático de Marruecos especializado en jurisprudencia de herencia islámica durante el siglo XII, desarrolló la notación matemática simbólica moderna para fracciones , donde el numerador y el denominador están separados por una barra horizontal. Esta misma notación fraccionaria apareció poco después en la obra de Fibonacci en el siglo XIII. [ cita requerida ]
Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1412-1486) fue el último gran algebrista árabe medieval , quien hizo el primer intento de crear una notación algebraica desde Ibn al-Banna dos siglos antes, quien fue él mismo el primero en hacer tal intento desde Diofanto y Brahmagupta en la antigüedad. [76] Las notaciones sincopadas de sus predecesores, sin embargo, carecían de símbolos para operaciones matemáticas . [38] Al-Qalasadi "dio los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico al usar letras en lugar de números" [76] y al "usar palabras árabes breves, o simplemente sus letras iniciales, como símbolos matemáticos". [76]
Europa y la región mediterránea
Así como la muerte de Hipatia señala el cierre de la Biblioteca de Alejandría como centro matemático, la muerte de Boecio señala el fin de las matemáticas en el Imperio Romano Occidental . Aunque se estaban realizando algunos trabajos en Atenas , este llegó a su fin cuando en 529 el emperador bizantino Justiniano cerró las escuelas filosóficas paganas . Ahora se considera que el año 529 es el comienzo del período medieval. Los eruditos huyeron de Occidente hacia el Oriente más hospitalario, particularmente hacia Persia , donde encontraron refugio bajo el rey Cosroes y establecieron lo que podría denominarse una "Academia ateniense en el exilio". [77] En virtud de un tratado con Justiniano, Cosroes finalmente devolvería a los eruditos al Imperio de Oriente . Durante la Edad Media, las matemáticas europeas estaban en su punto más bajo con la investigación matemática que consistía principalmente en comentarios sobre tratados antiguos; y la mayor parte de esta investigación se centró en el Imperio Bizantino . El final del período medieval se establece como la caída de Constantinopla ante los turcos en 1453.
Baja Edad Media
El siglo XII vio una avalancha de traducciones del árabe al latín y, para el siglo XIII, las matemáticas europeas comenzaban a rivalizar con las matemáticas de otras tierras. En el siglo XIII, la solución de una ecuación cúbica de Fibonacci es representativa del comienzo de un renacimiento del álgebra europea.
A medida que el mundo islámico declinaba después del siglo XV, el mundo europeo ascendía. Y es aquí donde se desarrolló aún más el álgebra.
Álgebra simbólica
La notación moderna para operaciones aritméticas fue introducida entre finales del siglo XV y principios del siglo XVI por Johannes Widmann y Michael Stifel . A finales del siglo XVI, François Viète introdujo símbolos, ahora llamados variables , para representar números indeterminados o desconocidos. Esto creó un nuevo álgebra que consiste en calcular con expresiones simbólicas como si fueran números.
Otro evento clave en el desarrollo posterior del álgebra fue la solución algebraica general de las ecuaciones cúbica y cuártica , desarrollada a mediados del siglo XVI. La idea de un determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años después, con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices . Gabriel Cramer también hizo algunos trabajos sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII.
El símbolo x
Por tradición, la primera variable desconocida en un problema algebraico está representada hoy en día por el símbolo ; si hay una segunda o una tercera incógnita, se etiquetan y respectivamente. La x algebraica se imprime convencionalmente en cursiva para distinguirla del signo de la multiplicación.
Los historiadores de las matemáticas [78] coinciden en general en que el uso de x en álgebra fue introducido por René Descartes y publicado por primera vez en su tratado La Géométrie (1637). [79] [80] En ese trabajo, utilizó cartas desde el principio del alfabeto ( a , b , c , ...) para cantidades conocidas, y cartas del final del alfabeto ( z , y , x ,. ..) por incógnitas. [81] Se ha sugerido que más tarde se decidió por x (en lugar de z ) para la primera incógnita debido a su abundancia relativamente mayor en las fuentes tipográficas francesas y latinas de la época. [82]
En el siglo XIX se sugirieron tres teorías alternativas sobre el origen de la x algebraica : (1) un símbolo utilizado por los algebristas alemanes y que se cree que se deriva de una letra cursiva r , confundida con x ; [83] (2) el número 1 con tachado oblicuo ; [84] y (3) una fuente árabe / española (ver más abajo). Pero el historiador suizo-estadounidense de las matemáticas Florian Cajori las examinó y encontró que las tres carecían de evidencia concreta; Cajori reconoció a Descartes como el creador, y describió su x , y , y z como "libres de tradición [,] y su elección es puramente arbitraria". [85]
Sin embargo, la hipótesis hispanoárabe sigue estando presente en la cultura popular en la actualidad. [86] Es la afirmación de que la x algebraica es la abreviatura de una supuesta palabra prestada del árabe en español antiguo. La teoría se originó en 1884 con el orientalista alemán Paul de Lagarde , poco después de que publicara su edición de un glosario bilingüe español / árabe de 1505 [87] en el que el español cosa ("cosa") se emparejaba con su equivalente árabe, شىء ( shay ʔ ), transcrito como xei . (El sonido "sh" en español antiguo se escribía habitualmente x .) Evidentemente, Lagarde sabía que los matemáticos árabes, en la etapa "retórica" del desarrollo del álgebra, a menudo usaban esa palabra para representar la cantidad desconocida. Conjeturó que "nada podría ser más natural" ("Nichts war also natürlicher ...") que la inicial de la palabra árabe, romanizada como la x del español antiguo, para ser adoptada para su uso en álgebra. [88] Un lector posterior reinterpretó la conjetura de Lagarde como si hubiera "probado" el punto. [89] Lagarde no sabía que los primeros matemáticos españoles usaban, no una transcripción de la palabra árabe, sino su traducción en su propio idioma, "cosa". [90] No hay ningún caso de xei o formas similares en varios vocabularios históricos compilados del español. [91] [92]
Gottfried Leibniz
Aunque la noción matemática de función estaba implícita en las tablas trigonométricas y logarítmicas , que existían en su época, Gottfried Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearla explícitamente, para denotar cualquiera de varios conceptos geométricos derivados de una curva, como abscisa , ordenada , tangente , acorde y la perpendicular . [93] En el siglo XVIII, la "función" perdió estas asociaciones geométricas.
Leibniz se dio cuenta de que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podrían organizarse en una matriz, ahora llamada matriz , que se puede manipular para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método se denominó posteriormente eliminación gaussiana . Leibniz también descubrió el álgebra booleana y la lógica simbólica , también relevantes para el álgebra.
Álgebra abstracta
La capacidad de hacer álgebra es una habilidad que se cultiva en la educación matemática . Como explica Andrew Warwick, los estudiantes de la Universidad de Cambridge a principios del siglo XIX practicaban "matemáticas mixtas", [94] haciendo ejercicios basados en variables físicas como el espacio, el tiempo y el peso. Con el tiempo, la asociación de variables con cantidades físicas se desvaneció a medida que crecía la técnica matemática. Finalmente, las matemáticas se interesaron completamente por polinomios abstractos , números complejos , números hipercomplejos y otros conceptos. La aplicación a situaciones físicas se denominó entonces matemáticas aplicadas o física matemática , y el campo de las matemáticas se expandió para incluir el álgebra abstracta . Por ejemplo, el tema de los números construibles mostró algunas limitaciones matemáticas y se desarrolló el campo de la teoría de Galois .
