En los sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , una estructura formada a partir de la variedad estable e inestable de un punto fijo .
Definición de mapas
Dejar ser un mapa definido en una variedad, con un punto fijo . Dejar y ser la variedad estable y la variedad inestable del punto fijo, respectivamente. Dejarser una variedad invariante conectada tal que
Luego se llama conexión homoclínica .
Conexión heteroclínica
Es una noción similar, pero se refiere a dos puntos fijos, y . La condición satisfecha por se reemplaza con:
Esta noción no es simétrica con respecto a y .
Intersecciones homoclínicas y heteroclínicas
Cuando la variedad invariante y , posiblemente con , se cruzan pero no hay una conexión homoclínica / heteroclínica, una estructura diferente está formada por las dos variedades, a veces referidas como la maraña homoclínica / heteroclínica . La figura tiene un dibujo conceptual que ilustra su complicada estructura. El resultado teórico que apoya el dibujo es el lambda-lema . Los ovillos homoclínicos siempre van acompañados de una herradura de Smale .
Definición de flujos continuos
Para flujos continuos , la definición es esencialmente la misma.
Comentarios
- Existe alguna variación en la definición entre varias publicaciones;
- Históricamente, el primer caso considerado fue el de un flujo continuo en el plano , inducido por una ecuación diferencial ordinaria . En este caso, una conexión homoclínica es una trayectoria única que converge al punto fijotanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo. Un péndulo en ausencia de fricción es un ejemplo de un sistema mecánico que tiene una conexión homoclínica. Cuando el péndulo se suelta desde la posición superior (el punto de mayor energía potencial), con una velocidad infinitesimalmente pequeña, el péndulo volverá a la misma posición. A su regreso, tendrá exactamente la misma velocidad. El tiempo que tardará en regresar aumentará aa medida que la velocidad inicial llega a cero. Una de las demostraciones en el artículo del péndulo muestra este comportamiento.
Significado
Cuando se perturba un sistema dinámico, se divide una conexión homoclínica . Se convierte en un conjunto invariante desconectado . Cerca de él, habrá un conjunto caótico llamado la herradura de Smale . Por lo tanto, la existencia de una conexión homoclínica puede conducir potencialmente al caos . Por ejemplo, cuando se coloca un péndulo en una caja y la caja se somete a pequeñas oscilaciones horizontales, el péndulo puede exhibir un comportamiento caótico.