El padre del álgebra
El título de "el padre del álgebra" se atribuye con frecuencia al matemático persa Al-Khwarizmi , [95] [96] [97] apoyado por historiadores de las matemáticas , como Carl Benjamin Boyer , [95] Solomon Gandz y Bartel Leendert van der Waerden . [98] Sin embargo, el punto es discutible y el título a veces se atribuye al matemático helenístico Diofanto . [95] [99] Aquellos que apoyan a Diofanto señalan que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es más elemental que el álgebra que se encuentra en Arithmetica , y que Arithmetica está sincopado mientras que Al-Jabr es completamente retórico. [95] Sin embargo, el historiador de las matemáticas Kurt Vogel argumenta en contra de que Diofanto tuviera este título, [100] ya que sus matemáticas no eran mucho más algebraicas que las de los antiguos babilonios . [101]
Quienes apoyan a Al-Khwarizmi señalan el hecho de que dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, [102] y fue el primero en enseñar álgebra en una forma elemental y por sí misma, mientras que Diofanto fue se ocupa principalmente de la teoría de los números . [51] Al-Khwarizmi también introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio" (al que originalmente utilizó el término al-jabr para referirse), refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, que es decir, la cancelación de términos semejantes en lados opuestos de la ecuación. [55] Otros partidarios de Al-Khwarizmi señalan que su álgebra ya no se preocupa "por una serie de problemas por resolver, sino por una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que de ahora en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio ". También señalan su tratamiento de una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que se le pide específicamente que defina una clase infinita de problemas". [56] Victor J. Katz considera que Al-Jabr es el primer texto verdadero de álgebra que aún existe. [103]
Ver también
- Cronología del álgebra
Referencias
- ↑ Boyer (1991 : 229)
- ^ Jeffrey A. Oaks, Haitham M. Alkhateeb, Simplificación de ecuaciones en álgebra árabe , Historia Mathematica, 34 (2007), 45-61, ISSN 0315-0860 , [1]
- ^ ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p.180) "Se ha dicho que se pueden reconocer tres etapas en el desarrollo histórico del álgebra: (1) la etapa retórica o temprana, en la que todo está escrito completamente en palabras; (2) un estado sincopado o intermedio, en el que se adoptan algunas abreviaturas; y (3) una etapa simbólica o final. Una división tan arbitraria del desarrollo del álgebra en tres etapas es, por supuesto, una fácil simplificación excesiva; pero puede servir eficazmente como una primera aproximación a lo que ha sucedido ""
- ↑ ( Boyer 1991 , "Mesopotamia" p. 32) "Hasta los tiempos modernos no se pensaba en resolver una ecuación cuadrática de la forma, Donde p y q son positivos, para la ecuación no tiene raíz positiva. En consecuencia, las ecuaciones cuadráticas en la antigüedad y la Edad Media, e incluso en el período moderno temprano, se clasificaron en tres tipos: (1) (2) (3) "
- ^ Katz, Victor J .; Barton, Bill (octubre de 2007), "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching", Educational Studies in Mathematics , 66 (2): 185-201, doi : 10.1007 / s10649-006-9023-7 , S2CID 120363574
- ^ a b c d e ( Boyer 1991 , "Mesopotamia" p. 30) "Los matemáticos babilónicos no dudaron en interpolar por partes proporcionales para aproximar valores intermedios. La interpolación lineal parece haber sido un procedimiento común en la antigua Mesopotamia, y la notación posicional se prestó convenientemente al rilo de tres. [...] una tabla esencial en el álgebra babilónica; este tema alcanzó un nivel considerablemente más alto en Mesopotamia que en Egipto. Muchos textos de problemas del período babilónico antiguo muestran que la solución de los tres completos La ecuación cuadrática de término no ofreció a los babilonios ninguna dificultad seria, ya que se habían desarrollado operaciones algebraicas flexibles. Podían transponer términos en una ecuación sumando iguales a iguales, y podían multiplicar ambos lados por cantidades iguales para eliminar fracciones o factores. agregando 4 ab a ( a - b ) 2 , podían obtener ( a + b ) 2 porque estaban familiarizados con muchas formas simples de factorización. [...] El álgebra egipcia había sido mucho preocupado por las ecuaciones lineales, pero los babilonios evidentemente las encontraron demasiado elementales para mucha atención. [...] En otro problema en un texto babilónico antiguo encontramos dos ecuaciones lineales simultáneas en dos cantidades desconocidas, llamadas respectivamente "primer anillo de plata" y "segundo anillo de plata" ".
- ^ Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322" .
La tablilla de arcilla con el número de catálogo 322 de la Colección GA Plimpton de la Universidad de Columbia puede ser la tablilla matemática más conocida, sin duda la más fotografiada, pero merece un renombre aún mayor. Fue escrito en el período babilónico antiguo entre -1900 y -1600 y muestra las matemáticas más avanzadas antes del desarrollo de las matemáticas griegas.
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( ayuda ) - ↑ ( Boyer 1991 , "Mesopotamia" p. 31) "La solución de una ecuación cuadrática de tres términos parece haber excedido por mucho las capacidades algebraicas de los egipcios, pero Neugebauer en 1930 reveló que tales ecuaciones habían sido manejadas de manera efectiva por los babilonios. en algunos de los textos problemáticos más antiguos ".
- ↑ a b ( Boyer 1991 , "Mesopotamia" p. 33) "No hay registro en Egipto de la solución de ecuaciones cúbicas, pero entre los babilonios hay muchos casos de esto. [...] Ya sea que los babilonios o no fueron capaces de reducir el cúbico general de cuatro términos, ax 3 + bx 2 + cx = d , a su forma normal no se conoce ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "Egypt" p. 11) "Había sido comprado en 1959 en una ciudad turística del Nilo por un anticuario escocés, Henry Rhind; por lo tanto, a menudo se lo conoce como el Papiro Rhind o, con menos frecuencia, como el Ahmes Papiro en honor al escriba por cuya mano se había copiado alrededor de 1650 aC. El escriba nos dice que el material se deriva de un prototipo del Reino Medio de alrededor de 2000 a 1800 aC ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "Egypt" p. 19) "Gran parte de nuestra información sobre las matemáticas egipcias se ha derivado del Papiro de Rhind o Ahmes, el documento matemático más extenso del antiguo Egipto; pero también existen otras fuentes".
- ^ a b ( Boyer 1991 , "Egypt" págs. 15-16) "Los problemas egipcios descritos hasta ahora se clasifican mejor como aritméticos, pero hay otros que pertenecen a una clase a la que se aplica adecuadamente el término algebraico. se refieren a objetos concretos específicos como el pan y la cerveza, ni requieren operaciones con números conocidos. En su lugar, requieren el equivalente de soluciones de ecuaciones lineales de la forma o , donde se conocen ayb y c y se desconoce x. Lo desconocido se conoce como "ajá" o montón. [...] La solución dada por Ahmes no es la de los libros de texto modernos, sino una característica propuesta de un procedimiento ahora conocido como el "método de la posición falsa" o la "regla de lo falso". Los estudiosos de la década de 1920 propusieron un valor falso específico y las operaciones indicadas en el lado izquierdo del signo de igualdad se realizan en este número supuesto. Los estudios recientes muestran que los escribas no habían adivinado en estas situaciones. Las respuestas de números racionales exactos escritos en series de fracciones egipcias habían confundido a los estudiosos de la década de 1920. El resultado atestiguado muestra que Ahmes "comprobó" el resultado al mostrar que 16 + 1/2 + 1/8 sumado exactamente a un séptimo de esto (que es 2 + 1/4 + 1/8), obtiene 19. Aquí vemos otro paso significativo en el desarrollo de las matemáticas, ya que la verificación es un ejemplo simple de demostración ".
- ^ Bill Casselman . "Uno de los diagramas existentes más antiguos de Euclides" . Universidad de Columbia Británica . Consultado el 26 de septiembre de 2008 .
- ^ a b c d e ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p.109) "El Libro II de los Elementos es breve, contiene sólo catorce proposiciones, ninguna de las cuales juega ningún papel en los libros de texto modernos; sin embargo, en la época de Euclides Este libro fue de gran importancia. Esta marcada discrepancia entre los puntos de vista antiguo y moderno se explica fácilmente; hoy tenemos álgebra simbólica y trigonometría que han reemplazado a los equivalentes geométricos de Grecia. Por ejemplo, la Proposición 1 del Libro II establece que "Si hay dos líneas rectas, y uno de ellos se puede cortar en cualquier número de segmentos, el rectángulo contenido por las dos líneas rectas es igual a los rectángulos contenidos por la línea recta sin cortar y cada uno de los segmentos ". Este teorema, que afirma (Fig. 7.5) que AD (AP + PR + RB) = AD · AP + AD · PR + AD · RB, no es más que un enunciado geométrico de una de las leyes fundamentales de la aritmética conocida hoy como ley distributiva: a ( b + c + d ) = ab + ac + ad . En libros posteriores de los Elementos (V y VI I) encontramos demostraciones de las leyes conmutativas y asociativas para la multiplicación. Mientras que en nuestro tiempo las magnitudes están representadas por letras que se entienden como números (conocidos o desconocidos) sobre los que operamos con reglas algorítmicas del álgebra, en los días de Euclides las magnitudes se representaban como segmentos de línea que satisfacían los axiones y teoremas de la geometría. A veces se afirma que los griegos no tenían álgebra, pero esto es evidentemente falso. Tenían el Libro II de los Elementos , que es álgebra geométrica y tenía el mismo propósito que nuestro álgebra simbólica. No cabe duda de que el álgebra moderna facilita enormemente la manipulación de las relaciones entre magnitudes. Pero también es indudable que un geómetra griego versado en los catorce teoremas del "álgebra" de Euclides era mucho más hábil en aplicar estos teoremas a la medición práctica que un geómetra experimentado de hoy. El "álgebra" geométrica antigua no era una herramienta ideal, pero estaba lejos de ser ineficaz. La declaración de Euclides (Proposición 4), "Si una línea recta se corta al azar, el cuadrado en su conjunto es igual a los cuadrados de los segmentos y el doble del rectángulo contenido por los segmentos, es una forma detallada de decir que, "
- ^ a b c ( Boyer 1991 , "The Heroic Age" págs. 77-78) "Si la deducción entró en las matemáticas en el siglo VI a. C. o en el cuarto y si la inconmensurabilidad se descubrió antes o después del 400 a. C., no cabe duda de que Las matemáticas griegas habían sufrido cambios drásticos en la época de Platón. [...] Un "álgebra geométrica" tenía que tomar el lugar del "álgebra aritmética" más antigua, y en esta nueva álgebra no podía haber adición de líneas a áreas o de áreas a volúmenes. A partir de ahora tenía que haber una estricta homogeneidad de términos en las ecuaciones, y la forma normal mesopotámica, xy = A , x ± y = b, debía interpretarse geométricamente. Los griegos construyeron la solución de ecuaciones cuadráticas mediante su proceso conocido como "la aplicación de áreas", una porción del álgebra geométrica que está completamente cubierta por los elementos de Euclides . [...] La ecuación lineal ax = bc , por ejemplo, se miró sobre como una igualdad de las áreas ax y bc , en lugar de como una proporción, una igualdad entre los dos o relaciones de una : b y c : x . En consecuencia, al construir la cuarta proporción x en este caso, era habitual construir un rectángulo OCDB con los lados b = OB yc = OC (Fig. 5.9) y luego a lo largo de OC para descartar OA = a . Uno completa el rectángulo OCDB y dibuja el CD de corte diagonal OE en P. Ahora está claro que CP es la línea deseada x , para el rectángulo OARS es igual en área al rectángulo OCDB "
- ^ a b c ( Boyer 1991 , "Europe in the Middle Ages" p. 258) "En los teoremas aritméticos de los Elementos VII-IX de Euclides , los números se habían representado por segmentos de línea a los que se habían unido letras, y las demostraciones geométricas en El álgebra de al-Khwarizmi hizo uso de diagramas con letras; pero todos los coeficientes en las ecuaciones usadas en el álgebra son números específicos, ya sea representados por números o escritos en palabras. La idea de generalidad está implícita en la exposición de al-Khwarizmi, pero no tenía esquema para expresar algebraicamente las proposiciones generales que están tan fácilmente disponibles en geometría ".
- ^ a b c ( Heath 1981a , "The ('Bloom') of Thymaridas" pp. 94-96) Thymaridas of Paros, un antiguo pitagórico ya mencionado (p. 69), fue el autor de una regla para resolver un cierto conjunto de n ecuaciones simples simultáneas que conectan n cantidades desconocidas. Evidentemente, la regla era bien conocida, ya que se la llamaba con el nombre especial [...] de "flor" o "florecimiento" de Thymaridas. [...] La regla está redactada de manera muy oscura, pero establece en efecto que, si tenemos las siguientes n ecuaciones conectando n cantidades desconocidas x , x 1 , x 2 ... x n −1 , a saber [... ] Iamblichus, nuestro informante sobre este tema, continúa demostrando que otros tipos de ecuaciones pueden reducirse a esto, de modo que el que gobiernen tampoco 'nos deje en la estacada' en esos casos ”.
- ↑ ( Flegg 1983 , "Unknown Numbers" p. 205) "Se dice que Thymaridas (siglo IV) tenía esta regla para resolver un conjunto particular de n ecuaciones lineales en n incógnitas:
si se da la suma de n cantidades, y también la suma de cada par que contiene una cantidad particular, entonces esta cantidad particular es igual a 1 / ( n - 2) de la diferencia entre las sumas de estos pares y la primera suma dada ". - ↑ a b c ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 100) "pero en el 306 a. C. el control de la parte egipcia del imperio estaba firmemente en manos de Ptolomeo I, y este gobernante ilustrado pudo dirigir su atención a Uno de sus primeros actos fue el establecimiento en Alejandría de una escuela o instituto, conocido como el Museo, insuperable en su día. Como maestros de la escuela llamó a un grupo de destacados académicos, entre los que se encontraba el autor de la El libro de texto de matemáticas más fabulosamente exitoso jamás escrito: los Elementos ( Stoichia ) de Euclides. Teniendo en cuenta la fama del autor y de su best seller, se sabe muy poco de la vida de Euclides. Tan oscura era su vida que no se asocia ningún lugar de nacimiento con su nombre. "
- ↑ ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 101) "La historia relatada anteriormente en relación con una solicitud de Alejandro Magno de una fácil introducción a la geometría se repite en el caso de Ptolomeo, de quien se informa que Euclides aseguró que "no hay un camino real hacia la geometría" ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 104) "Algunos miembros de la facultad probablemente sobresalieron en investigación, otros estaban mejor capacitados para ser administradores y otros se destacaron por su capacidad docente. tienen, que Euclides encajaba definitivamente en la última categoría. No se le atribuye ningún descubrimiento nuevo, pero se destacó por sus habilidades expositivas ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 104) "Los Elementos no era, como a veces se piensa, un compendio de todo el conocimiento geométrico; en cambio, era un libro de texto introductorio que cubría todas las matemáticas elementales ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 110) "Lo mismo es válido para los Elementos II.5, que contiene lo que deberíamos considerar como un circunloquio impráctico para"
- ^ ( Boyer 1991 , "Euclides de Alejandría" p. 111) "De manera exactamente análoga, la ecuación cuadrática ax + x 2 = b 2 se resuelve mediante el uso de II.6: Si una línea recta se biseca y una línea recta agregarse a él en línea recta, el rectángulo contenido por el todo (con la línea recta agregada) y la línea recta agregada junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la línea recta formada por la mitad y la línea recta añadida. [...] siendo II.11 un caso especial importante de II.6. Aquí Euclides resuelve la ecuación ax + x 2 = a 2 "
- ^ a b c ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria" p. 103) "Euclid's Data , una obra que nos ha llegado a través del griego y el árabe. Parece haber sido compuesta para su uso en las escuelas de Alejandría, sirviendo como volumen complementario a los primeros seis libros de los Elementos, de la misma manera que un manual de tablas complementa un libro de texto. [...] Se abre con quince definiciones relativas a magnitudes y lugares. El cuerpo del texto comprende noventa y cinco cinco enunciados sobre las implicaciones de las condiciones y magnitudes que pueden darse en un problema. [...] Hay alrededor de dos docenas de enunciados similares que sirven como reglas o fórmulas algebraicas. [...] Algunos de los enunciados son equivalentes geométricos de la solución de ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, [...] Eliminando y tenemos ( a - x ) dx = b 2 c o dx 2 - adx + b 2 c = 0 , de donde x =a/2± √ ( a/2) 2 - b 2 ( C/D) . La solución geométrica dada por Euclides es equivalente a esto, excepto que se usa el signo negativo antes del radical. Los enunciados 84 y 85 de Data son reemplazos geométricos de las conocidas soluciones algebraicas babilónicas de los sistemas xy = a 2 , x ± y = b , que nuevamente son equivalentes de soluciones de ecuaciones simultáneas ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Euclidean Synthesis" p. 103) "Eutocius y Proclus atribuyen el descubrimiento de las secciones cónicas a Menaechmus, que vivió en Atenas a finales del siglo IV a. C. Proclo, citando a Eratóstenes, se refiere a" la cónica tríadas de sección de Menaechmus. "Dado que esta cita viene justo después de una discusión de" la sección de un cono en ángulo recto "y" la sección de un cono de ángulo agudo ", se infiere que las secciones cónicas se produjeron cortando un cono con un plano perpendicular a uno de sus elementos. Entonces, si el ángulo del vértice del cono es agudo, la sección resultante (llamada oxitoma ) es una elipse. Si el ángulo es recto, la sección ( ortotoma ) es una parábola, y si el el ángulo es obtuso, la sección ( amblytome ) es una hipérbola (véase la figura 5.7) ".
- ^ a b ( Boyer 1991 , "La edad de Platón y Aristóteles" p. 94-95) "Si OP = y y OD = x son coordenadas del punto P, tenemos y 2 = R) .OV, o, al sustituir iguales,
y 2 = R'D.OV = AR'.BC / AB.DO.BC / AB = AR'.BC 2 / AB 2 . x
la medida en que los segmentos de Ar', BC, y AB son los mismos para todos los puntos P en la curva EQDPG, podemos escribir la ecuación de la curva, una "sección de un cono en ángulo recto", como y 2 = lx , donde l es una constante, que luego se conocerá como el latus recto de la curva. [...] Menaechmus aparentemente derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras también. Dado que este material tiene una semejanza de cuerda con el uso de coordenadas, como se ilustra arriba, a veces se ha sostenido que Menaechmus tenía geometría analítica. está justificado sólo en parte, porque ciertamente Menaecmo no sabía que cualquier ecuación en dos cantidades desconocidas determina una curva. De hecho, el concepto general de una ecuación en cantidades desconocidas era ajeno al pensamiento griego. cónicas en una búsqueda exitosa de curvas con las propiedades apropiadas para la duplicación del cubo. En términos de notación moderna, la solución se logra fácilmente. Cambiando el plano curring (figura 6.2), podemos encontrar una parábola con cualquier latus recto. Por tanto, si deseamos duplicar un cubo de arista a , localizamos en un cono de ángulo recto dos parábolas, una con latus recto una y otra con latus recto 2 una . [...] Es probable que Menaecmo supiera que la duplicación se podría lograr también mediante el uso de una hipérbola rectangular y una parábola ". - ↑ a b ( Boyer 1991 , "China and India" pp. 195-197) "las estimaciones relativas al Chou Pei Suan Ching , generalmente considerado como el más antiguo de los clásicos matemáticos, difieren en casi mil años. [...] Una fecha de alrededor del 300 a. C. parecería razonable, lo que la coloca en estrecha competencia con otro tratado, el Chiu-chang suan-shu , compuesto alrededor del 250 a. C., es decir, poco antes de la dinastía Han (202 a. C.). [... ] Casi tan antiguo en el Chou Pei , y quizás el más influyente de todos los libros matemáticos chinos, fue el Chui-chang suan-shu , o Nueve capítulos sobre el arte matemático . Este libro incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, asociaciones, ingeniería , impuestos, cálculo, la solución de ecuaciones y las propiedades de los triángulos rectángulos. [...] El capítulo ocho de los nueve capítulos es significativo por su solución de problemas de ecuaciones lineales simultáneas, utilizando números positivos y negativos. El último problema en el capítulo implica cuatro ecuaciones en cinco unkno wns, y el tema de las ecuaciones indeterminadas iba a seguir siendo uno de los favoritos entre los pueblos orientales ".
- ↑ a b ( Boyer 1991 , "China and India" p. 204) "Li Chih (o Li Yeh, 1192-1279), un matemático de Pekín a quien Khublai Khan le ofreció un puesto en el gobierno en 1206, pero cortésmente encontró una excusa Su Ts'e-yuan hai-ching ( Mediciones del espejo marino del círculo ) incluye 170 problemas relacionados con [...] algunos de los problemas que conducen a ecuaciones de cuarto grado. Aunque no describió su método de solución de ecuaciones, incluyendo algunas de sexto grado, parece que no era una forma muy diferente a la utilizada por Chu Shih-chieh y Horner.Otros que usaron el método de Horner fueron Ch'in Chiu-shao (c. 1202 - c. 1261) y Yang Hui (fl. C. 1261-1275). El primero fue un gobernador y ministro sin principios que adquirió una inmensa riqueza a los cien días de asumir el cargo. Su Shu-shu chiu-chang ( Tratado matemático en nueve secciones ) marca el punto culminante del análisis indeterminado chino, con la invención de rutinas para resolver congruencias simultáneas ".
- ^ a b ( Boyer 1991 , "China and India" p. 197) "Los chinos eran especialmente aficionados a los patrones; por lo tanto, no es sorprendente que el primer registro (de origen antiguo pero desconocido) de un cuadrado mágico apareciera allí. [ ...] La preocupación por tales patrones dejó al autor de los Nueve Capítulos para resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas [...] realizando operaciones de columna en la matriz [...] para reducirlo a [...] La segunda forma representó las ecuaciones 36 z = 99, 5 y + z = 24 y 3 x + 2 y + z = 39 a partir de las cuales los valores de z , y y x se encuentran sucesivamente con facilidad ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "China and India" pp. 204-205) "El mismo dispositivo" Horner "fue utilizado por Yang Hui, sobre cuya vida casi no se sabe nada y cuyo trabajo ha sobrevivido solo en parte. Entre sus contribuciones se encuentran existen los primeros cuadrados mágicos chinos de orden superior a tres, incluidos dos de cada orden del cuatro al ocho y uno de cada uno de los órdenes nueve y diez ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "China and India" p. 203) "El último y más grande de los matemáticos Sung fue Chu Chih-chieh ( fl. 1280-1303), pero sabemos poco sobre él-, [...] de mayor interés histórico y matemático es el Ssy-yüan yü-chien ( Espejo Precioso de los Cuatro Elementos ) de 1303. En el siglo XVIII, éste también desapareció en China, solo para ser redescubierto en el siglo siguiente. Los cuatro elementos, llamados el cielo, la tierra, el hombre y la materia son las representaciones de cuatro cantidades desconocidas en la misma ecuación. El libro marca el pico en el desarrollo del álgebra china, ya que trata de ecuaciones simultáneas y de ecuaciones de grados tan altos como catorce. en él, el autor describe un método de transformación que él llama fan fa , cuyos elementos han surgido mucho antes en China, pero que generalmente lleva el nombre de Horner, quien vivió medio milenio después ".
- ^ a b ( Boyer 1991 , "China and India" p. 205) "Algunas de las muchas sumas de series encontradas en Precious Mirror son las siguientes: [...] Sin embargo, no se dan pruebas, ni el tema parece haber continuado de nuevo en China hasta aproximadamente el siglo XIX. [...] El Espejo Precioso se abre con un diagrama del triángulo aritmético, conocido inapropiadamente en Occidente como "triángulo de Pascal". (Ver ilustración.) [.. .] Chu niega crédito por el triángulo, refiriéndose a él como un "diagrama del antiguo método para encontrar potencias octava e inferiores". Una disposición similar de coeficientes a través de la sexta potencia había aparecido en el trabajo de Yang Hui, pero sin la ronda símbolo cero ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "Resurgimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 178) La incertidumbre sobre la vida de Diofanto es tan grande que no sabemos con certeza en qué siglo vivió. Generalmente se supone que floreció alrededor del año 250 EC, pero a veces se sugieren fechas un siglo o más antes o después [...] Si este acertijo es históricamente exacto, Diofanto vivió hasta los ochenta y cuatro años. [...] La principal obra diofántica que conocemos es la Arithmetica , un tratado originalmente en trece libros, de los cuales solo han sobrevivido los primeros seis ".
- ^ a b c d ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" págs. 180-182) "En este sentido, se puede comparar con los grandes clásicos de la época alejandrina anterior ; sin embargo, no tiene prácticamente nada en común con estos o, de hecho, con cualquier matemática griega tradicional. Representa esencialmente una nueva rama y hace uso de un enfoque diferente. Al estar divorciado de los métodos geométricos, se parece en gran medida al álgebra babilónica. Pero mientras que los matemáticos babilónicos se habían preocupado principalmente por aproximaciones soluciones de ecuaciones determinadas hasta el tercer grado, la aritmética de Diofanto (tal como la tenemos) está casi enteramente dedicada a la solución exacta de ecuaciones, tanto determinadas como indeterminadas . [...] A lo largo de los seis libros supervivientes de Arithmetica Hay un uso sistemático de abreviaturas para potencias de números y para relaciones y operaciones. Un número desconocido está representado por un símbolo que se asemeja a la letra griega ζ (quizás para el último letra de aritmos). [...] En cambio, es una colección de unos 150 problemas, todos resueltos en términos de ejemplos numéricos específicos, aunque tal vez se pretendía generalizar el método. No hay desarrollo de postulaciones, ni se hace un esfuerzo por encontrar todas las soluciones posibles. En el caso de ecuaciones cuadráticas con dos raíces positivas, solo se da la mayor y no se reconocen las raíces negativas. No se hace una distinción clara entre problemas determinados e indeterminados, e incluso para los últimos para los que el número de soluciones generalmente es ilimitado, solo se da una única respuesta. Diofanto resolvió problemas que involucraban varios números desconocidos expresando hábilmente todas las cantidades desconocidas, cuando fue posible, en términos de solo uno de ellos ".
- ^ "Biografía de Diofanto" . www-history.mcs.st-and.ac.uk . Consultado el 18 de diciembre de 2017 .
- ↑ Hermann Hankel escribió: "Con nuestro autor [Diophantos] no se puede discernir el más mínimo rastro de un método general y completo; cada problema requiere algún método especial que se niega a funcionar incluso para los problemas más estrechamente relacionados. Por esta razón, es difícil para el erudito moderno para resolver el problema 101 incluso después de haber estudiado 100 de las soluciones de Diophantos ". (Hankel H., Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter , Leipzig, 1874, traducido y citado al inglés en Ulrich Lirecht. Matemáticas chinas en el siglo XIII , publicaciones de Dover, Nueva York, 1973.)
- ^ a b ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 178) "La principal diferencia entre la síncopa diofántica y la notación algebraica moderna es la falta de símbolos especiales para operaciones y relaciones, así como de la notación exponencial. "
- ^ a b c ( Derbyshire 2006 , "El padre del álgebra" págs. 35-36)
- ^ ( Cooke 1997 , "Matemáticas en el Imperio Romano" págs. 167-168)
- ↑ ( Boyer 1991 , "Europe in the Middle Ages" p. 257) "El libro hace un uso frecuente de las identidades [...] que habían aparecido en Diofanto y habían sido ampliamente utilizadas por los árabes".
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Mathematics of the Hindus" p. 197) "Los documentos más antiguos que se conservan sobre las matemáticas hindúes son copias de obras escritas a mediados del primer milenio antes de Cristo, aproximadamente la época en que vivieron Tales y Pitágoras. [. ..] del siglo VI a. C. "
- ^ a b ( Boyer 1991 , "China and India" p. 222) "El Livavanti , como el Vija-Ganita , contiene numerosos problemas relacionados con los temas hindúes favoritos; ecuaciones lineales y cuadráticas, tanto determinadas como indeterminadas, medición simple, aritmética y progresiones geométricas, surds, tríadas pitagóricas y otras ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Mathematics of the Hindus" p. 207) "Dio reglas más elegantes para la suma de los cuadrados y cubos de un segmento inicial de los enteros positivos. La sexta parte del producto de tres cantidades que constan de el número de términos, el número de términos más uno y el doble del número de términos más uno es la suma de los cuadrados. El cuadrado de la suma de la serie es la suma de los cubos ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "China and India" p. 219) "Brahmagupta (fl. 628), que vivió en la India central algo más de un siglo después de Aryabhata [...] en la trigonometría de su obra más conocida, la Brahmasphuta Siddhanta , [...] aquí encontramos soluciones generales de ecuaciones cuadráticas, incluyendo dos raíces incluso en los casos en que una de ellas es negativa ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "China and India" p. 220) "El álgebra hindú es especialmente notable en su desarrollo del análisis indeterminado, al que Brahmagupta hizo varias contribuciones. Por un lado, en su trabajo encontramos una regla para la formación de los pitagóricos tríadas expresadas en la forma m , 1/2 ( m 2 / n - n ), 1/2 ( m 2 / n + n ); pero esto es sólo una forma modificada de la antigua regla babilónica, con la que puede haberse convertido familiar."
- ^ Un b c d ( Boyer 1991 , "China e India", p. 221) "que fue el primero en hacerle un general de solución de la lineal Diophantine ecuación ax + por = c , donde a , b , y c son números enteros. [...] Es un gran mérito de Brahmagupta que dio todas las soluciones integrales de la ecuación diofántica lineal, mientras que Diofanto mismo se había contentado con dar una solución particular de una ecuación indeterminada. Ya que Brahmagupta usó algunos de los mismos ejemplos como Diofanto, vemos de nuevo la probabilidad de influencia griega en la India, o la posibilidad de que ambos hicieran uso de una fuente común, posiblemente de Babilonia. Es interesante notar también que el álgebra de Brahmagupta, como la de Diofanto, fue sincopado . La suma se indica mediante yuxtaposición, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, como en nuestra notación fraccionaria pero sin la barra. Las operaciones de multiplicación y evolución (la toma de raíces), una s así como cantidades desconocidas, fueron representadas por abreviaturas de palabras apropiadas. [...] Bhaskara (1114 - c. 1185), el principal matemático del siglo XII. Fue él quien llenó algunos de los vacíos en el trabajo de Brahmagupta, dando una solución general de la ecuación de Pell y considerando el problema de la división por cero ".
- ↑ a b ( Boyer 1991 , "China and India" pp. 222-223) "Al tratar del círculo y la esfera, el Lilavati tampoco distingue entre declaraciones exactas y aproximadas. [...] Muchos de los problemas de Bhaskara en el Evidentemente, Livavati y Vija-Ganita se derivaron de fuentes hindúes anteriores; por lo tanto, no es sorprendente notar que el autor está en su mejor momento al tratar con análisis indeterminados ".
- ^ a b c ( Boyer 1991 , "La hegemonía árabe" p. 227) "El primer siglo del imperio musulmán había estado desprovisto de logros científicos. Este período (de aproximadamente 650 a 750) había sido, de hecho, quizás el nadir en el desarrollo de las matemáticas, porque los árabes aún no habían alcanzado el impulso intelectual y la preocupación por el aprendizaje en otras partes del mundo se había desvanecido. De no haber sido por el repentino despertar cultural en el Islam durante la segunda mitad del siglo VIII, más de la ciencia y las matemáticas antiguas se habrían perdido. [...] Sin embargo, fue durante el califato de al-Mamun (809-833) cuando los árabes complacieron plenamente su pasión por la traducción. un sueño en el que apareció Aristóteles y, como consecuencia, al-Mamun decidió que se hicieran versiones en árabe de todas las obras griegas que pudiera encontrar, incluido el Almagesto de Ptolomeo y una versión completa de los Elementos de Euclides . que los árabes mantuvieron una paz incómoda, los manuscritos griegos se obtuvieron mediante tratados de paz. Al-Mamun estableció en Bagdad una "Casa de la Sabiduría" (Bait al-hikma) comparable al antiguo Museo de Alejandría. Entre los miembros de la facultad se encontraba un matemático y astrónomo, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, cuyo nombre, como el de Euclides, más tarde se convertiría en una palabra familiar en Europa Occidental. El erudito, que murió en algún momento antes de 850, escribió más de media docena de trabajos astronómicos y matemáticos, de los cuales los primeros probablemente se basaron en el Sindhad derivado de la India ".
- ↑ a b ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 234) "pero el trabajo de al-Khwarizmi tenía una seria deficiencia que tenía que ser eliminada antes de que pudiera cumplir su propósito de manera efectiva en el mundo moderno: tenía que desarrollarse una notación simbólica para reemplazar la forma retórica. Este paso nunca dieron los árabes, excepto por el reemplazo de palabras numéricas por signos numéricos. [...] Thabit fue el fundador de una escuela de traductores, especialmente de griego y siríaco, y a él le debemos una inmensa deuda por las traducciones al árabe de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio ".
- ↑ a b Gandz y Saloman (1936), Las fuentes del álgebra de al-Khwarizmi , Osiris i, p. 263-277: "En cierto sentido, Khwarizmi tiene más derecho a ser llamado" el padre del álgebra "que Diofanto porque Khwarizmi es el primero en enseñar álgebra en una forma elemental y por su propio bien, Diofanto se preocupa principalmente por la teoría de números".
- ↑ a b ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 230) "Al-Khwarizmi continuó:" Hemos dicho lo suficiente en lo que respecta a los números, acerca de los seis tipos de ecuaciones. Ahora, sin embargo, es necesario que demostremos geométricamente la verdad de los mismos problemas que hemos explicado en números. "El tono de este pasaje es obviamente griego más que babilónico o indio. Hay, por lo tanto, tres escuelas principales de pensamiento sobre el origen del álgebra árabe: uno enfatiza la influencia hindú, otro enfatiza la tradición mesopotámica, o siríaco-persa, y el tercero apunta a la inspiración griega. La verdad probablemente se acerque si combinamos las tres teorías ”.
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" págs. 228-229) "el prefacio del autor en árabe elogia plenamente a Mahoma, el profeta, ya al-Mamun," el Comandante de los fieles "".
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 228) "Los árabes en general amaban un buen argumento claro desde la premisa hasta la conclusión, así como la organización sistemática, aspectos en los que ni Diofanto ni los hindúes sobresalían".
- ^ a b ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 229) "No es seguro qué significan los términos al-jabr y muqabalah , pero la interpretación habitual es similar a la implícita en la traducción anterior. La palabra al- jabr supuestamente significa algo como "restauración" o "finalización" y parece referirse a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, lo cual es evidente en el tratado; se dice que la palabra muqabalah se refiere a "reducción" o " equilibrar ", es decir, la cancelación de términos semejantes en lados opuestos de la ecuación".
- ^ a b Rashed, R .; Armstrong, Angela (1994), El desarrollo de las matemáticas árabes , Springer , págs. 11-2, ISBN 978-0-7923-2565-9, OCLC 29181926
- ^ Un b ( Boyer 1991 . "El árabe Hegemonía" p 229) "en seis capítulos cortos, de los seis tipos de ecuaciones compone de los tres tipos de cantidades: raíces, cuadrados, y los números (es decir x , x 2 y números). Capítulo I, en tres párrafos cortos, cubre el caso de casillas igual a las raíces, expresado en notación moderna como x 2 = 5 x , x 2 /3 = 4 x , y 5 x 2 = 10 x , dando las respuestas x = 5 , x = 12 y x = 2 respectivamente. (La raíz x = 0 no fue reconocida) El Capítulo II cubre el caso de cuadrados iguales a números y el Capítulo III resuelve los casos de raíces iguales a números. nuevamente con tres ilustraciones por capítulo para cubrir los casos en que el coeficiente del término variable es igual, mayor o menor que uno. Los capítulos IV, V y VI son más interesantes, ya que cubren a su vez los tres casos clásicos de ecuaciones cuadráticas de tres términos: (1) cuadrados y raíces iguales a números, (2) cuadrados y números iguales a raíces, y (3) raíces y números iguales a cuadrados ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" pp. 229-230) "Las soluciones son reglas de" libro de cocina "para" completar el cuadrado "aplicadas a instancias específicas. [...] En cada caso sólo se da la respuesta positiva. [...] De nuevo, sólo se da una raíz para la otra es negativa. [...] Los seis casos de ecuaciones dados anteriormente agotan todas las posibilidades de ecuaciones lineales y cuadráticas que tienen raíces positivas ".
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 230) "Al-Khwarizmi llama aquí la atención sobre el hecho de que lo que designamos como discriminante debe ser positivo:" Debes entender también que cuando tomas la mitad de las raíces en esta forma de ecuación y luego multiplicar la mitad por sí misma; si lo que procede o resulta de la multiplicación es menor que las unidades arriba mencionadas que acompañan al cuadrado, tienes una ecuación. "[...] Una vez más los pasos para completar el cuadrado están meticulosamente indicados, sin justificación,"
- ^ ( Boyer 1991 , "La hegemonía árabe" p. 231) "El álgebra de al-Khwarizmi traiciona inconfundibles elementos helénicos",
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 233) "Algunos de los problemas de al-Khwarizmi dan evidencia bastante clara de la dependencia árabe de la corriente matemática babilónica-heroniana. Uno de ellos presumiblemente fue tomado directamente de Heron, para el la figura y las dimensiones son las mismas ".
- ↑ a b ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 228) "el álgebra de al-Khwarizmi es completamente retórica, sin ninguna de las síncopas encontradas en la aritmética griega o en la obra de Brahmagupta. Incluso los números se escribieron con palabras en lugar de Es bastante improbable que al-Khwarizmi supiera de la obra de Diofanto, pero debe haber estado familiarizado al menos con las partes astronómicas y computacionales de Brahmagupta; sin embargo, ni al-Khwarizmi ni otros eruditos árabes hicieron uso de la síncopa o de números negativos."
- ^ a b c d ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 234) "El álgebra de al-Khwarizmi generalmente se considera como el primer trabajo sobre el tema, pero una publicación reciente en Turquía plantea algunas preguntas al respecto. Un manuscrito de una obra de 'Abd-al-Hamid ibn-Turk, titulada "Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas", era parte de un libro sobre Al-jabr wa'l muqabalah que evidentemente era muy similar al de al-Khwarizmi y se publicó aproximadamente al mismo tiempo, posiblemente incluso antes. Los capítulos supervivientes sobre "Necesidades lógicas" dan precisamente el mismo tipo de demostración geométrica que el Álgebra de al-Khwarizmi y, en un caso, el mismo ejemplo ilustrativo x 2 + 21 = 10 x . En En un aspecto, la exposición de 'Abd-al-Hamad es más completa que la de al-Khwarizmi, ya que da figuras geométricas para demostrar que si el discriminante es negativo, una ecuación cuadrática no tiene solución. Similitudes en las obras de los dos hombres y la sistemática organización encontrada en ellos parecen indicar que el álgebra en su El día no fue un acontecimiento tan reciente como se suele suponer. Cuando aparecen simultáneamente libros de texto con una exposición convencional y bien ordenada, es probable que un tema esté considerablemente más allá de la etapa formativa. [...] Nótese la omisión de Diofanto y Papo, autores que evidentemente no se conocían al principio en Arabia, aunque la Aritmética Diofantina se hizo familiar antes de finales del siglo X ".
- ^ a b ( Derbyshire 2006 , "El padre del álgebra" p. 49)
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Matemática árabe: ¿brillantez olvidada?" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews "El álgebra era una teoría unificadora que permitía que los números racionales, los números irracionales, las magnitudes geométricas, etc. fueran tratados como" objetos algebraicos "."
- ^ Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", p. 148, en Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2000), Matemáticas a través de culturas: la historia de las matemáticas no occidentales , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
- ^ a b Berggren, J. Lennart (2007). "Matemáticas en el Islam medieval". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ↑ a b ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 239) "Abu'l Wefa era un algebrista capaz y un trionómetro. [...] Su sucesor al-Karkhi evidentemente utilizó esta traducción para convertirse en un discípulo árabe de Diofanto, ¡pero sin análisis de Diofantino! [...] En particular, a al-Karkhi se le atribuye la primera solución numérica de ecuaciones de la forma ax 2 n + bx n = c (solo se consideraron las ecuaciones con raíces positivas), "
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- ^ a b c d e ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" pp. 241-242) "Omar Khayyam (c. 1050-1123), el" fabricante de tiendas ", escribió un álgebra que iba más allá de al-Khwarizmi Para incluir ecuaciones de tercer grado. Al igual que sus predecesores árabes, Omar Khayyam proporcionó ecuaciones cuadráticas tanto soluciones aritméticas como geométricas; para las ecuaciones cúbicas generales, creía (erróneamente, como lo mostró más tarde el siglo XVI), las soluciones aritméticas eran imposibles; por lo tanto, dio Menaechmus, Arquímedes y Alhazan habían utilizado anteriormente el esquema de usar cónicas intersecantes para resolver cúbicas, pero Omar Khayyam dio el paso loable de generalizar el método para cubrir todas las ecuaciones de tercer grado (que tienen raíces positivas). . Para ecuaciones de grado superior a tres, Omar Khayyam evidentemente no imaginó métodos geométricos similares, ya que el espacio no contiene más de tres dimensiones, [...] Una de las contribuciones más fructíferas del eclecticismo árabe fue la tendencia a clo ver la brecha entre álgebra numérica y geométrica. El paso decisivo en esta dirección llegó mucho más tarde con Descartes, pero Omar Khayyam se estaba moviendo en esta dirección cuando escribió: "Quien crea que el álgebra es un truco para obtener incógnitas lo ha pensado en vano. No se debe prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que están demostrados "".
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- ^ Rashed, Roshdi; Armstrong, Angela (1994), El desarrollo de las matemáticas árabes , Springer , págs. 342-3, ISBN 978-0-7923-2565-9
- ^ Berggren, JL (1990), "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society , 110 (2): 304–9, doi : 10.2307 / 604533 , JSTOR 604533 ,
Rashed ha argumentado que Sharaf al-Din descubrió la derivada de los polinomios cúbicos y se dio cuenta de su importancia para investigar las condiciones en las que las ecuaciones cúbicas se podían resolver; sin embargo, otros eruditos han sugerido explicaciones bastante diferentes del pensamiento de Sharaf al-Din, que lo conectan con las matemáticas que se encuentran en Euclides o Arquímedes.
- ^ Victor J. Katz, Bill Barton (octubre de 2007), "Etapas de la historia del álgebra con implicaciones para la enseñanza", Estudios educativos en matemáticas , 66 (2): 185-201 [192], doi : 10.1007 / s10649-006- 9023-7 , S2CID 120363574
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- ↑ ( Boyer 1991 , "Euclid of Alexandria pp. 192-193)" La muerte de Boecio puede tomarse como el fin de las matemáticas antiguas en el Imperio Romano Occidental, ya que la muerte de Hipatia había marcado el cierre de Alejandría como un centrar; pero el trabajo continuó durante unos años más en Atenas. [...] Cuando en 527 Justiniano se convirtió en emperador en Oriente, evidentemente sintió que el aprendizaje pagano de la Academia y otras escuelas filosóficas en Atenas era una amenaza para el cristianismo ortodoxo; de ahí que en 529 se cerraran las escuelas filosóficas y se dispersaran los eruditos. En esa época, Roma no era un hogar muy hospitalario para los eruditos, y Simplicio y algunos de los otros filósofos buscaban refugio en Oriente. Esto lo encontraron en Persia, donde bajo el rey Cosroes establecieron lo que podría llamarse la "Academia ateniense en el exilio" (Sarton 1952; p. 400) ".
- ^ Por ejemplo, Bashmakova y Smirnova (2000 : 78) , Boyer (1991 : 180), Burton (1995 : 319), Derbyshire (2006 : 93), Katz y Parshall (2014 : 238), Sesiano (1999 : 125) y Swetz (2013 : 110)
- ↑ Descartes (1637 : 301-303)
- ↑ Descartes (1925 : 9-14)
- ↑ Cajori (1919 : 698); Cajori (1928 : 381–382)
- ↑ Eneström (1905 : 317)
- ^ Por ejemplo, Tropfke (1902 : 150). Pero Gustaf Eneström (1905: 316-317) mostró que Descartes, en una carta escrita en 1619, usó el símbolo alemán en claro contraste con su propia x .
- ↑ Pietro Cataldi usóun número cruzado 1 para el primer poder de lo desconocido. El vínculo entre esta convención yx es atribuido por Cajori a Gustav Wertheim , pero Cajori (1919: 699; 1928: 382) no encuentra evidencia que lo apoye.
- ↑ Cajori (1919 : 699)
- ^ Véase, por ejemplo, la charla TED de Terry Moore, titulada "¿Por qué es 'x' lo desconocido?" , lanzado en 2012.
- ↑ Alcalá (1505)
- ^ Lagarde (1884) .
- ↑ Jacob (1903 : 519).
- ↑ Rider (1982) enumera cinco tratados de álgebra publicados en español en el siglo XVI, todos los cuales usan "cosa": Aurel (1552) , Ortega (1552) , Díez (1556) , Pérez de Moya (1562) y Nunes. (1567) . Las dos últimas obras también abrevian cosa como " co ", al igual que Puig (1672) .
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- ^ a b c d ( Boyer 1991 , "La hegemonía árabe" p. 228) "A Diofanto a veces se le llama" el padre del álgebra ", pero este título pertenece más apropiadamente a Abu Abdullah bin mirsmi al-Khwarizmi. Es cierto que en En dos aspectos, la obra de al-Khwarizmi representó un retroceso de la de Diofanto. Primero, está en un nivel mucho más elemental que el encontrado en los problemas Diofánticos y, segundo, el álgebra de al-Khwarizmi es completamente retórica, sin ninguna de las la síncopa que se encuentra en la aritmética griega o en la obra de Brahmagupta. ¡Incluso los números se escribieron con palabras en lugar de símbolos! Es bastante improbable que al-Khwarizmi supiera de la obra de Diofanto, pero debe haber estado familiarizado al menos con las porciones computacionales de Brahmagupta; sin embargo, ni al-Khwarizmi ni otros eruditos árabes hicieron uso de la síncopa o de números negativos ".
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Esto habría sido una sorpresa para al-Khwarizmi, considerado el padre del álgebra (Boyer / Merzbach, 1991), quien lo introdujo en el mundo mediterráneo alrededor del siglo IX.
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El término algoritmo proviene de la pronunciación latina del nombre del matemático del siglo IX al-Khwarizmi, que vivió en Bagdad y fue el padre del álgebra.
- ^ ( Derbyshire 2006 , "El padre del álgebra" p. 31) "Van der Waerden lleva la ascendencia del álgebra a un punto posterior en el tiempo, comenzando con el matemático al-Khwarizmi"
- ^ ( Derbyshire 2006 , "El padre del álgebra" p. 31) "Diofanto, el padre del álgebra, en cuyo honor he nombrado este capítulo, vivió en Alejandría, en el Egipto romano, ya sea en el primero, el segundo o el Siglo III d. C. "
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- ↑ ( Derbyshire 2006 , "The Father of Algebra" p. 31) "Kurt Vogel, por ejemplo, escribiendo en el Dictionary of Scientific Biography , considera que el trabajo de Diophantaus no es mucho más algebraico que el de los antiguos babilonios"
- ↑ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony" p. 230) "Los seis casos de ecuaciones dados anteriormente agotan todas las posibilidades de ecuaciones lineales y cuadráticas que tienen raíz positiva. Tan sistemática y exhaustiva fue la exposición de al-Khwarizmi que sus lectores deben haber tenido poco dificultad para dominar las soluciones ".
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El primer texto verdadero de álgebra que aún existe es el trabajo sobre al-jabr y al-muqabala de Mohammad ibn Musa al-Khwarizmi, escrito en Bagdad alrededor del año 825.
Fuentes
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enlaces externos
- "Comentario del jeque islámico Zakariyya al-Ansari sobre el poema de Ibn al-Hā'im sobre la ciencia del álgebra y el equilibrio llamado la epifanía del creador al explicar lo convincente", que presenta los conceptos básicos del álgebra que se remontan al siglo XV, de World Digital Biblioteca .